Historie Lorentzových transformací - History of Lorentz transformations

The historie Lorentzovy transformace zahrnuje vývoj lineární transformace tvořící Skupina Lorentz nebo Poincaré skupina zachování Lorentzův interval ${displaystyle -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}}$ a Minkowski vnitřní produkt ${displaystyle -x_ {0} y_ {0} + cdots + x_ {n} y_ {n}}$ .

v matematika, transformace ekvivalentní tomu, co bylo později známé jako Lorentzovy transformace v různých dimenzích, byly diskutovány v 19. století ve vztahu k teorii kvadratické formy, hyperbolická geometrie, Möbiova geometrie, a geometrie koule, což souvisí se skutečností, že skupina pohyby v hyperbolickém prostoru, Skupina Möbius nebo projektivní speciální lineární skupina a Skupina Laguerre jsou izomorfní do Skupina Lorentz.

v fyzika, Lorentzovy transformace se staly známými na počátku 20. století, kdy bylo zjištěno, že vykazují symetrii Maxwellovy rovnice. Následně se staly základem celé fyziky, protože tvořily základ speciální relativita ve kterém vykazují symetrii Minkowského časoprostor, takže rychlost světla invariant mezi různými setrvačnými rámci. Vztahují časoprostorové souřadnice dvou libovolných setrvačné referenční rámce s konstantní relativní rychlostí proti. V jednom rámci je poloha události dána vztahem x, y, z a čas t, zatímco v druhém rámci má stejná událost souřadnice x ′, y ′, z ′ a t ′.

Nejobecnější Lorentzovy transformace

Generál kvadratická forma q (x) s koeficienty a symetrická matice A, přidružené bilineární forma b (x, y)a lineární transformace z q (x) a b (x, y) do q (x ') a b (x ′, y ′) za použití transformační matice G, lze psát jako^[1]

{displaystyle {egin {matrix} {egin {aligned} {egin {aligned} q = sum _ {0} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} x_ {j} = mathbf {x} ^ {mathrm {T }} cdot mathbf {A} cdot mathbf {x} konec {zarovnaný}} & = q '= mathbf {x} ^ {mathrm {prime T}} cdot mathbf {A}' cdot mathbf {x} ' b = součet _ {0} ^ {n} A_ {ij} x_ {i} y_ {j} = mathbf {x} ^ {mathrm {T}} cdot mathbf {A} cdot mathbf {y} & = b '= mathbf {x } ^ {mathrm {prime T}} cdot mathbf {A} 'cdot mathbf {y}' konec {zarovnáno}} vlevo kvadrant (A_ {ij} = A_ {ji} ight) hline vlevo. {egin {zarovnáno} x_ {i} ^ {prime} & = součet _ {j = 0} ^ {n} g_ {ij} x_ {j} = mathbf {g} cdot mathbf {x} x_ {i} & = součet _ {j = 0} ^ {n} g_ {ij} ^ {(- 1)} x_ {j} ^ {prime} = mathbf {g} ^ {- 1} cdot mathbf {x} 'end {align}}} ight | mathbf { g} ^ {m {T}} cdot mathbf {A} cdot mathbf {g} = mathbf {A} 'konec {matice}}}

(Q1)

v jakém případě n = 1 je binární kvadratická forma, n = 2 je ternární kvadratická forma, n = 3 je kvartérní kvadratická forma.

Učební materiály z Wikiversity: Binární kvadratickou formu představil Lagrange (1773) a Gauss (1798/1801) a ternární kvadratická forma Gauss (1798/1801).

Obecná Lorentzova transformace vyplývá z (Q1) nastavením A=A'= diag (-1,1, ..., 1) a det G= ± 1. Tvoří neurčitá ortogonální skupina volal Skupina Lorentz O (1, n), zatímco případ det G= + 1 tvoří omezené Skupina Lorentz SO (1, n). Kvadratická forma q (x) se stává Lorentzův interval ve smyslu neurčitá kvadratická forma z Minkowského prostor (je zvláštním případem pseudoeuklidovský prostor ) a související bilineární forma b (x) se stává Minkowski vnitřní produkt:^[2]^[3]

{displaystyle {egin {matrix} {egin {aligned} -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} & = - x_ {0} ^ {prime 2} + dots + x_ {n } ^ {prime 2} - x_ {0} y_ {0} + cdots + x_ {n} y_ {n} & = - x_ {0} ^ {prime} y_ {0} ^ {prime} + cdots + x_ {n} ^ {prime} y_ {n} ^ {prime} konec {zarovnáno}} hline vlevo. {egin {matrix} mathbf {x} '= mathbf {g} cdot mathbf {x} downarrow {egin { zarovnáno} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} g_ {00} + x_ {1} g_ {01} + tečky + x_ {n} g_ {0n} x_ {1} ^ {prime} & = x_ {0} g_ {10} + x_ {1} g_ {11} + tečky + x_ {n} g_ {1n} & tečky x_ {n} ^ {prime} & = x_ {0} g_ {n0} + x_ {1} g_ {n1} + tečky + x_ {n} g_ {nn} konec {zarovnáno}} mathbf {x} = mathbf {g} ^ {- 1} cdot mathbf {x} ' downarrow {egin {aligned} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} g_ {00} -x_ {1} ^ {prime} g_ {10} -dots -x_ {n} ^ {prime} g_ {n0 } x_ {1} & = - x_ {0} ^ {prime} g_ {01} + x_ {1} ^ {prime} g_ {11} + tečky + x_ {n} ^ {prime} g_ {n1} & tečky x_ {n} & = - x_ {0} ^ {prime} g_ {0n} + x_ {1} ^ {prime} g_ {1n} + tečky + x_ {n} ^ {prime} g_ {nn} konec {aligned}} end {matrix}} ight | {egin {matrix} {egin {aligned} mathbf {A} cdot mathbf {g} ^ {mathrm {T}} cdot mathbf {A} & = mathbf {g} ^ { -1} mathbf {g} ^ {m {T}} cdot mathbf {A} cdot mathbf {g } & = mathbf {A} mathbf {g} cdot mathbf {A} cdot mathbf {g} ^ {mathrm {T}} & = mathbf {A} konec {zarovnaný}} {egin {zarovnaný} součet _ {i = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {ik} -g_ {0j} g_ {0k} & = left {{egin {aligned} -1quad & (j = k = 0) 1quad & (j = k> 0) 0quad & (jeq k) end {aligned}} ight. sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {kj} -g_ {i0} g_ {k0} & = left {{egin {aligned} -1quad & (i = k = 0) 1quad & (i = k> 0) 0quad & (ieq k) end {aligned}} ight.end {aligned}} end {matrix} } konec {matice}}}

(1a)

Učební materiály z Wikiversity: Takové obecné Lorentzovy transformace (1a) pro různé rozměry byly použity Gauss (1818), Jacobi (1827, 1833), Lebesgue (1837), Bour (1856), Somov (1863), Hill (1882) za účelem zjednodušení výpočtu eliptické funkce a integrály.^[4]^[5] Byly také používány Poincaré (1881), Cox (1881/82), Picard (1882, 1884), Zabíjení (1885, 1893), Gérard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1901, 1903), Liebmann (1904/05) popsat hyperbolické pohyby (tj. tuhé pohyby v hyperbolická rovina nebo hyperbolický prostor ), které byly vyjádřeny pomocí Weierstrassových souřadnic hyperboloidní model uspokojení vztahu ${displaystyle -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = - 1}$ nebo z hlediska Cayley – Kleinová metrika z projektivní geometrie pomocí „absolutního“ formuláře ${displaystyle -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = 0}$ .^[6]^[7] Navíc, nekonečně malé transformace související s Lež algebra skupiny hyperbolických pohybů byly uvedeny ve smyslu Weierstrassových souřadnic ${displaystyle -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = - 1}$ podle Zabíjení (1888-1897).

Li ${displaystyle x_ {i}, x_ {i} ^ {prime}}$ v (1a) jsou interpretovány jako homogenní souřadnice, pak odpovídající nehomogenní souřadnice ${displaystyle u_ {s}, u_ {s} ^ {prime}}$ následován

{displaystyle left [{frac {x_ {0}} {x_ {0}}}, {frac {x_ {s}} {x_ {0}}} ight] = left [1, u_ {s} ight], left [{frac {x_ {0} ^ {prime}} {x_ {0} ^ {prime}}}, {frac {x_ {s} ^ {prime}} {x_ {0} ^ {prime}}} včas] = vlevo [1, u_ {s} ^ {prime} ight], (s = 1,2 bodu n)}

aby se Lorentzova transformace stala a homografie opuštění invariantní rovnice jednotková koule, který John Lighton Synge nazvaný „nejobecnější vzorec pro složení rychlostí“ z hlediska speciální relativity (transformační matice G zůstává stejný jako v (1a)):^[8]

{displaystyle {egin {matrix} {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + dots + x_ {n} ^ {prime 2} & ightarrow & {egin {zarovnáno} -1 + u_ {1} ^ {2} + cdots + u_ {n} ^ {2} & = {scriptstyle {frac {-1 + u_ {1} ^ { prime 2} + cdots + u_ {n} ^ {prime 2}} {left (g_ {00} + g_ {01} u_ {1} ^ {prime} + dots + g_ {0n} u_ {n} ^ {prime } ight) ^ {2}}}} {scriptstyle {frac {-1 + u_ {1} ^ {2} + cdots + u_ {n} ^ {2}} {left (g_ {00} -g_ {10 } u_ {1} -dots -g_ {n0} u_ {n} ight) ^ {2}}}} & = - 1 + u_ {1} ^ {prime 2} + cdots + u_ {n} ^ {prime 2 } konec {zarovnáno}} hline -x_ {0} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + tečky + x_ {n} ^ {prime 2 } = 0 & ightarrow & -1 + u_ {1} ^ {2} + cdots + u_ {n} ^ {2} = - 1 + u_ {1} ^ {prime 2} + cdots + u_ {n} ^ {prime 2 } = 0end {matrix}} hline {egin {aligned} u_ {s} ^ {prime} & = {frac {g_ {s0} + g_ {s1} u_ {1} + dots + g_ {sn} u_ {n }} {g_ {00} + g_ {01} u_ {1} + tečky + g_ {0n} u_ {n}}} u_ {s} & = {frac {-g_ {0s} + g_ {1s} u_ {1} ^ {prime} + tečky + g_ {ns} u_ {n} ^ {prime}} {g_ {00} -g_ {10} u_ {1} ^ {prime} -dots -g_ {n0} u_ {n} ^ {prime}}} konec {zarovnáno}} vlevo | {egin {zarovnáno} součet _ {i = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {ik} -g_ {0j} g_ {0k} & = vlevo {{egin {zarovnáno} -1quad & (j = k = 0) 1quad & (j = k> 0) 0quad & (jeq k) end {aligned}} ight. sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} g_ {kj} -g_ {i0} g_ {k0} & = left {{egin {aligned} -1quad & (i = k = 0) 1quad & (i = k> 0) 0quad & (ieq k) end {aligned}} ight.end {aligned}} ight. konec {matrix}}}

(1b)

Učební materiály z Wikiversity: Tyto Lorentzovy transformace pro různé dimenze používaly Gauss (1818), Jacobi (1827–1833), Lebesgue (1837), Bour (1856), Somov (1863), Hill (1882), Callandreau (1885) za účelem zjednodušení výpočtu eliptických funkcí a integrálů pomocí Picard (1882-1884) ve vztahu k Hermitovské kvadratické formy nebo Woods (1901, 1903) z hlediska Model Beltrami – Klein hyperbolické geometrie. Kromě toho nekonečně malé transformace, pokud jde o Lež algebra skupiny hyperbolických pohybů opouštějících invariantní jednotkovou sféru ${displaystyle -1 + u_ {1} ^ {prime 2} + cdots + u_ {n} ^ {prime 2} = 0}$ byly dány Lie (1885-1893) a Werner (1889) a Zabíjení (1888-1897).

Lorentzova transformace pomocí imaginární ortogonální transformace

Pomocí imaginární množství ${displaystyle [{mathfrak {x}} _ {0}, {mathfrak {x}} '_ {0}] = left [ix_ {0}, ix_ {0} ^ {prime} ight]}$ v X stejně jako ${displaystyle [{mathfrak {g}} _ {0s}, {mathfrak {g}} _ {s0}] = left [ig_ {0s}, ig_ {s0} ight]}$ (s = 1,2 ... n) v G, Lorentzova transformace (1a) nabývá podoby ortogonální transformace z Euklidovský prostor tvořící ortogonální skupina O (n) je-li det G= ± 1 nebo speciální ortogonální skupina SO (n), pokud det G= + 1, interval Lorentz se stane Euklidovská norma, a vnitřní produkt Minkowski se stává Tečkovaný produkt:^[9]

{displaystyle {egin {matrix} {egin {aligned} {mathfrak {x}} _ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} & = {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + tečky + x_ {n} ^ {prime 2} {mathfrak {x}} _ {0} {mathfrak {y }} _ {0} + x_ {1} y_ {1} + cdots + x_ {n} y_ {n} & = {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} {mathfrak {y}} _ { 0} ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} y_ {1} ^ {prime} + cdots + x_ {n} ^ {prime} y_ {n} ^ {prime} konec {zarovnáno}} hline { egin {matrix} mathbf {x} '= mathbf {g} cdot mathbf {x} mathbf {x} = mathbf {mathbf {g} ^ {- 1}} cdot mathbf {x}' konec {matrix}} vlevo | {egin {zarovnáno} součet _ {i = 0} ^ {n} g_ {ij} g_ {ik} & = vlevo {{egin {zarovnáno} 1quad & (j = k) 0quad & (jeq k) konec {zarovnáno }} ight. sum _ {j = 0} ^ {n} g_ {ij} g_ {kj} & = left {{egin {aligned} 1quad & (i = k) 0quad & (ieq k) end {aligned }} ight.end {zarovnáno}} ight.end {matrix}}}

(2a)

Učební materiály z Wikiversity: Případy n = 1,2,3,4 ortogonálních transformací, pokud jde o skutečné souřadnice, byly diskutovány Euler (1771) a v n rozměry o Cauchy (1829). Případ, ve kterém je jedna z těchto souřadnic imaginární a ty druhé zůstávají skutečné, se zmiňoval o Lež (1871) pokud jde o sféry s imaginárním poloměrem, zatímco interpretace imaginární souřadnice jako související s dimenzí času, stejně jako explicitní formulace Lorentzových transformací s n = 3 byl dán Minkowski (1907) a Sommerfeld (1909).

Dobře známým příkladem této ortogonální transformace je prostorová otáčení ve smyslu trigonometrické funkce, které se stávají Lorentzovými transformacemi pomocí imaginárního úhlu ${displaystyle phi = ieta}$ , aby se trigonometrické funkce staly rovnocennými hyperbolické funkce:

{displaystyle {egin {array} {c | c | cc} {mathfrak {x}} _ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = {mathfrak { x}} _ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} & left (ix_ {0} ight) {} ^ {2} + x_ {1 } ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = vlevo (ix_ {0} ^ {prime} ight) ^ {2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2 } && - x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline (1) {egin {aligned} {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} & = {mathfrak {x}} _ {0} cos phi -x_ {1} sin phi x_ {1} ^ {prime} & = {mathfrak {x}} _ {0} sin phi + x_ {1} cos phi x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} {mathfrak {x}} _ {0} & = {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} cos phi + x_ {1} ^ {prime} sin phi x_ {1} & = - { mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} sin phi + x_ {1} ^ {prime} cos phi x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} & (2) {egin {aligned} ix_ {0} ^ {prime} & = ix_ {0} cos ieta -x_ {1} sin ieta x_ {1} ^ {prime} & = ix_ {0} sin ieta + x_ {1} cos ieta x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} ix_ {0} & = ix_ {0} ^ {prime} cos ieta + x_ {1} ^ {prime} sin ieta x_ {1 } & = - ix_ {0} ^ {prime} sin ieta + x_ {1} ^ {prime} cos ieta x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} & ightarrow & {egin { zarovnáno} x_ {0} ^ {pr ime} & = x_ {0} cosh eta -x_ {1} sinh eta x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} sinh eta + x_ {1} cosh eta x_ {2} ^ {prime } & = x_ {2} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} cosh eta + x_ {1} ^ {prime} sinh eta x_ {1} & = x_ {0} ^ {prime } sinh eta + x_ {1} ^ {prime} cosh eta x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} konec {zarovnáno}} konec {pole}}}

(2b)

nebo v exponenciální formě pomocí Eulerův vzorec ${displaystyle e ^ {iphi} = cos phi + isin phi}$ :

{displaystyle {egin {array} {c | c | cc} {mathfrak {x}} _ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = {mathfrak { x}} _ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} & left (ix_ {0} ight) {} ^ {2} + x_ {1 } ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = vlevo (ix_ {0} ^ {prime} ight) ^ {2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2 } && - x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline (1) {egin {aligned} x_ {1} ^ {prime} + i {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} & = e ^ {- iphi} left (x_ {1} + i {mathfrak {x}} _ {0} ight) x_ {1} ^ {prime} -i {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} & = e ^ {iphi} vlevo (x_ {1} -i {mathfrak {x}} _ {0} ight) x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {1} + i {mathfrak { x}} _ {0} & = e ^ {iphi} vlevo (x_ {1} ^ {prime} + i {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} ight) x_ {1} -i { mathfrak {x}} _ {0} & = e ^ {- iphi} vlevo (x_ {1} ^ {prime} -i {mathfrak {x}} _ {0} ^ {prime} ight) x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} & (2) {egin {aligned} x_ {1} ^ {prime} + ileft (ix_ {0} ^ {prime} ight) & = e ^ { -i (ieta)} vlevo (x_ {1} + ileft (ix_ {0} ight) ight) x_ {1} ^ {prime} -ileft (ix_ {0} ^ {prime} ight) & = e ^ { i (ieta)} vlevo (x_ {1} -ileft (ix_ {0} ight) ight) x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {1} + ileft (ix_ {0} ight) & = e ^ {i (ieta)} vlevo (x_ {1} ^ {prime} + ileft (ix_ {0} ^ {prime} ight) ight) x_ {1} -ileft ( ix_ {0} ight) & = e ^ {- i (ieta)} left (x_ {1} ^ {prime} -ileft (ix_ {0} ^ {prime} ight) ight) x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} & ightarrow & {egin {aligned} x_ {1} ^ {prime} -x_ {0} ^ {prime} & = e ^ {eta} left (x_ {1} - x_ {0} ight) x_ {1} ^ {prime} + x_ {0} ^ {prime} & = e ^ {- eta} vlevo (x_ {1} + x_ {0} ight) x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {1} -x_ {0} & = e ^ {- eta} vlevo (x_ {1} ^ {prime} -x_ {0} ^ {prime} ight) x_ {1} + x_ {0} & = e ^ {eta} vlevo (x_ {1} ^ {prime} + x_ {0} ^ {prime} ight) x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} end {array}}}

(2c)

Učební materiály z Wikiversity: Definování ${displaystyle [{mathfrak {x}} _ {0}, {mathfrak {x}} '_ {0}, phi]}$ jako skutečná, prostorová rotace ve formě (2b-1) zavedl Euler (1771) a ve formě (2c-1) od Wessel (1799). Výklad (2b) jako podpora Lorentz (tj. Lorentzova transformace bez prostorová rotace), ve které ${displaystyle [{mathfrak {x}} _ {0}, {mathfrak {x}} '_ {0}, phi]}$ odpovídají imaginárním veličinám ${displaystyle [ix_ {0}, ix '_ {0}, ieta]}$ byl dán Minkowski (1907) a Sommerfeld (1909). Jak je znázorněno v následující části pomocí hyperbolických funkcí, (2b) se stává (3b) zatímco (2c) se stává (3d).

Lorentzova transformace pomocí hyperbolických funkcí

Případ Lorentzovy transformace bez prostorové rotace se nazývá a Lorentzova podpora. Nejjednodušší případ lze uvést například nastavením n = 1 v (1a):

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} hline vlevo. {egin {aligned} mathbf {x} '& = {egin {bmatrix} g_ {00} & g_ {01} g_ {10} & g_ {11} end {bmatrix}} cdot mathbf {x} mathbf {x} & = {egin {bmatrix} g_ {00} & - g_ {10} - g_ {01} & g_ {11} end {bmatrix}} cdot mathbf {x} 'end {align}}} ight | det {egin {bmatrix} g_ {00} & g_ {01} g_ {10} & g_ {11} end {bmatrix}} = 1 hline {egin {aligned} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} g_ {00} + x_ {1} g_ {01} x_ {1} ^ {prime} & = x_ {0} g_ {10} + x_ {1} g_ {11} x_ {0} & = x_ {0} ^ { prime} g_ {00} -x_ {1} ^ {prime} g_ {10} x_ {1} & = - x_ {0} ^ {prime} g_ {01} + x_ {1} ^ {prime} g_ { 11} konec {zarovnáno}} vlevo | {egin {zarovnáno} g_ {01} ^ {2} -g_ {00} ^ {2} & = - 1 g_ {11} ^ {2} -g_ {10} ^ {2} & = 1 g_ {01} g_ {11} -g_ {00} g_ {10} & = 0 g_ {10} ^ {2} -g_ {00} ^ {2} & = - 1 g_ {11} ^ {2} -g_ {01} ^ {2} & = 1 g_ {10} g_ {11} -g_ {00} g_ {01} & = 0end {aligned}} ightarrow {egin {aligned } g_ {00} ^ {2} & = g_ {11} ^ {2} g_ {01} ^ {2} & = g_ {10} ^ {2} end {aligned}} ight.end {matrix}} }

(3a)

který přesně připomíná vztahy hyperbolické funkce ve smyslu hyperbolický úhel ${displaystyle eta}$ . Tedy přidáním nezměněného ${displaystyle x_ {2}}$ - osa, Lorentzova podpora nebo hyperbolická rotace pro n = 2 (je to stejné jako rotace kolem imaginárního úhlu ${displaystyle ieta = phi}$ v (2b) nebo a překlad v hyperbolické rovině, pokud jde o hyperboloidní model) je dán vztahem

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline g_ {00} = g_ {11} = cosh eta, g_ {01} = g_ {10} = - sinh eta hline vlevo. {egin { aligned} mathbf {x} '& = {egin {bmatrix} cosh eta & -sinh eta -sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} cdot mathbf {x} mathbf {x} & = {egin {bmatrix} cosh eta & sinh eta sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} cdot mathbf {x} 'end {aligned}} ight | det {egin {bmatrix} cosh eta & -sinh eta -sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} = 1 hline vlevo. {egin {zarovnáno) x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} cosh eta -x_ {1} sinh eta x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} sinh eta + x_ {1} cosh eta x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} cosh eta + x_ {1} ^ {prime} sinh eta x_ {1} & = x_ {0} ^ {prime} sinh eta + x_ {1} ^ {prime} cosh eta x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} konec {zarovnáno}} hned | {scriptstyle {egin {zarovnáno} sinh ^ {2} eta -cosh ^ {2} eta & = - 1 & (a) cosh ^ {2} eta -sinh ^ {2} eta & = 1 & (b) { frac {sinh eta} {cosh eta}} & = anh eta & (c) {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} & = cosh eta & (d) {frac { anh eta} {sqrt {1- anh ^ {2 } eta}}} & = sinh eta & (e) {frac {anh qpm anh eta} {13:00 anh q anh eta}} & = anh vlevo (qpm eta ight) & (f) konec {zarovnáno}}} konec {matice}}}

(3b)

ve kterém rychlost může být složena z libovolných mnoha rychlostí ${displaystyle eta _ {1}, eta _ {2} tečky}$ podle zákony úhlového součtu hyperbolických sinusů a kosinů, takže jedna hyperbolická rotace může představovat součet mnoha dalších hyperbolických rotací, analogických se vztahem mezi zákony úhlového součtu kruhové trigonometrie a prostorové rotace. Alternativně platí zákony hyperbolického úhlového součtu oni sami lze interpretovat jako Lorentzovy zesílení, jak dokazuje použití parametrizace jednotka hyperbola:

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} = 1 hline left [eta = eta _ {2} -eta _ {1} ight] {scriptstyle {egin {aligned} {egin {bmatrix} x_ {1} ^ {prime} & x_ {0} ^ {prime} x_ {0 } ^ {prime} & x_ {1} ^ {prime} end {bmatrix}} & = {egin {bmatrix} cosh eta _ {1} & sinh eta _ {1} sinh eta _ {1} & cosh eta _ {1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} cosh left (eta _ {2} -eta ight) & sinh left (eta _ {2} -eta ight) sinh left (eta _ {2} -eta ight) & cosh left (eta _ {2} -eta ight) end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} cosh eta & -sinh eta -sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} cosh eta _ {2} & sinh eta _ {2} sinh eta _ {2} & cosh eta _ {2} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} cosh eta & -sinh eta -sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} x_ {1} & x_ {0} x_ {0} & x_ {1} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} x_ {1} & x_ {0} x_ {0} & x_ {1} end { bmatrix}} & = {egin {bmatrix} cosh eta _ {2} & sinh eta _ {2} sinh eta _ {2} & cosh eta _ {2} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} cosh left (eta _ {1} + eta ight) & sinh left (eta _ {1} + eta ight) sinh left (eta _ {1} + eta ight) & cosh left (eta _ {1} + eta ight) end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} cosh eta & sinh eta sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} cosh eta _ {1} & sinh eta _ {1} sinh eta _ {1} & cosh eta _ {1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} cosh eta & sinh eta sinh eta & cosh eta end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} x_ {1 } ^ {prime} & x_ {0} ^ {prime} x_ {0} ^ {prime} & x_ {1} ^ {prime} konec {bmatrix}} konec {zarovnaný}}} hline {egin {zarovnaný} x_ { 0} ^ {prime} & = sinh eta _ {1} && = sinh vlevo (eta _ {2} -eta ight) && = sinh eta _ {2} cosh eta -cosh eta _ {2} sinh eta && = x_ {0} cosh eta -x_ {1} sinh eta x_ {1} ^ {prime} & = cosh eta _ {1} && = cosh left (eta _ {2} -eta ight) && = - sinh eta _ { 2} sinh eta + cosh eta _ {2} cosh eta && = - x_ {0} sinh eta + x_ {1} cosh eta x_ {0} & = sinh eta _ {2} && = sinh vlevo (eta _ {1} + eta ight) && = sinh eta _ {1} cosh eta + cosh eta _ {1} sinh eta && = x_ {0} ^ {prime} cosh eta + x_ {1} ^ {prime} sinh eta x_ {1} & = cosh eta _ {2} && = cosh vlevo (eta _ {1} + eta ight) && = sinh eta _ {1} sinh eta + cosh eta _ {1} cosh eta && = x_ {0 } ^ {prime} sinh eta + x_ {1} ^ {prime} cosh eta konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

(3c)

Nakonec Lorentz boost (3b) předpokládá jednoduchou formu pomocí zmáčkněte mapování obdobně jako Eulerův vzorec v (2c):^[10]

{displaystyle (1) {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline {egin {zarovnáno} x_ {1} ^ {prime} -x_ {0} ^ {prime} & = e ^ {eta} vlevo (x_ {1} -x_ {0} ight) x_ {1} ^ {prime} + x_ {0} ^ {prime} & = e ^ {- eta} vlevo (x_ {1} + x_ {0} ight ) x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {1} -x_ {0} & = e ^ {- eta} vlevo (x_ {1} ^ {prime} -x_ {0} ^ {prime} ight) x_ {1} + x_ {0} & = e ^ {eta} vlevo (x_ {1} ^ {prime} + x_ {0} ^ {prime} ight) x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} end {matrix}} left | {scriptstyle {egin {aligned} X_ {1} & = x_ {1} + x_ {0} X_ {2} & = x_ {2} X_ {3} & = x_ {1} -x_ {0} a_ {1} & = e ^ {- eta} a_ {2} & = 1 a_ {3} & = e ^ {eta} = a_ {1} ^ {- 1} konec {zarovnáno}}} (2) {egin {matrix} X_ {2} ^ {prime 2} -X_ {1} ^ {prime} X_ {3} ^ {prime} = X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3} hline {egin {zarovnáno} X_ {1} ^ {prime} & = a_ {1} X_ {1} X_ { 2} ^ {prime} & = a_ {2} X_ {2} X_ {3} ^ {prime} & = a_ {3} X_ {3} X_ {1} & = a_ {3} X_ {1 } ^ {prime} X_ {2} & = a_ {2} X_ {2} ^ {prime} X_ {3} & = a_ {1} X_ {3} ^ {prime} konec {zarovnaný}} vlevo (a_ {1} a_ {3} -a_ {2} ^ {2} = 0ight) end {matrix}} ight.}

(3d)

Učební materiály z Wikiverzity: Hyperbolické vztahy (a, b) napravo od (3b) byly dány Riccati (1757), vztahy (a, b, c, d, e, f) od Lambert (1768–1770). Lorentzovy transformace (3b) byly dány Laisant (1874), Cox (1882), Lindemann (1890/91), Gérard (1892), Zabíjení (1893, 1897/98), Whitehead (1897/98), Woods (1903/05) a Liebmann (1904/05) pokud jde o Weierstrassovy souřadnice hyperboloidní model. Zákony hyperbolického úhlového součtu ekvivalentní Lorentzově podpoře (3c) byly dány Riccati (1757) a Lambert (1768–1770), zatímco maticové vyjádření bylo dáno Glaisher (1878) a Günther (1880/81). Lorentzovy transformace (3d-1) byly dány Lindemann (1890/91) a Herglotz (1909), zatímco vzorce ekvivalentní k (3d-2) od Klein (1871).

V souladu s rovnicí (1b) lze použít souřadnice ${displaystyle [u_ {1}, u_ {2}, 1] = vlevo [{frac {x_ {1}} {x_ {0}}}, {frac {x_ {2}} {x_ {0}}}, {frac {x_ {0}} {x_ {0}}} hned]}$ uvnitř jednotkový kruh ${displaystyle u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} = 1}$ , tedy odpovídající Lorentzovy transformace (3b) získat formulář:

{displaystyle {egin {matrix} {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} & ightarrow & {egin {aligned} -1 + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} & = { frac {-1 + u_ {1} ^ {prime 2} + u_ {2} ^ {prime 2}} {left (cosh eta + u_ {1} ^ {prime} sinh eta ight) ^ {2}}} {frac {-1 + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}} {left (cosh eta -u_ {1} sinh eta ight) ^ {2}}} & = - 1 + u_ {1} ^ {prime 2} + u_ {2} ^ {prime 2} konec {zarovnáno}} hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ { 2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} = 0 & ightarrow & -1 + u_ {x} ^ {2} + u_ { y} ^ {2} = - 1 + u_ {x} ^ {prime 2} + u_ {y} ^ {prime 2} = 0end {matrix}} hline {scriptstyle {egin {aligned} {frac {sinh eta} {cosh eta}} & = anh eta = v cosh eta & = {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} konec {zarovnáno}}} vlevo | {egin {zarovnáno} & ( a) && (b) && (c) u_ {1} ^ {prime} & = {frac {-sinh eta + u_ {1} cosh eta} {cosh eta -u_ {1} sinh eta}} && = { frac {u_ {1} - anh eta} {1-u_ {1} anh eta}} && = {frac {u_ {1} -v} {1-u_ {1} v}} u_ {2} ^ { prime} & = {frac {u_ {2}} {cosh eta -u_ {1} sinh eta}} && = {frac {u_ {2} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} {1- u_ {1} anh eta}} && = {fr ac {u_ {2} {sqrt {1-v ^ {2}}}} {1-u_ {1} v}} u_ {1} & = {frac {sinh eta + u_ {1} ^ {prime } cosh eta} {cosh eta + u_ {1} ^ {prime} sinh eta}} && = {frac {u_ {1} ^ {prime} + anh eta} {1 + u_ {1} ^ {prime} anh eta }} && = {frac {u_ {1} ^ {prime} + v} {1 + u_ {1} ^ {prime} v}} u_ {2} & = {frac {u_ {2} ^ {prime} } {cosh eta + u_ {1} ^ {prime} sinh eta}} && = {frac {u_ {2} ^ {prime} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} {1 + u_ {1 } ^ {prime} anh eta}} && = {frac {u_ {2} ^ {prime} {sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + u_ {1} ^ {prime} v}} konec {aligned}} ight.end {matrix}}}

(3e)

Učební materiály z Wikiversity: Tyto Lorentzovy transformace byly dány Escherich (1874) a Zabíjení (1898) (vlevo), stejně jako Beltrami (1868) a Schur (1885/86, 1900/02) (vpravo) ve smyslu Souřadnice Beltrami^[11] hyperbolické geometrie.

Použitím skalárního součinu ${displaystyle left [u_ {1}, u_ {2} ight]}$ lze výslednou Lorentzovu transformaci považovat za ekvivalentní s hyperbolický zákon kosinů:^[12]^{[R 1]}^[13]

{displaystyle {egin {matrix} & {egin {matrix} u ^ {2} = u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} u '^ {2} = u_ {1} ^ { prime 2} + u_ {2} ^ {prime 2} end {matrix}} left | {egin {matrix} u_ {1} = ucos alpha u_ {2} = usin alpha u_ {1} ^ {prime} = u'cos alpha ' u_ {2} ^ {prime} = u'sin alpha' end {matrix}} ight | {egin {aligned} ucos alpha & = {frac {u'cos alpha '+ v} {1 + vu'cos alpha '}}, & u'cos alpha' & = {frac {ucos alpha -v} {1-vucos alpha}} usin alpha & = {frac {u'sin alpha '{sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + vu'cos alpha '}}, & u'sin alpha' & = {frac {usin alpha {sqrt {1-v ^ {2}}}} {1-vucos alpha}} an alpha & = {frac {u'sin alpha '{sqrt {1-v ^ {2}}}} {u'cos alpha' + v}}, & an alpha '& = {frac {usin alpha {sqrt {1-v ^ {2}}}} {ucos alpha -v}} konec {zarovnáno}} Rightarrow & u = {frac {sqrt {v ^ {2} + u ^ {prime 2} + 2vu'cos alpha ' -left (vu'sin alpha 'ight) {} ^ {2}}} {1 + vu'cos alpha'}}, quad u '= {frac {sqrt {-v ^ {2} -u ^ {2} + 2vucos alpha + left (vusin alpha ight) {} ^ {2}}} {1-vucos alpha}} Rightarrow & {frac {1} {sqrt {1-u ^ {prime 2}}}} = {frac {1} {sqrt {1-v ^ {2}}}} {frac {1} {sqrt {1-u ^ {2}}}} - {frac {v} {sqrt {1-v ^ {2} }}} {frac {u} {sqrt {1-u ^ {2}}}} cos alpha & (b) Rightarrow & {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} xi}}} = {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} zeta}}} - {frac {anh eta} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} {frac {anh zeta} {sqrt {1- anh ^ {2} zeta}}} cos alpha Rightarrow & cosh xi = cosh eta cosh zeta -sinh eta sinh zeta cos alpha & (a) end {matrix} }}

(3f)

Učební materiály z Wikiverzity: Hyperbolický zákon kosinů (a) byl dán autorem Taurinus (1826) a Lobachevsky (1829/30) a další, zatímco varianta (b) byla dána Schur (1900/02).

Lorentzova transformace pomocí rychlosti

V teorie relativity, Lorentzovy transformace vykazují symetrii Minkowského časoprostor pomocí konstanty C jako rychlost světla a parametr proti jako příbuzný rychlost mezi dvěma inerciální referenční rámce. Zejména hyperbolický úhel ${displaystyle eta}$ v (3b) lze interpretovat jako související s rychlostí rychlost ${displaystyle anh eta = eta = v / c}$ , aby ${displaystyle gamma = cosh eta}$ je Lorentzův faktor, ${displaystyle eta gamma = sinh eta}$ the správná rychlost, ${displaystyle u '= c anh q}$ rychlost jiného objektu, ${displaystyle u = c anh (q + eta)}$ the vzorec přidání rychlosti, tím pádem (3b) se stává:

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline {egin {zarovnáno} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} gamma -x_ {1} eta gamma x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} eta gamma + x_ {1} gamma x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} gamma + x_ {1} ^ {prime} eta gamma x_ {1} & = x_ {0} ^ {prime} eta gamma + x_ {1} ^ {prime} gamma x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} left | {scriptstyle {egin {aligned} eta ^ {2} gamma ^ {2} -gamma ^ {2} & = - 1 & (a) gamma ^ {2} - eta ^ { 2} gamma ^ {2} & = 1 & (b) {frac {eta gamma} {gamma}} & = eta & (c) {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} & = gamma & (d) {frac {eta} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} & = eta gamma & (e) {frac {u '+ v} {1+ {frac {u 'v} {c ^ {2}}}}} & = u & (f) end {aligned}}} ight.end {matrix}}}

(4a)

Nebo ve čtyřech rozměrech a nastavením ${displaystyle x_ {0} = ct, x_ {1} = x, x_ {2} = y}$ a přidání nezměněné z následuje známá forma, použití ${displaystyle {sqrt {frac {c + v} {c-v}}}}$ jako Dopplerův faktor:

{displaystyle {egin {matrix} -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {prime 2} + x ^ {prime 2} + y ^ {prime 2} + z ^ {prime 2} hline vlevo. {egin {zarovnáno} t '& = gamma vlevo (tx {frac {v} {c ^ {2}}} ight) x '& = gamma (x-vt) y' & = y z '& = zend {zarovnáno}} vpravo | {egin {zarovnáno} t & = vlevo gama (t' + x {frac {v} {c ^ {2}}} ight) x & = gamma (x '+ vt') y & = y ' z & = z'end {aligned}} konec {matrix}} Rightarrow {egin {aligned} (ct' + x ') & = (ct + x) {sqrt {frac {c + v} {cv}}} (ct'-x') & = (ct-x) {sqrt {frac {cv} {c + v}}} konec {zarovnáno}}}

(4b)

Ve fyzice zavedly analogické transformace Voigt (1887) a tím Lorentz (1892, 1895) kdo analyzoval Maxwellovy rovnice, byly dokončeny Larmor (1897, 1900) a Lorentz (1899, 1904), a přinesl do své moderní podoby Poincaré (1905) který dal transformaci jméno Lorentz.^[14] Nakonec, Einstein (1905) ukázal ve svém vývoji speciální relativita že transformace vyplývají z princip relativity a konstantní rychlost světla samotnou úpravou tradičních konceptů prostoru a času bez nutnosti a mechanický éter na rozdíl od Lorentze a Poincarého.^[15] Minkowski (1907–1908) použil je k argumentaci, že prostor a čas jsou neoddělitelně spojeny jako vesmírný čas. Minkowski (1907–1908) a Varićak (1910) ukázal vztah k imaginárním a hyperbolickým funkcím. Důležité příspěvky k matematickému pochopení Lorentzovy transformace poskytli také další autoři, jako např Herglotz (1909/10), Ignatowski (1910), Noether (1910) a Klein (1910), Borel (1913–1914).

Učební materiály z Wikiversity: V čisté matematice byly podobné transformace používány Lipschitz (1885/86).

Také Lorentz zvyšuje pro libovolné směry v souladu s (1a) lze uvést jako:^[16]

{displaystyle mathbf {x} '= {egin {bmatrix} gamma & -gamma eta n_ {x} & - gamma eta n_ {y} & - gamma eta n_ {z} - gamma eta n_ {x} & 1 + (gamma - 1) n_ {x} ^ {2} & (gamma -1) n_ {x} n_ {y} & (gamma -1) n_ {x} n_ {z} - gamma eta n_ {y} & (gamma - 1) n_ {y} n_ {x} & 1 + (gamma -1) n_ {y} ^ {2} & (gamma -1) n_ {y} n_ {z} - gamma eta n_ {z} & (gamma - 1) n_ {z} n_ {x} & (gamma -1) n_ {z} n_ {y} & 1 + (gamma -1) n_ {z} ^ {2} end {bmatrix}} cdot mathbf {x}, quad left [mathbf {n} = {frac {mathbf {v}} {v}} ight]}

nebo ve vektorovém zápisu

{displaystyle {egin {aligned} t '& = gamma left (t- {frac {vmathbf {n} cdot mathbf {r}} {c ^ {2}}} ight) mathbf {r}' & = mathbf {r } + (gamma -1) (mathbf {r} cdot mathbf {n}) mathbf {n} -gamma tvmathbf {n} konec {zarovnáno}}}

(4c)

Takové transformace formuloval Herglotz (1911) a Silberstein (1911) a další.

V souladu s rovnicí (1b), lze nahradit ${displaystyle left [{frac {u_ {x}} {c}}, {frac {u_ {y}} {c}}, 1ight] = left [{frac {x} {ct}}, {frac {y} {ct}}, {frac {ct} {ct}} vpravo]}$ v (3b) nebo (4a), produkující Lorentzovu transformaci rychlostí (nebo vzorec přidání rychlosti ) analogicky k souřadnicím Beltrami (3e):

{displaystyle {egin {matrix} {egin {matrix} -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {prime 2} + x ^ {prime 2} + y ^ {prime 2} & ightarrow & {egin {aligned} -c ^ {2} + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} & = {frac {-c ^ {2} + u_ {x} ^ {prime 2} + u_ {y} ^ {prime 2}} {gamma ^ {2} vlevo (1+ {frac {v} {c ^ {2}}} u_ { x} ^ {prime} ight) ^ {2}}} {frac {-c ^ {2} + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}} {gamma ^ {2} vlevo (1- {frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} ight) ^ {2}}} & = - c ^ {2} + u_ {x} ^ {prime 2} + u_ {y } ^ {prime 2} end {aligned}} hline -c ^ {2} t ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} = - c ^ {2} t ^ {prime 2} + x ^ {prime 2} + y ^ {prime 2} = 0 & ightarrow & -c ^ {2} + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} = - c ^ {2} + u_ { x} ^ {prime 2} + u_ {y} ^ {prime 2} = 0end {matrix}} hline {scriptstyle {egin {aligned} {frac {sinh eta} {cosh eta}} & = anh eta = {frac {v} {c}} cosh eta & = {frac {1} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} konec {zarovnáno}}} vlevo | {egin {zarovnáno} u_ {x} ^ { prime} & = {frac {-c ^ {2} sinh eta + u_ {x} ccosh eta} {ccosh eta -u_ {x} sinh eta}} && = {frac {u_ {x} -c anh eta} { 1- {frac {u_ {x}} {c}} anh eta}} && = {frac {u_ {x} -v} {1- {frac {v} {c ^ {2}}} u {} _ {x}}} u_ {y} ^ {prime} & = {frac {cu_ {y}} {ccosh eta -u_ {x} sinh eta}} && = {frac {u_ {y} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} {1- {frac {u_ {x}} {c}} anh eta}} && = {frac {u_ {y} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1- {frac {v} {c ^ {2}}} u {} _ {x}}} u_ {x } & = {frac {c ^ {2} sinh eta + u_ {x} ^ {prime} ccosh eta} {ccosh eta + u_ {x} ^ {prime} sinh eta}} && = {frac {u_ {x} ^ {prime} + c anh eta} {1+ {frac {u_ {x} ^ {prime}} {c}} anh eta}} && = {frac {u_ {x} ^ {prime} + v} {1 + {frac {v} {c ^ {2}}} u_ {x} ^ {prime}}} u_ {y} & = {frac {cy '} {ccosh eta + u_ {x} ^ {prime} sinh eta}} && = {frac {u_ {y} ^ {prime} {sqrt {1- anh ^ {2} eta}}} {1+ {frac {u_ {x} ^ {prime}} {c}} anh eta}} && = {frac {u_ {y} ^ {prime} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1+ {frac {v} { c ^ {2}}} u_ {x} ^ {prime}}} konec {zarovnáno}} ight.end {matrix}}}

(4d)

or using trigonometric and hyperbolic identities it becomes the hyperbolic law of cosines in terms of (3f):^[12]^{[R 1]}^[13]

{displaystyle { egin{matrix}&{ egin{matrix}u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}u'^{2}=u_{x}^{prime 2}+u_{y}^{prime 2}end{matrix}}left|{ egin{matrix}u_{x}=ucos alpha u_{y}=usin alpha u_{x}^{prime }=u'cos alpha 'u_{y}^{prime }=u'sin alpha 'end{matrix}}ight|{ egin{aligned}ucos alpha &={frac {u'cos alpha '+v}{1+{frac {v}{c^{2}}}u'cos alpha '}},&u'cos alpha '&={frac {ucos alpha -v}{1-{frac {v}{c^{2}}}ucos alpha }}usin alpha &={frac {u'sin alpha '{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{frac {v}{c^{2}}}u'cos alpha '}},&u'sin alpha '&={frac {usin alpha {sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{frac {v}{c^{2}}}ucos alpha }} an alpha &={frac {u'sin alpha '{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{u'cos alpha '+v}},& an alpha '&={frac {usin alpha {sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{ucos alpha -v}}end{aligned}}Rightarrow &u={frac {sqrt {v^{2}+u^{prime 2}+2vu'cos alpha '-left({frac {vu'sin alpha '}{c}}ight){}^{2}}}{1+{frac {v}{c^{2}}}u'cos alpha '}},quad u'={frac {sqrt {-v^{2}-u^{2}+2vucos alpha +left({frac {vusin alpha }{c}}ight){}^{2}}}{1-{frac {v}{c^{2}}}ucos alpha }}Rightarrow &{frac {1}{sqrt {1-{frac {u^{prime 2}}{c^{2}}}}}}={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{frac {1}{sqrt {1-{frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}-{frac {v/c}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{frac {u/c}{sqrt {1-{frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}cos alpha Rightarrow &{frac {1}{sqrt {1- anh ^{2}xi }}}={frac {1}{sqrt {1- anh ^{2}eta }}}{frac {1}{sqrt {1- anh ^{2}zeta }}}-{frac { anh eta }{sqrt {1- anh ^{2}eta }}}{frac { anh zeta }{sqrt {1- anh ^{2}zeta }}}cos alpha Rightarrow &cosh xi =cosh eta cosh zeta -sinh eta sinh zeta cos alpha end{matrix}}}

(4e)

and by further setting u=u′=c the relativistic aberration of light následuje:^[17]

{displaystyle { egin{matrix}cos alpha ={frac {cos alpha '+{frac {v}{c}}}{1+{frac {v}{c}}cos alpha '}}, sin alpha ={frac {sin alpha '{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{frac {v}{c}}cos alpha '}}, an alpha ={frac {sin alpha '{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{cos alpha '+{frac {v}{c}}}}, an {frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {c-v}{c+v}}} an {frac {alpha '}{2}}cos alpha '={frac {cos alpha -{frac {v}{c}}}{1-{frac {v}{c}}cos alpha }}, sin alpha '={frac {sin alpha {sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{frac {v}{c}}cos alpha }}, an alpha '={frac {sin alpha {sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{cos alpha -{frac {v}{c}}}}, an {frac {alpha '}{2}}={sqrt {frac {c+v}{c-v}}} an {frac {alpha }{2}}end{matrix}}}

(4f)

The velocity addition formulas were given by Einstein (1905) a Poincaré (1905/06), the aberration formula for cos(α) by Einstein (1905), while the relations to the spherical and hyperbolic law of cosines were given by Sommerfeld (1909) a Varićak (1910).

Learning materials from Wikiversity:These formulas resemble the equations of an ellipse z excentricita v/c, eccentric anomaly α' and true anomaly α, first geometrically formulated by Kepler (1609) and explicitly written down by Euler (1735, 1748), Lagrange (1770) and many others in relation to planetary motions.^[18]^[19]

Lorentz transformation via conformal, spherical wave, and Laguerre transformation

If one only requires the invariance of the light cone represented by the differential equation ${displaystyle -dx_{0}^{2}+dots +dx_{n}^{2}=0}$ , which is the same as asking for the most general transformation that changes spheres into spheres, the Lorentz group can be extended by adding dilations represented by the factor λ. The result is the group Con(1,p) of spacetime conformal transformations ve smyslu special conformal transformations and inversions producing the relation

{displaystyle -dx_{0}^{2}+dots +dx_{n}^{2}=lambda left(-dx_{0}^{prime 2}+dots +dx_{n}^{prime 2}ight)}

.

One can switch between two representations of this group by using an imaginary sphere radius coordinate X₀=iR with the interval ${displaystyle dx_{0}^{2}+dots +dx_{n}^{2}}$ related to conformal transformations, or by using a real radius coordinate X₀= R. with the interval ${displaystyle -dx_{0}^{2}+dots +dx_{n}^{2}}$ related to spherical wave transformations in terms of contact transformations preserving circles and spheres. It turns out that Con(1,3) is isomorphic to the special orthogonal group SO(2,4), and contains the Lorentz group SO(1,3) as a subgroup by setting λ=1. More generally, Con(q,p) is isomorphic to SO(q+1,p+1) and contains SO(q,p) as subgroup.^[20] This implies that Con(0,p) is isomorphic to the Lorentz group of arbitrary dimensions SO(1,p+1). Consequently, the conformal group in the plane Con(0,2) – known as the group of Möbius transformations – is isomorphic to the Lorentz group SO(1,3).^[21]^[22] This can be seen using tetracyclical coordinates satisfying the form ${displaystyle -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0}$ .

A special case of Lie's geometry of oriented spheres is the Laguerre group, transforming oriented planes and lines into each other. It's generated by the Laguerre inversion leaving invariant ${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$ s R as radius, thus the Laguerre group is isomorphic to the Lorentz group.^[23]^[24]

Learning materials from Wikiversity:Both representations of Lie sphere geometry and conformal transformations were studied by Lie (1871) a další. Ukázalo se to Bateman & Cunningham (1909–1910), that the group Con(1,3) is the most general one leaving invariant the equations of Maxwell's electrodynamics. Tetracyclical coordinates were discussed by Pockels (1891), Klein (1893), Bôcher (1894). The relation between Con(1,3) and the Lorentz group was noted by Bateman & Cunningham (1909–1910) and others.The Laguerre inversion was introduced by Laguerre (1882) and discussed by Darboux (1887) a Smith (1900). A similar concept was studied by Scheffers (1899) in terms of contact transformations. Stephanos (1883) argued that Lie's geometry of oriented spheres in terms of contact transformations, as well as the special case of the transformations of oriented planes into each other (such as by Laguerre), provides a geometrical interpretation of Hamilton's biquaternions. The group isomorphism between the Laguerre group and Lorentz group was pointed out by Bateman (1910), Cartan (1912, 1915/55), Poincaré (1912/21) a další.

Lorentz transformation via Cayley–Hermite transformation

The general transformation (Q1) of any quadratic form into itself can also be given using libovolný parameters based on the Cayleyova transformace (Já-T)⁻¹·(Já+T), kde Já je identity matrix, T an arbitrary antisymmetric matrix, and by adding A as symmetric matrix defining the quadratic form (there is no primed A' because the coefficients are assumed to be the same on both sides):^[25]^[26]

{displaystyle { egin{matrix}q=mathbf {x} ^{mathrm {T} }cdot mathbf {A} cdot mathbf {x} =q'=mathbf {x} ^{mathrm {prime T} }cdot mathbf {A} cdot mathbf {x} 'hline mathbf {x} =(mathbf {I} -mathbf {T} cdot mathbf {A} )^{-1}cdot (mathbf {I} +mathbf {T} cdot mathbf {A} )cdot mathbf {x} '{ ext{or}}mathbf {x} =mathbf {A} ^{-1}cdot (mathbf {A} -mathbf {T} )cdot (mathbf {A} +mathbf {T} )^{-1}cdot mathbf {A} cdot mathbf {x} 'end{matrix}}}

(Q2)

For instance, the choice A=diag(1,1,1) gives an orthogonal transformation which can be used to describe spatial rotations corresponding to the Euler-Rodrigues parameters [a,b,c,d] which can be interpreted as the coefficients of quaternions. Nastavení d=1, the equations have the form:

{displaystyle {egin {matrix} mathbf {A} = operatorname {diag} (1,1,1), quad mathbf {T} = {scriptstyle {egin {vmatrix} 0 & a & -b -a & 0 & c b & -c & 0end {vmatrix} }} hline x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= {frac {1} {kappa}} vlevo [{egin {matrix} 1-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} & 2 (bc-a) & 2 (ac + b) 2 (bc + a) & 1-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} & 2 (ab-c) 2 ( ac-b) & 2 (ab + c) & 1 + a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} end {matrix}} ight] cdot mathbf {x} left (kappa = 1 + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} ight) end {matrix}}}

(Q3)

Učební materiály z Wikiversity: After Cayley (1846) zavedené transformace související se součty kladných čtverců, Poustevník (1853/54, 1854) odvozené transformace pro libovolné kvadratické formy, jejichž výsledek byl přeformulován z hlediska matic (Q2) od Cayley (1855a, 1855b). Parametr Euler-Rodrigues objevil Euler (1771) a Rodrigues (1840).

Formulář Cayley-Hermite může také vytvořit Lorentzův interval a obecnou Lorentzovu transformaci v jakékoli dimenzi.^[R2]^{[R 3]}^[27]^[28] Například Lorentzova transformace (1a) s n= 1 vyplývá z (Q2) s:

{displaystyle {egin {matrix} mathbf {A} = operatorname {diag} (-1,1), quad mathbf {T} = {scriptstyle {egin {vmatrix} 0 & a -a & 0end {vmatrix}}} hline -x_ { 0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= {frac {1} { 1-a ^ {2}}} vlevo [{egin {matrix} 1 + a ^ {2} & - 2a -2a & 1 + a ^ {2} end {matrix}} ight] cdot mathbf {x} end {matrix }} Rightarrow {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} hline left . {egin {aligned} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} {frac {1+ eta _ {0} ^ {2}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} + x_ {1} ^ {prime} {frac {2 eta _ {0}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} & = & {frac {x_ {0} ^ {prime} vlevo (1+ eta _ {0} ^ {2} ight) + x_ {1} ^ {prime} 2 eta _ {0}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} x_ {1} & = x_ { 0} ^ {prime} {frac {2 eta _ {0}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} + x_ {1} ^ {prime} {frac {1+ eta _ {0} ^ {2}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} & = & {frac {x_ {0} ^ {prime} 2 eta _ {0} + x_ {1} ^ {prime} vlevo (1 + eta _ {0} ^ {2} ight)} {1- eta _ {0} ^ {2}}} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} {frac {1+ eta _ {0} ^ {2}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} - x_ {1} {frac {2 eta _ {0}} {1- eta _ {0} ^ {2}} } & = & {frac {x_ {0} vlevo (1+ eta _ {0} ^ {2} ight) -x_ {1} 2 eta _ {0} } {1- eta _ {0} ^ {2}}} x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} {frac {2 eta _ {0}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} + x_ {1} {frac {1+ eta _ {0} ^ {2}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} & = & {frac {-x_ {0} 2 eta _ {0} + x_ {1} vlevo (1+ eta _ {0} ^ {2} ight)} {1- eta _ {0} ^ {2}}} konec {zarovnáno}} vpravo | {scriptstyle {egin {aligned} {frac {2 eta _ {0}} {1+ eta _ {0} ^ {2}}} & = eta {frac {1+ eta _ {0} ^ {2}} {1 - eta _ {0} ^ {2}}} & = gamma {frac {2 eta _ {0}} {1- eta _ {0} ^ {2}}} & = eta gamma end {zarovnáno}}} konec {matrix}}}

(5a)

Tím se stává Lorentzova podpora (4a nebo 4b) nastavením ${displaystyle {frac {2a} {1 + a ^ {2}}} = {frac {v} {c}}}$ , což je ekvivalentní vztahu ${displaystyle {frac {2 eta _ {0}} {1+ eta _ {0} ^ {2}}} = {frac {v} {c}}}$ známý z Loedel diagramy, tím pádem (5a) lze interpretovat jako Lorentzovo posílení z hlediska „středního rámce“, ve kterém se dva další setrvačné rámce pohybují stejnou rychlostí ${displaystyle eta _ {0}}$ v opačných směrech.

Dále Lorentzova transformace (1a) s n= 2 je dáno vztahem:

{displaystyle {egin {matrix} mathbf {A} = operatorname {diag} (-1,1,1), quad mathbf {T} = {scriptstyle {egin {vmatrix} 0 & a & -b -a & 0 & c b & -c & 0end {vmatrix }}} hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ { prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= {frac {1} {kappa}} left [{egin {matrix} 1 + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & - 2 (bc-a) & - 2 (ac + b) 2 (bc + a) & 1 + a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} & 2 ( ab-c) 2 (ac-b) & - 2 (ab-c) & 1-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} end {matrix}} ight] cdot mathbf {x} left (kappa = 1-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} ight) end {matrix}}}

(5b)

nebo pomocí n=3:

{displaystyle {egin {matrix} mathbf {A} = operatorname {diag} (-1,1,1,1), quad mathbf {T} = {scriptstyle {egin {vmatrix} 0 & a & -b & c -a & 0 & d & e b & -d & 0 & f -c & -e & -f & 0end {vmatrix}}} hline -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = -x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} + x_ {3} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= { frac {1} {kappa}} left [{scriptstyle {egin {aligned} & 1 + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + && 2 (-bd + a + ec + pf) && 2 ( -ad-b + fc-pe) && 2 (pd + fb-ea + c) & quad d ^ {2} + e ^ {2} + f ^ {2} + p ^ {2} && 1 + a ^ {2 } -b ^ {2} -c ^ {2} && 2 (-d-ab + pc-fe) && 2 (fd + pb + ca-e) & 2 (bd + a-ec + pf) && quad -d ^ { 2} -e ^ {2} + f ^ {2} + p ^ {2} && 1-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} && 2 (-ed-cb + pa-f) & 2 (ad-b-fc-pe) && 2 (d-ab-pc-fe) && quad -d ^ {2} + e ^ {2} -f ^ {2} + p ^ {2} && 1-a ^ {2} -b ^ {2} + - c ^ {2} & 2 (pd-fb + ea + c) && 2 (fd-pb + ca + e) ​​&& 2 (-ed-cb-pa + f) && quad + d ^ {2} -e ^ {2} -f ^ {2} + p ^ {2} konec {zarovnaný}}} pravý] cdot mathbf {x} left ({egin {zarovnaný} kappa & = 1-a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2} + e ^ {2} + f ^ {2} -p ^ {2} p & = af + be + cdend {zarovnáno }} ight) end {matrix}}}

(5c)

Učební materiály z Wikiversity: Transformace binární kvadratické formy, jejíž Lorentzova transformace (5a) je zvláštní případ, který dal Poustevník (1854), rovnice obsahující Lorentzovy transformace (5a, 5b, 5c), protože zvláštní případy byly dány Cayley (1855), Lorentzova transformace (5a) dal (až do změny znaménka) Laguerre (1882), Darboux (1887), Smith (1900) ve vztahu k Laguerrově geometrii a Lorentzově transformaci (5b) byl dán Bachmann (1869). V relativitě, rovnice podobné (5b, 5c) byli nejprve zaměstnáni u Borel (1913) reprezentovat Lorentzovy transformace.

Jak je popsáno v rovnici (3d), Lorentzův interval úzce souvisí s alternativní formou ${displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$ ,^[29] který z hlediska parametrů Cayley – Hermite je při transformaci neměnný:

{displaystyle {egin {matrix} X_ {2} ^ {prime 2} -X_ {1} ^ {prime} X_ {3} ^ {prime} = X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3 } hline mathbf {X} '= {frac {1} {kappa}} vlevo [{egin {matrix} (b + 1) ^ {2} & - 2 (b + 1) c & c ^ {2} a ( b + 1) & 1-ac-b ^ {2} & (b-1) c a ^ {2} & - 2a (b-1) & (b-1) ^ {2} end {matrix}} ight ] cdot mathbf {X} left (kappa = 1 + ac-b ^ {2} ight) end {matrix}}}

(5 d)

Učební materiály z Wikiversity: Tuto transformaci provedl Cayley (1884), i když to nesouvisel s Lorentzovým intervalem, ale spíše s ${displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}}$ .

Lorentzova transformace pomocí Cayley-Kleinových parametrů, Möbiova transformace a rotace

Dříve zmíněný parametr Euler-Rodrigues abeceda (tj. parametr Cayley-Hermite v rovnici (Q3) s d = 1) jsou úzce spjaty s Cayley-Kleinovým parametrem α, β, γ, δ za účelem propojení Möbiových transformací ${displaystyle {frac {alpha zeta + eta} {gamma zeta + delta}}}$ a rotace:^[30]

{displaystyle {egin {aligned} alpha & = 1 + ib, & eta & = - a + ic, gamma & = a + ic, & delta & = 1-ib.end {aligned}}}

tím pádem (Q3) se stává:

{displaystyle {egin {matrix} x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ { prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= {frac {1} {kappa}} left [{egin {matrix} {frac {1} {2}} left (alpha ^ {2} - eta ^ {2} -gamma ^ {2} + delta ^ {2} ight) & eta delta -alpha gamma & {frac {i} {2}} vlevo (-alpha ^ {2} + eta ^ {2} -gamma ^ {2} + delta ^ {2} ight) gamma delta + alpha eta & alpha delta + eta gamma & i (alpha eta + gamma delta) - {frac {i} {2}} vlevo (- alpha ^ {2} - eta ^ {2} + gamma ^ {2} + delta ^ {2} ight) & - i (alfa gamma + eta delta) & {frac {1} {2}} vlevo (alpha ^ { 2} + eta ^ {2} + gamma ^ {2} + delta ^ {2} ight) end {matrix}} ight] cdot mathbf {x} (kappa = alfa delta - eta gamma) end {matrix}}}

(Q4)

Učební materiály z Wikiversity: Parametr Cayley-Klein představil uživatel Helmholtz (1866/67), Cayley (1879) a Klein (1884).

Také Lorentzova transformace může být vyjádřena variantami parametrů Cayley-Klein: Jeden spojuje tyto parametry se spinovou maticí D, spinové transformace proměnných ${displaystyle xi ', eta', {ar {xi}} ', {ar {eta}}'}$ (Overline označuje komplexní konjugát ) a Möbiova transformace z ${displaystyle zeta ', {ar {zeta}}'}$ . Pokud jsou definovány z hlediska izometrií hyperblicního prostoru (hyperbolické pohyby), je Hermitova matice u spojené s těmito Möbiovymi transformacemi vytváří invariantní determinant ${displaystyle det mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}}$ shodný s Lorentzovým intervalem. Proto tyto transformace popsal John Lighton Synge jako „továrna na masovou výrobu Lorentzových transformací“.^[31] Ukazuje se také, že související spinová skupina Spin (3, 1) nebo speciální lineární skupina SL (2, C) působí jako dvojitý kryt skupiny Lorentz (jedna Lorentzova transformace odpovídá dvěma spinovým transformacím odlišného znaménka), zatímco Skupina Möbius Con (0,2) nebo projektivní speciální lineární skupina PSL (2, C) je izomorfní jak pro skupinu Lorentz, tak pro skupinu izometrií hyperbolického prostoru.

Ve vesmíru lze transformace Möbius / Spin / Lorentz zapsat jako:^[32]^[31]^[33]^[34]

{displaystyle {egin {matrix} zeta = {frac {x_ {1} + ix_ {2}} {x_ {0} -x_ {3}}} = {frac {x_ {0} + x_ {3}} {x_ {1} -ix_ {2}}} ightarrow zeta '= {frac {alpha zeta + eta} {gamma zeta + delta}} vlevo | zeta' = {frac {xi '} {eta'}} ightarrow {egin {zarovnáno } xi '& = alpha xi + eta eta eta' & = gamma xi + delta eta konec {zarovnáno}} vpravo. hline vlevo. {egin {matrix} mathbf {u} = vlevo ({egin {matrix} X_ { 1} & X_ {2} X_ {3} & X_ {4} end {matrix}} ight) = left ({egin {matrix} {ar {xi}} xi & xi {ar {eta}} {ar {xi} } eta & {ar {eta}} eta end {matrix}} ight) = left ({egin {matrix} x_ {0} + x_ {3} & x_ {1} -ix_ {2} x_ {1} + ix_ {2} & x_ {0} -x_ {3} end {matrix}} ight) det mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ { 2} -x_ {3} ^ {2} end {matrix}} ight | {egin {matrix} mathbf {D} = left ({egin {matrix} alpha & eta gamma & delta end {matrix}} ight) { egin {aligned} det {oldsymbol {mathbf {D}}} & = 1end {aligned}} end {matrix}} hline mathbf {u} '= mathbf {D} cdot mathbf {u} cdot {ar {mathbf {D }}} ^ {mathrm {T}} = {egin {zarovnáno} X_ {1} ^ {prime} & = X_ {1} alpha {ar {alpha}} + X_ {2} alpha {ar {eta}} + X_ {3} {ar {alpha}} eta + X_ {4} eta {ar {eta}} X_ {2} ^ {prime} & = X_ {1} {ar {alpha}} gamma + X_ {2} {ar {alpha}} delta + X_ { 3} {ar {eta}} gamma + X_ {4} {ar {eta}} delta X_ {3} ^ {prime} & = X_ {1} alfa {ar {gamma}} + X_ {2} alfa { ar {delta}} + X_ {3} eta {ar {gamma}} + X_ {4} eta {ar {delta}} X_ {4} ^ {prime} & = X_ {1} gamma {ar {gamma} } + X_ {2} gamma {ar {delta}} + X_ {3} {ar {gamma}} delta + X_ {4} delta {ar {delta}} konec {zarovnáno}} hline {egin {zarovnáno} X_ {3} ^ {prime} X_ {2} ^ {prime} -X_ {1} ^ {prime} X_ {4} ^ {prime} & = X_ {3} X_ {2} -X_ {1} X_ {4 } = 0 det mathbf {u} '= x_ {0} ^ {prime 2} -x_ {1} ^ {prime 2} -x_ {2} ^ {prime 2} -x_ {3} ^ {prime 2} & = det mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} konec {zarovnáno}} konec { matice}}}

(6a)

tím pádem:^[35]

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} + x_ {3} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= {frac {1} {2} } left [{scriptstyle {egin {aligned} & alpha {ar {alpha}} + eta {ar {eta}} + gamma {ar {gamma}} + delta {ar {delta}} && alpha {ar {eta}} + eta {ar {alpha}} + gamma {ar {delta}} + delta {ar {gamma}} && i (alpha {ar {eta}} - eta {ar {alpha}} + gamma {ar {delta}} - delta { ar {gamma}}) && alpha {ar {alpha}} - eta {ar {eta}} + gamma {ar {gamma}} - delta {ar {delta}} & alpha {ar {gamma}} + gamma {ar { alpha}} + eta {ar {delta}} + delta {ar {eta}} && alpha {ar {delta}} + delta {ar {alpha}} + eta {ar {gamma}} + gamma {ar {eta}} && i (alpha {ar {delta}} - delta {ar {alpha}} + gamma {ar {eta}} - eta {ar {gamma}}) && alpha {ar {gamma}} + gamma {ar {alpha}} - eta {ar {delta}} - delta {ar {eta}} & i (gamma {ar {alpha}} - alpha {ar {gamma}} + delta {ar {eta}} - eta {ar {delta}}) && i (delta {ar {alpha}} - alpha {ar {delta}} + gamma {ar {eta}} - eta {ar {gamma}}) && alpha {ar {delta}} + delta {ar {alpha}} - eta {ar {gamma}} - gamma {ar {eta}} && i (gamma {ar {alpha}} - alpha {ar {gamma}} + eta {ar {delta}} - delta {ar {eta}}) & alpha {ar {alpha}} + eta {ar {eta}} - gamma { ar {gamma}} - delta {ar {delta}} && alpha {ar {eta}} + eta {ar {alpha}} - gamma {ar {delta}} - delta {ar {gamma}} && i (alpha {ar { eta}} - eta {ar {alpha}} + delta {ar {gamma}} - gamma {ar {delta}}) && alpha {ar {alpha}} - eta {ar {eta}} - gamma {ar {gamma} } + delta {ar {delta}} end {aligned}}} ight] cdot mathbf {x} (alpha delta - eta gamma = 1) end {matrix}}}

(6b)

nebo v souladu s rovnicí (1b) lze nahradit ${displaystyle left [u_ {1}, u_ {2}, u_ {3}, 1ight] = left [{frac {x_ {1}} {x_ {0}}}, {frac {x_ {2}} {x_ {0}}}, {frac {x_ {3}} {x_ {0}}}, {frac {x_ {0}} {x_ {0}}} včas]}$ takže Möbiova / Lorentzova transformace souvisí s jednotkovou sférou:

{displaystyle {egin {matrix} u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2} = u_ {1} ^ {prime 2} + u_ {2} ^ { prime 2} + u_ {3} ^ {prime 2} = 1 hline vlevo. {egin {matrix} zeta = {frac {u_ {1} + iu_ {2}} {1-u_ {3}}} = { frac {1 + u_ {3}} {u_ {1} -iu_ {2}}} zeta '= {frac {u_ {1} ^ {prime} + iu_ {2} ^ {prime}} {1-u_ {3} ^ {prime}}} = {frac {1 + u_ {3} ^ {prime}} {u_ {1} ^ {prime} -iu_ {2} ^ {prime}}} konec {matrix}} hned | quad zeta '= {frac {alpha zeta + eta} {gama zeta + delta}} konec {matrix}}}

(6c)

Učební materiály z Wikiversity: Obecná transformace u ' v (6a) byl dán Cayley (1854), zatímco obecný vztah mezi Möbiovými transformacemi a transformací u ' opuštění invariantní zobecněný kruh bylo poukázáno na Poincaré (1883) ve vztahu k Kleinianské skupiny. Adaptace na Lorentzův interval, o kterou (6a) se stane Lorentzovou transformací, kterou dal Klein (1889-1893, 1896/97), Bianchi (1893), Fricke (1893, 1897). Jeho přeformulování jako Lorentzova transformace (6b) poskytl Bianchi (1893) a Fricke (1893, 1897). Lorentzova transformace (6c) byl dán Klein (1884) ve vztahu k povrchům druhého stupně a invariance jednotkové sféry. V relativitě (6a) byl poprvé zaměstnán u Herglotz (1909/10).

V rovině lze transformace zapsat jako:^[29]^[34]

{displaystyle {egin {matrix} zeta = {frac {x_ {1}} {x_ {0} -x_ {2}}} = {frac {x_ {0} + x_ {2}} {x_ {1}}} ightarrow zeta '= {frac {alpha zeta + eta} {gamma zeta + delta}} vlevo | zeta' = {frac {xi '} {eta'}} ightarrow {egin {zarovnáno} xi '& = alpha xi + eta eta eta '& = gamma xi + delta eta konec {zarovnaný}} vpravo. hline vlevo. {egin {matrix} mathbf {u} = vlevo ({egin {matrix} X_ {1} & X_ {2} X_ {2 } & X_ {3} end {matrix}} ight) = left ({egin {matrix} xi ^ {2} & xi eta xi eta & eta ^ {2} end {matrix}} ight) = left ({egin {matrix} x_ {0} + x_ {2} & x_ {1} x_ {1} & x_ {0} -x_ {2} end {matrix}} ight) det mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} - x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} end {matrix}} ight | {egin {matrix} mathbf {D} = left ({egin {matrix} alpha & eta gamma & delta end {matrix }} ight) {egin {aligned} det {oldsymbol {mathbf {D}}} & = 1end {aligned}} end {matrix}} hline mathbf {u} '= mathbf {D} cdot mathbf {u} cdot mathbf {D} ^ {mathrm {T}} = {egin {zarovnáno} X_ {1} ^ {prime} & = X_ {1} alpha ^ {2} + X_ {2} 2 alpha eta + X_ {3} eta ^ {2} X_ {2} ^ {prime} & = X_ {1} alfa gamma + X_ {2} (alfa delta + eta gamma) + X_ {3} eta delta X_ {3} ^ {prime} & = X_ {1} gamma ^ {2} + X_ {2} 2gamma delta + X_ {3} delta ^ {2} konec {zarovnaný}} hline {egin {zarovnaný} X_ {2} ^ {prime 2} -X_ { 1} ^ {prime} X_ {3} ^ {prime} & = X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3} = 0 det mathbf {u} '= x_ {0} ^ {prime 2} -x_ {1} ^ {prime 2} -x_ {2} ^ {prime 2} & = det mathbf {u} = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ { 2} ^ {2} konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

(6d)

tím pádem

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline mathbf {x} '= vlevo [{egin {matrix} {frac {1} {2}} vlevo (alfa ^ {2} + eta ^ { 2} + gamma ^ {2} + delta ^ {2} ight) & alpha eta + gamma delta & {frac {1} {2}} vlevo (alpha ^ {2} - eta ^ {2} + gamma ^ {2} -delta ^ {2} ight) alpha gamma + eta delta & alpha delta + eta gamma & alpha gamma - eta delta {frac {1} {2}} vlevo (alpha ^ {2} + eta ^ {2} -gamma ^ {2} -delta ^ {2} ight) & alpha eta -gamma delta & {frac {1} {2}} vlevo (alpha ^ {2} - eta ^ {2} -gamma ^ {2} + delta ^ {2 } ight) end {matrix}} ight] cdot mathbf {x} (alfa delta - eta gamma = 1) end {matrix}}}

(6e)

který zahrnuje speciální případ ${displaystyle eta = gamma = 0}$ naznačující ${displaystyle delta = 1 / alpha}$ , snížení transformace na podporu Lorentz v rozměrech 1 + 1:

{displaystyle {egin {matrix} X_ {1} X_ {3} = X_ {1} ^ {prime} X_ {3} ^ {prime} quad Rightarrow quad -x_ {0} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline {egin {zarovnáno} X_ {1} & = alpha ^ {2} X_ {1} ^ {prime} X_ {2} & = X_ {2} ^ {prime} X_ {3} & = {frac {1} {alpha ^ {2}}} X_ {3} ^ {prime} konec {zarovnaný}} čtyřkolka Rightarrow quad {egin {aligned} x_ {0} & = {frac {x_ {0} ^ {prime} left (alpha ^ {4} + 1ight) + x_ {2} ^ {prime} left (alpha ^ {4} - 1ight)} {2alpha ^ {2}}} x_ {1} & = x_ {1} ^ {prime} x_ {2} & = {frac {x_ {0} ^ {prime} vlevo (alfa ^ {4 } -1ight) + x_ {2} ^ {prime} left (alpha ^ {4} + 1ight)} {2alpha ^ {2}}} end {aligned}} end {matrix}}}

(6f)

Nakonec pomocí Lorentzova intervalu souvisejícího s hyperboloidem lze zapsat Möbiovy / Lorentzovy transformace

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} = - 1 hline vlevo. {egin {matrix} zeta = {frac {x_ {1} + ix_ {2}} {x_ {0} +1} } = {frac {x_ {0} -1} {x_ {1} -ix_ {2}}} zeta '= {frac {x_ {1} ^ {prime} + ix_ {2} ^ {prime}} { x_ {0} ^ {prime} +1}} = {frac {x_ {0} ^ {prime} -1} {x_ {1} ^ {prime} -ix_ {2} ^ {prime}}} konec {matice }} ight | quad zeta '= {frac {alpha zeta + eta} {gamma zeta + delta}} konec {matice}}}

(6 g)

Učební materiály z Wikiversity: Obecná transformace u ' a jeho invariant ${displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$ v (6d) již byl používán Lagrange (1773) a Gauss (1798/1801) v teorii celočíselných binárních kvadratických forem. Invariant ${displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$ byl také studován uživatelem Klein (1871) v souvislosti s geometrií hyperbolické roviny (viz rovnice (3d)), zatímco spojení mezi u ' a ${displaystyle X_ {2} ^ {2} -X_ {1} X_ {3}}$ s Möbiovou transformací byla analyzována pomocí Poincaré (1886) ve vztahu k Fuchsijské skupiny. Adaptace na Lorentzův interval, o kterou (6d) se stane Lorentzovou transformací danou Bianchi (1888) a Fricke (1891). Lorentzova transformace (6e) uvedl Gauss kolem roku 1800 (posmrtně publikováno 1863), stejně jako Prodej (1873), Bianchi (1888), Fricke (1891), Woods (1895) ve vztahu k celočíselnému neurčitému ternárnímu kvadratickému tvaru. Lorentzova transformace (6f) byl dán Bianchi (1886, 1894) a Eisenhart (1905). Lorentzova transformace (6 g) hyperboloidu uvedlo Poincaré (1881) a Hausdorff (1899).

Lorentzova transformace pomocí čtveřice a hyperbolických čísel

Lorentzovy transformace lze vyjádřit také pomocí biquaternions: Minkowskian čtveřice (nebo minquat) q mít jednu skutečnou část a jednu čistě imaginární část je vynásobeno biquaternionem A aplikováno jako pre- a postfaktor. Pomocí nadřízené čáry pro označení konjugace čtveřic a * pro komplexní konjugaci je její obecná forma (vlevo) a odpovídající podpora (vpravo) následující:^[36]^[37]

{displaystyle left. {egin {matrix} -x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} + x_ {3} ^ {prime 2} = -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} hline q '= aq {ar {a}} ^ { ast} hline {egin {zarovnáno} q & = ix_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + x_ {3} e_ {3} q '& = ix_ {0 } ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} e_ {1} + x_ {2} ^ {prime} e_ {2} + x_ {3} ^ {prime} e_ {3} a & = cos chi + isin chi = e ^ {ichi} end {aligned}} left (a {ar {a}} = 1, chi = {ext {imaginary}} ight) end {matrix}} ight | {egin {matrix} chi = {frac {1} {2}} ieta downarrow {egin {zarovnáno} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} cosh eta -x_ {1} sinh eta x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} sinh eta + x_ {1} cosh eta x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2}, quad x_ {3} ^ {prime} = x_ {3} konec {zarovnáno} } konec {matice}}}

(7a)

Učební materiály z Wikiversity:Hamilton (1844/45) a Cayley (1845) odvodil transformaci čtveřice ${displaystyle aqa ^ {- 1}}$ pro prostorové rotace a Cayley (1854, 1855) dal odpovídající transformaci ${displaystyle aqb}$ ponecháním invariantu součet čtyř čtverců ${displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}}$ . Cox (1882/83) diskutovali o Lorentzově intervalu z hlediska Weierstrassových souřadnic ${displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 1}$ v průběhu adaptace William Kingdon Clifford biquaterniony a + ωb na hyperbolickou geometrii nastavením ${displaystyle omega ^ {2} = - 1}$ (alternativně 1 dává eliptickou a 0 parabolickou geometrii). Stephanos (1883) související imaginární část William Rowan Hamilton 's biquaternions do poloměru koulí, a představil homografii opouštějící invariantní rovnice orientovaných koulí nebo orientovaných rovin, pokud jde o Geometrie sféry lži. Buchheim (1884/85) diskutovali o Cayleyově absolutnu ${displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} = 0}$ a přizpůsobil Cliffordovy biquaterniony hyperbolické geometrii podobné Coxovi pomocí všech tří hodnot ${displaystyle omega ^ {2}}$ . Nakonec moderní Lorentzova transformace pomocí biquaternions s ${displaystyle omega ^ {2} = - 1}$ jako v hyperbolické geometrii bylo dáno Noether (1910) a Klein (1910) stejně jako Conway (1911) a Silberstein (1911).

S kvaternionovými systémy je často spojena hyperbolické číslo ${displaystyle varepsilon ^ {2} = 1}$ , což také umožňuje formulovat Lorentzovy transformace:^[38]^[39]

{displaystyle {egin {aligned} w '& = we ^ {- varepsilon eta} & = w (cosh (-eta) + varepsilon sinh (-eta)) w & = w'e ^ {varepsilon eta} & = w '(cosh eta + varepsilon sinh eta) end {aligned}} ightarrow {egin {aligned} w & = x_ {1} + varepsilon x_ {0} w' & = x_ {1} ^ {prime} + varepsilon x_ {0} ^ {prime} end {aligned}} ightarrow {egin {aligned} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} cosh eta -x_ {1} sinh eta x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} sinh eta + x_ {1} cosh eta x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} cosh eta + x_ {1} ^ {prime} sinh eta x_ {1} & = x_ {0} ^ {prime} sinh eta + x_ {1} ^ {prime} cosh eta konec {zarovnáno}}}

(7b)

Učební materiály z Wikiversity: Po trigonometrickém vyjádření ${displaystyle e ^ {ix}}$ (Eulerův vzorec ) byl dán Euler (1748) a hyperbolický analog ${displaystyle e ^ {varepsilon eta}}$ stejně jako hyperbolická čísla podle Cockle (1848) v rámci tessarines, ukázalo se to Cox (1882/83) které lze identifikovat ${displaystyle ww ^ {prime -1} = e ^ {varepsilon eta}}$ s asociativním násobením čtveřice. Tady, ${displaystyle e ^ {varepsilon eta}}$ je hyperbolický versor s ${displaystyle varepsilon ^ {2} = 1}$ , zatímco -1 označuje eliptický nebo 0 označuje parabolický protějšek (nezaměňovat s výrazem ${displaystyle omega ^ {2}}$ v Cliffordových biquaternionech používaných také Coxem, kde -1 je hyperbolický). Hyperbolický versor byl také diskutován Macfarlane (1892, 1894, 1900) ve smyslu hyperbolické čtveřice. Výraz ${displaystyle varepsilon ^ {2} = 1}$ pro hyperbolické pohyby (a -1 pro eliptické, 0 pro parabolické pohyby) se také objevují v „biquaternionech“ definovaných Vahlen (1901/02, 1905).

Rozšířenější formy složitých a (bi-) kvaternionových systémů z hlediska Cliffordova algebra lze také použít k vyjádření Lorentzových transformací. Například pomocí systému A z Cliffordových čísel lze převést následující obecnou kvadratickou formu do sebe, ve které jednotlivé hodnoty ${displaystyle i_ {1} ^ {2}, i_ {2} ^ {2}, tečky}$ lze nastavit na 1 nebo 1 dle libosti, zatímco Lorentzův interval následuje, pokud je znaménkem jednoho ${displaystyle i ^ {2}}$ se liší od všech ostatních .:^[40]^[41]

{displaystyle {egin {matrix} i_ {1} ^ {2} x_ {1} ^ {prime 2} + cdots + i_ {n} ^ {2} x_ {n} ^ {prime 2} = i_ {1} ^ {2} x_ {1} ^ {2} + cdots + i_ {n} ^ {2} x_ {n} ^ {2} hline (1) x '= axa ^ {- 1} (2) x' = {frac {ax + b} {varepsilon ^ {2} bx + a}} konec {matrix}}}

(7c)

Učební materiály z Wikiversity: Obecná určitá forma ${displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}}$ stejně jako obecná neurčitá forma ${displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {p} ^ {2} -x_ {p + 1} ^ {2} -cdots -x_ {p + q} ^ {2}}$ a jejich invariance v transformaci (1) byla diskutována Lipschitz (1885/86), zatímco hyperbolické pohyby byly diskutovány Vahlen (1901/02, 1905) nastavením ${displaystyle varepsilon ^ {2} = 1}$ v transformaci (2), zatímco eliptické pohyby následují s -1 a parabolické pohyby s 0, přičemž všechny se vztahují také k biquaternionům.

Lorentzova transformace pomocí trigonometrických funkcí

Následující obecný vztah spojuje rychlost světla a relativní rychlost s hyperbolickými a trigonometrickými funkcemi, kde ${displaystyle eta}$ je rychlost v (3b), ${displaystyle heta}$ je ekvivalentní s Gudermannská funkce ${displaystyle {m {gd}} (eta) = 2arctan (e ^ {eta}) - pi / 2}$ , a ${displaystyle vartheta}$ je ekvivalentní k Lobachevskianovi úhel rovnoběžnosti ${displaystyle Pi (eta) = 2arctan (e ^ {- eta})}$ :

{displaystyle {frac {v} {c}} = anh eta = sin heta = cos vartheta}

Učební materiály z Wikiverzity: Tento vztah poprvé definoval Varićak (1910).

a) Používání ${displaystyle sin heta = {frac {v} {c}}}$ jeden získá vztahy ${displaystyle sec heta = gamma}$ a ${displaystyle an heta = eta gamma}$ , a Lorentzova podpora má formu:^[42]

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline vlevo. {egin {zarovnáno} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} s heta -x_ {1} heta && = { frac {x_ {0} -x_ {1} sin heta} {cos heta}} x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} an heta + x_ {1} sec heta && = {frac {x_ {0} sin heta -x_ {1}} {cos heta}} x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} s heta + x_ {1} ^ {prime} an heta && = {frac {x_ {0} ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} sin heta} {cos heta}} x_ {1} & = x_ {0 } ^ {prime} an heta + x_ {1} ^ {prime} sec heta && = {frac {x_ {0} ^ {prime} sin heta + x_ {1} ^ {prime}} {cos heta}} x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} ight | {scriptstyle {egin {aligned} an ^ {2} heta -sec ^ {2} heta & = - 1 {frac {an heta } {sec heta}} & = sin heta {frac {1} {sqrt {1-sin ^ {2} heta}}} & = sec heta {frac {sin heta} {sqrt {1-sin ^ {2 } heta}}} & = heta konec {zarovnáno}}} konec {matice}}}

(8a)

Učební materiály z Wikiversity: Tato Lorentzova transformace byla odvozena od Bianchi (1886) a Darboux (1891/94) při transformaci pseudosférických povrchů atd Scheffers (1899) jako zvláštní případ kontaktní transformace v rovině (Laguerreova geometrie). Ve speciální relativitě to bylo používáno Gruner (1921) při vývoji Loedel diagramy, a tím Vladimír Karapetoff ve 20. letech 20. století.

b) Používání ${displaystyle cos vartheta = {frac {v} {c}}}$ jeden získá vztahy ${displaystyle csc vartheta = gamma}$ a ${displaystyle postýlka vartheta = eta gamma}$ , a Lorentzova podpora má formu:^[42]

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} hline vlevo. {egin {zarovnáno} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} csc vartheta -x_ {1} postýlka vartheta && = { frac {x_ {0} -x_ {1} cos vartheta} {sin vartheta}} x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} postýlka vartheta + x_ {1} csc vartheta && = {frac {x_ {0} cos vartheta -x_ {1}} {sin vartheta}} x_ {2} ^ {prime} & = x_ {2} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} csc vartheta + x_ {1} ^ {prime} dětská postýlka vartheta && = {frac {x_ {0} ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} cos vartheta} {sin vartheta}} x_ {1} & = x_ {0 } ^ {prime} postýlka vartheta + x_ {1} ^ {prime} csc vartheta && = {frac {x_ {0} ^ {prime} cos vartheta + x_ {1} ^ {prime}} {sin vartheta}} x_ {2} & = x_ {2} ^ {prime} end {aligned}} ight | {scriptstyle {egin {aligned} cot ^ {2} vartheta -csc ^ {2} vartheta & = - 1 {frac {cot vartheta } {csc vartheta}} & = cos vartheta {frac {1} {sqrt {1-cos ^ {2} vartheta}}} & = csc vartheta {frac {cos vartheta} {sqrt {1-cos ^ {2 } vartheta}}} & = postýlka vartheta konec {zarovnáno}}} konec {matice}}}

(8b)

Učební materiály z Wikiversity: Tato Lorentzova transformace byla odvozena od Eisenhart (1905) při transformaci pseudosférických povrchů. Ve speciální relativitě to bylo poprvé použito Gruner (1921) při vývoji Loedel diagramy.

Lorentzova transformace pomocí mapování squeeze

Jak již bylo uvedeno v rovnicích (3d) v exponenciální formě nebo (6f) pokud jde o parametr Cayley – Klein, lze Lorentzovy boosty z hlediska hyperbolických rotací vyjádřit jako zmáčkněte mapování. Použitím asymptotické souřadnice hyperboly (u, v), mají obecnou formu (někteří autoři alternativně přidávají faktor 2 nebo ${displaystyle {sqrt {2}}}$ ):^[43]

{displaystyle {egin {matrix} (1) & {egin {array} {c | c | c} u = x_ {0} + x_ {1} & 2u = x_ {0} + x_ {1} & {sqrt {2 }} u = x_ {0} + x_ {1} v = x_ {0} -x_ {1} & 2v = x_ {0} -x_ {1} & {sqrt {2}} v = x_ {0} - x_ {1} u '= x_ {0} ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} & 2u' = x_ {0} ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} & {sqrt {2 }} u = x_ {0} ^ {prime} + x_ {1} ^ {prime} v '= x_ {0} ^ {prime} -x_ {1} ^ {prime} & 2v' = x_ {0} ^ {prime} -x_ {1} ^ {prime} & {sqrt {2}} v = x_ {0} ^ {prime} -x_ {1} ^ {prime} end {array}} hline (2) & ( u ', v') = left (ku, {frac {1} {k}} vight) Rightarrow u'v '= uvend {matrix}}}

(9a)

Že tento systém rovnic skutečně představuje Lorentzovu podporu, lze vidět připojením (1) do (2) a řešením pro jednotlivé proměnné:

{displaystyle {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} hline vlevo. {egin {aligned} x_ {0} ^ {prime} & = {frac {1} {2}} left (k + {frac {1} {k}} ight) x_ {0} - {frac {1} {2 }} left (k- {frac {1} {k}} ight) x_ {1} && = {frac {x_ {0} left (k ^ {2} + 1ight) -x_ {1} left (k ^ { 2} -1ight)} {2k}} x_ {1} ^ {prime} & = - {frac {1} {2}} vlevo (k- {frac {1} {k}} ight) x_ {0} + {frac {1} {2}} vlevo (k + {frac {1} {k}} ight) x_ {1} && = {frac {-x_ {0} vlevo (k ^ {2} -1ight) + x_ {1} vlevo (k ^ {2} + 1ight)} {2k}} x_ {0} & = {frac {1} {2}} vlevo (k + {frac {1} {k}} vpravo) x_ {0} ^ {prime} + {frac {1} {2}} vlevo (k- {frac {1} {k}} ight) x_ {1} ^ {prime} && = {frac {x_ {0} ^ {prime} left (k ^ {2} + 1ight) + x_ {1} ^ {prime} left (k ^ {2} -1ight)} {2k}} x_ {1} & = {frac {1} { 2}} vlevo (k- {frac {1} {k}} vpravo) x_ {0} ^ {prime} + {frac {1} {2}} vlevo (k + {frac {1} {k}} vpravo) x_ {1} ^ {prime} && = {frac {x_ {0} ^ {prime} vlevo (k ^ {2} -1ight) + x_ {1} ^ {prime} vlevo (k ^ {2} + 1ight) } {2k}} end {aligned}} ight | {scriptstyle {egin {aligned} {frac {k ^ {2} -1} {k ^ {2} +1}} & = eta {frac {k ^ { 2} +1} {2k}} & = gamma {frac {k ^ {2} -1} {2k}} & = eta gamma konec {zarovnáno}}} konec {matice}}}

(9b)

Učební materiály z Wikiversity: Lorentzova transformace (9a) byly použity asymptotické souřadnice Laisant (1874), Günther (1880/81) ve vztahu k eliptické trigonometrii; Lež (1879-81), Bianchi (1886, 1894), Darboux (1891/94), Eisenhart (1905) tak jako Leží transformace )^[43] z pseudosférické povrchy z hlediska Sine-Gordonova rovnice;podle Lipschitz (1885/86) z toho byly odvozeny různé formy Lorentzovy transformace: (9b) od Lipschitz (1885/86), Bianchi (1886, 1894), Eisenhart (1905); trigonometrická Lorentzova podpora (8a) od Bianchi (1886, 1894), Darboux (1891/94); trigonometrická Lorentzova podpora (8b) od Eisenhart (1905).Lorentz boost (9b) byl znovuobjeven v rámci speciální relativity uživatelem Hermann Bondi (1964)^[44] ve smyslu Bondiho k-počet, kterými k lze fyzicky interpretovat jako Dopplerův faktor. Od té doby (9b) je ekvivalentní (6f), pokud jde o parametr Cayley – Klein nastavením ${displaystyle k = alpha ^ {2}}$ , lze jej interpretovat jako 1 + 1 rozměrný speciální případ Lorentzovy transformace (6e) uvedl Gauss kolem roku 1800 (posmrtně publikováno 1863), Prodej (1873), Bianchi (1888), Fricke (1891), Woods (1895).

Proměnné u, v v (9a) lze přeskupit a vytvořit jinou formu mapování squeeze, což má za následek Lorentzovu transformaci (5b) z hlediska parametru Cayley-Hermite:

{displaystyle {egin {matrix} {egin {matrix} u = x_ {0} + x_ {1} v = x_ {0} -x_ {1} u '= x_ {0} ^ {prime} + x_ { 1} ^ {prime} v '= x_ {0} ^ {prime} -x_ {1} ^ {prime} end {matrix}} Rightarrow {egin {matrix} u_ {1} = x_ {1} -x_ { 1} ^ {prime} v_ {1} = x_ {0} + x_ {0} ^ {prime} u_ {2} = x_ {1} + x_ {1} ^ {prime} v_ {2} = x_ {0} -x_ {0} ^ {prime} end {matrix}} hline (u_ {2}, v_ {2}) = left (au_ {1}, {frac {1} {a}} v_ { 1} ight) Šipka doprava u_ {2} v_ {2} = u_ {1} v_ {1} (u ', v') = vlevo ({frac {1 + a} {1-a}} u, {frac {1-a} {1 + a}} vight) Rightarrow u'v '= uvend {matrix}} Rightarrow {egin {matrix} -x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = - x_ {0} ^ {prime 2} + x_ {1} ^ {prime 2} hline {egin {zarovnáno} x_ {0} ^ {prime} & = x_ {0} {frac {1 + a ^ {2} } {1-a ^ {2}}} - x_ {1} {frac {2a} {1-a ^ {2}}} && = {frac {x_ {0} vlevo (1 + a ^ {2} ight ) -x_ {1} 2a} {1-a ^ {2}}} x_ {1} ^ {prime} & = - x_ {0} {frac {2a} {1-a ^ {2}}} + x_ {1} {frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} && = {frac {-x_ {0} 2a + x_ {1} vlevo (1 + a ^ {2} ight)} {1-a ^ {2}}} x_ {0} & = x_ {0} ^ {prime} {frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} + x_ {1} ^ {prime} {frac {2a} {1-a ^ {2}}} && = {frac {x_ {0} ^ {prime} vlevo (1 + a ^ {2} ight) + x_ {1} ^ {prime} 2a} {1-a ^ {2}}} x_ {1} & = x_ {0} ^ {prime} {frac {2a} {1-a ^ {2}}} + x_ {1} ^ {prime} {frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} && = {frac {x_ {0} ^ {prime} 2a + x_ {1} ^ {prime} vlevo (1 + a ^ {2} ight)} {1-a ^ {2}}} konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

(9c)

Učební materiály z Wikiversity: Tyto Lorentzovy transformace byly dány (až ke změně znaménka) uživatelem Laguerre (1882), Darboux (1887), Smith (1900) ve vztahu k Laguerrově geometrii.

Na základě faktorů k nebo A, všechny předchozí zesílení Lorentz (3b, 4a, 8a, 8b) lze vyjádřit také jako mapování squeeze:

{displaystyle {egin {array} {c | c | c | c | c | c} && (3b) & (4a) & (8a) & (8b) hline k & {frac {1 + a} {1-a }} & e ^ {eta} & {sqrt {frac {1+ eta} {1- eta}}} & {frac {1 + sin heta} {cos heta}} & {frac {1 + cos vartheta} {sin vartheta }} = dětská postýlka {frac {vartheta} {2}} hline {frac {k-1} {k + 1}} & a & anh {frac {eta} {2}} & {frac {gamma -1} {eta gamma }} & {frac {1-cos heta} {sin heta}} = an {frac {heta} {2}} & {frac {1-sin vartheta} {cos vartheta}} hline {frac {k ^ {2 } -1} {k ^ {2} +1}} & {frac {2a} {1 + a ^ {2}}} & anh eta & eta & sin heta & cos vartheta hline {frac {k ^ {2} + 1} {2k}} & {frac {1 + a ^ {2}} {1-a ^ {2}}} & cosh eta & gamma & sec heta & csc vartheta hline {frac {k ^ {2} -1} {2k }} & {frac {2a} {1-a ^ {2}}} & sinh eta & eta gamma & heta & cot konec vartheta {pole}}}

(9d)

Učební materiály z Wikiversity: Squeeze mapování, pokud jde o ${displaystyle heta}$ byly použity Darboux (1891/94) a Bianchi (1894), ve smyslu ${displaystyle eta}$ podle Lindemann (1891) a Herglotz (1909), ve smyslu ${displaystyle vartheta}$ podle Eisenhart (1905), ve smyslu ${displaystyle eta}$ podle Bondiho (1964).

Elektrodynamika a speciální relativita

Voigt (1887)

Woldemar Voigt (1887)^{[R 4]} vyvinuli transformaci v souvislosti s Dopplerův jev a nestlačitelné médium v moderní notaci:^[45]^[46]

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} xi _ {1} & = x_ {1} -varkappa t eta _ {1} & = y_ {1} q zeta _ {1} & = z_ {1} q au & = t- {frac {varkappa x_ {1}} {omega ^ {2}}} q & = {sqrt {1- {frac {varkappa ^{2}}{omega ^{2}}}}}end{aligned}}ight|&{ egin{aligned}x^{prime }&=x-vty^{prime }&= {frac {y}{gamma }}z^{prime }&={frac {z}{gamma }} ^{prime }&=t-{frac {vx}{c^{2}}} {frac {1}{gamma }}&={sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}end{aligned}}end{matrix}}}

If the right-hand sides of his equations are multiplied by γ they are the modern Lorentz transformation (4b). In Voigt's theory the speed of light is invariant, but his transformations mix up a relativistic boost together with a rescaling of space-time. Optical phenomena in free space are měřítko, konformní (using the factor λ discussed výše ), a Lorentz invariant, so the combination is invariant too.^[46] For instance, Lorentz transformations can be extended by using ${displaystyle l={sqrt {lambda }}}$ :^{[R 5]}

{displaystyle x^{prime }=gamma lleft(x-vtight),quad y^{prime }=ly,quad z^{prime }=lz,quad t^{prime }=gamma lleft(t-x{frac {v}{c^{2}}}ight)}

.

l=1/γ gives the Voigt transformation, l=1 the Lorentz transformation. But scale transformations are not a symmetry of all the laws of nature, only of electromagnetism, so these transformations cannot be used to formulate a princip relativity obecně. It was demonstrated by Poincaré and Einstein that one has to set l=1 in order to make the above transformation symmetric and to form a group as required by the relativity principle, therefore the Lorentz transformation is the only viable choice.

Voigt sent his 1887 paper to Lorentz in 1908,^[47] and that was acknowledged in 1909:

In a paper "Über das Doppler'sche Princip", published in 1887 (Gött. Nachrichten, p. 41) and which to my regret has escaped my notice all these years, Voigt has applied to equations of the form (7) (§ 3 of this book) [namely ${displaystyle Delta Psi -{ frac {1}{c^{2}}}{ frac {partial ^{2}Psi }{partial t^{2}}}=0}$ ] a transformation equivalent to the formulae (287) and (288) [namely ${displaystyle x^{prime }=gamma lleft(x-vtight), y^{prime }=ly, z^{prime }=lz, t^{prime }=gamma lleft(t-{ frac {v}{c^{2}}}xight)}$ ]. The idea of the transformations used above (and in § 44) might therefore have been borrowed from Voigt and the proof that it does not alter the form of the equations for the volný, uvolnit ether is contained in his paper.^{[R 6]}

Taky Hermann Minkowski said in 1908 that the transformations which play the main role in the principle of relativity were first examined by Voigt in 1887. Voigt responded in the same paper by saying that his theory was based on an elastic theory of light, not an electromagnetic one. However, he concluded that some results were actually the same.^{[R 7]}

Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)

V roce 1888 Oliver Heaviside^{[R 8]} investigated the properties of charges in motion according to Maxwell's electrodynamics. He calculated, among other things, anisotropies in the electric field of moving bodies represented by this formula:^[48]

{displaystyle mathrm {E} =left({frac {qmathrm {r} }{r^{2}}}ight)left(1-{frac {v^{2}sin ^{2} heta }{c^{2}}}ight)^{-3/2}}

.

Tudíž, Joseph John Thomson (1889)^{[R 9]} found a way to substantially simplify calculations concerning moving charges by using the following mathematical transformation (like other authors such as Lorentz or Larmor, also Thomson implicitly used the Galileova transformace z-vt in his equation^[49]):

{displaystyle { egin{matrix}{ ext{original}}&{ ext{modern}}hline left.{ egin{aligned}z&=left{1-{frac {omega ^{2}}{v^{2}}}ight}^{frac {1}{2}}z'end{aligned}}ight|&{ egin{aligned}z^{ast }=z-vt&={frac {z'}{gamma }}end{aligned}}end{matrix}}}

Thereby, inhomogeneous electromagnetic wave equations are transformed into a Poisson equation.^[49] Nakonec, George Frederick Charles Searle^{[R 10]} noted in (1896) that Heaviside's expression leads to a deformation of electric fields which he called "Heaviside-Ellipsoid" of axial ratio

{displaystyle { egin{matrix}{ ext{original}}&{ ext{modern}}hline left.{ egin{aligned}&{sqrt {alpha }}:1:1alpha =&1-{frac {u^{2}}{v^{2}}}end{aligned}}ight|&{ egin{aligned}&{frac {1}{gamma }}:1:1{frac {1}{gamma ^{2}}}&=1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}end{aligned}}end{matrix}}}

^[49]

Lorentz (1892, 1895)

In order to explain the aberration of light and the result of the Fizeau experiment in accordance with Maxwellovy rovnice, Lorentz in 1892 developed a model ("Lorentz ether theory ") in which the aether is completely motionless, and the speed of light in the aether is constant in all directions. In order to calculate the optics of moving bodies, Lorentz introduced the following quantities to transform from the aether system into a moving system (it's unknown whether he was influenced by Voigt, Heaviside, and Thomson)^{[R 11]}^[50]

{displaystyle { egin{matrix}{ ext{original}}&{ ext{modern}}hline left.{ egin{aligned}{mathfrak {x}}&={frac {V}{sqrt {V^{2}-p^{2}}}}x '&=t-{frac {varepsilon }{V}}{mathfrak {x}}varepsilon &={frac {p}{sqrt {V^{2}-p^{2}}}}end{aligned}}ight|&{ egin{aligned}x^{prime }&=gamma x^{ast }=gamma (x-vt) ^{prime }&=t-{frac {gamma ^{2}vx^{ast }}{c^{2}}}=gamma ^{2}left(t-{frac {vx}{c^{2}}}ight)gamma {frac {v}{c}}&={frac {v}{sqrt {c^{2}-v^{2}}}}end{aligned}}end{matrix}}}

kde X^* je Galileova transformace x-vt. Except the additional γ in the time transformation, this is the complete Lorentz transformation (4b).^[50] Zatímco t is the "true" time for observers resting in the aether, t ′ is an auxiliary variable only for calculating processes for moving systems. It is also important that Lorentz and later also Larmor formulated this transformation in two steps. At first an implicit Galilean transformation, and later the expansion into the "fictitious" electromagnetic system with the aid of the Lorentz transformation. In order to explain the negative result of the Michelson–Morley experiment, he (1892b)^{[R 12]} introduced the additional hypothesis that also intermolecular forces are affected in a similar way and introduced length contraction in his theory (without proof as he admitted). The same hypothesis was already made by George FitzGerald in 1889 based on Heaviside's work. While length contraction was a real physical effect for Lorentz, he considered the time transformation only as a heuristic working hypothesis and a mathematical stipulation.

In 1895, Lorentz further elaborated on his theory and introduced the "theorem of corresponding states". This theorem states that a moving observer (relative to the ether) in his "fictitious" field makes the same observations as a resting observers in his "real" field for velocities to first order in v/c. Lorentz showed that the dimensions of electrostatic systems in the ether and a moving frame are connected by this transformation:^{[R 13]}

{displaystyle { egin{matrix}{ ext{original}}&{ ext{modern}}hline left.{ egin{aligned}x&=x^{prime }{sqrt {1-{frac {{mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}y&=y^{prime }z&=z^{prime } &=t^{prime }end{aligned}}ight|&{ egin{aligned}x^{ast }=x-vt&={frac {x^{prime }}{gamma }}y&=y^{prime }z&=z^{prime } &=t^{prime }end{aligned}}end{matrix}}}

For solving optical problems Lorentz used the following transformation, in which the modified time variable was called "local time" (Němec: Ortszeit) by him:^{[R 14]}

{displaystyle { egin{matrix}{ ext{original}}&{ ext{modern}}hline left.{ egin{aligned}x&=mathrm {x} -{mathfrak {p}}_{x}ty&=mathrm {y} -{mathfrak {p}}_{y}tz&=mathrm {z} -{mathfrak {p}}_{z}t ^{prime }&=t-{frac {{mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}x-{frac {{mathfrak {p}}_{y}}{V^{2}}}y-{frac {{mathfrak {p}}_{z}}{V^{2}}}zend{aligned}}ight|&{ egin{aligned}x^{prime }&=x-v_{x}ty^{prime }&=y-v_{y}tz^{prime }&=z-v_{z}t ^{prime }&=t-{frac {v_{x}}{c^{2}}}x'-{frac {v_{y}}{c^{2}}}y'-{frac {v_{z}}{c^{2}}}z'end{aligned}}end{matrix}}}

With this concept Lorentz could explain the Dopplerův jev, aberration of light a Fizeau experiment.^[51]

Larmor (1897, 1900)

In 1897, Larmor extended the work of Lorentz and derived the following transformation^{[R 15]}

{displaystyle { egin{matrix}{ ext{original}}&{ ext{modern}}hline left.{ egin{aligned}x_{1}&=xvarepsilon ^{frac {1}{2}}y_{1}&=yz_{1}&=z ^{prime }&=t-vx/c^{2}dt_{1}&=dt^{prime }varepsilon ^{-{frac {1}{2}}}varepsilon &=left(1-v^{2}/c^{2}ight)^{-1}end{aligned}}ight|&{ egin{aligned}x_{1}&=gamma x^{ast }=gamma (x-vt)y_{1}&=yz_{1}&=z ^{prime }&=t-{frac {vx^{ast }}{c^{2}}}=t-{frac {v(x-vt)}{c^{2}}}dt_{1}&={frac {dt^{prime }}{gamma }}gamma ^{2}&={frac {1}{1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}end{aligned}}end{matrix}}}

Larmor noted that if it is assumed that the constitution of molecules is electrical then the FitzGerald–Lorentz contraction is a consequence of this transformation, explaining the Michelson–Morley experiment. It's notable that Larmor was the first who recognized that some sort of dilatace času is a consequence of this transformation as well, because "individual electrons describe corresponding parts of their orbits in times shorter for the [rest] system in the ratio 1/γ".^[52]^[53] Larmor wrote his electrodynamical equations and transformations neglecting terms of higher order than (v/c)² – when his 1897 paper was reprinted in 1929, Larmor added the following comment in which he described how they can be made valid to all orders of v/c:^{[R 16]}

Nothing need be neglected: the transformation is přesný -li v/c² je nahrazen εv/c² in the equations and also in the change following from t na t ′, as is worked out in Aether and Matter (1900), p. 168, and as Lorentz found it to be in 1904, thereby stimulating the modern schemes of intrinsic relational relativity.

In line with that comment, in his book Aether and Matter published in 1900, Larmor used a modified local time t″=t′-εvx′/c² instead of the 1897 expression t′=t-vx/c² by replacing v/c² s εv/c², aby t″ is now identical to the one given by Lorentz in 1892, which he combined with a Galilean transformation for the x′, y′, z′, t′ coordinates:^{[R 17]}

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} x ^ {prime} & = x-vt y ^ {prime} & = y z ^ {prime} & = z t ^ {prime} & = t t ^ {prime prime} & = t ^ {prime} -varepsilon vx ^ {prime} / c ^ {2} konec {zarovnáno}} vpravo | & {egin {zarovnáno} x ^ {prime} & = x-vt y ^ {prime} & = y z ^ {prime} & = z t ^ {prime} & = t t ^ {prime prime} = t ^ {prime} - {frac {gamma ^ {2} vx ^ {prime}} {c ^ {2}}} & = gamma ^ {2} vlevo (t- {frac {vx} {c ^ {2 }}} hned) konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

Larmor věděl, že Michelson-Morleyův experiment byl dostatečně přesný, aby detekoval účinek pohybu v závislosti na faktoru (v / c)², a tak hledal transformace, které byly „přesné druhého řádu“ (jak řekl). Tak napsal konečné transformace (kde x ′ = x-vt a t ″ jak je uvedeno výše) jako:^{[Pravidlo 18]}

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} x_ {1} & = varepsilon ^ {frac {1} {2}} x ^ {prime } y_ {1} & = y ^ {prime} z_ {1} & = z ^ {prime} dt_ {1} & = varepsilon ^ {- {frac {1} {2}}} dt ^ {prime prime} = varepsilon ^ {- {frac {1} {2}}} vlevo (dt ^ {prime} - {frac {v} {c ^ {2}}} varepsilon dx ^ {prime} ight) t_ {1 } & = varepsilon ^ {- {frac {1} {2}}} t ^ {prime} - {frac {v} {c ^ {2}}} varepsilon ^ {frac {1} {2}} x ^ { prime} end {aligned}} ight | & {egin {aligned} x_ {1} & = gamma x ^ {prime} = gamma (x-vt) y_ {1} & = y '= y z_ {1} & = z '= z dt_ {1} & = {frac {dt ^ {prime prime}} {gamma}} = {frac {1} {gamma}} vlevo (dt ^ {prime} - {frac {gamma ^ {2} vdx ^ {prime}} {c ^ {2}}} ight) = zbývající gamma (dt- {frac {vdx} {c ^ {2}}} ight) t_ {1} & = {frac { t ^ {prime}} {gamma}} - {frac {gamma vx ^ {prime}} {c ^ {2}}} = gamma left (t- {frac {vx} {c ^ {2}}} ight) konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

kterým dospěl k úplné Lorentzově transformaci (4b). Larmor ukázal, že Maxwellovy rovnice byly při této dvoustupňové transformaci neměnné, „do druhého řádu v / c„- Lorentz (1904) a Poincaré (1905) později prokázali, že při této transformaci jsou skutečně invariantní vůči všem řádům v v / c.

Larmor dal Lorentzovi uznání ve dvou dokumentech publikovaných v roce 1904, ve kterých použil výraz „Lorentzova transformace“ pro Lorentzovy transformace souřadnic a konfigurací polí prvního řádu:

p. 583: [..] Lorentzova transformace pro přechod z pole činnosti stacionárního systému elektrodynamického materiálu do pole pohybujícího se rovnoměrnou rychlostí translace éterem.
p. 585: [..] Lorentzova transformace nám ukázala, co není tak okamžitě zřejmé [..]^{[Pravidlo 19]}
p. 622: [..] transformace, kterou poprvé vyvinul Lorentz: konkrétně každý bod v prostoru má mít svůj vlastní původ, od kterého se měří čas, jeho „místní čas“ ve Lorentzově frazeologii a poté hodnoty elektrických a magnetických vektorů [..] ve všech bodech éteru mezi molekulami v klidovém systému jsou stejné jako vektory [..] v odpovídajících bodech konvekovaného systému ve stejných místních časech.^{[Pravidlo 20]}

Lorentz (1899, 1904)

Také Lorentz rozšířil svoji větu o odpovídajících státech v roce 1899. Nejprve napsal transformaci ekvivalentní té z roku 1892 (opět X* musí být nahrazeno x-vt):^{[Pravidlo 21]}

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} x ^ {prime} & = {frac {V} {sqrt {V ^ {2} - {mathfrak {p}} _ {x} ^ {2}}}} x y ^ {prime} & = y z ^ {prime} & = z t ^ {prime} & = t- {frac {{ mathfrak {p}} _ {x}} {V ^ {2} - {mathfrak {p}} _ {x} ^ {2}}} xend {aligned}} ight | & {egin {aligned} x ^ {prime } & = gamma x ^ {ast} = gamma (x-vt) y ^ {prime} & = y z ^ {prime} & = z t ^ {prime} & = t- {frac {gamma ^ { 2} vx ^ {ast}} {c ^ {2}}} = gamma ^ {2} vlevo (t- {frac {vx} {c ^ {2}}} vpravo) konec {zarovnáno}} konec {matice} }}

Poté zavedl faktor ε, o kterém řekl, že nemá prostředky k jeho určení, a svou transformaci upravil následovně (kde výše uvedená hodnota t ′ musí být vloženo):^{[Pravidlo 22]}

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} x & = {frac {varepsilon} {k}} x ^ {prime prime} y & = varepsilon y ^ {prime prime} z & = varepsilon x ^ {prime prime} t ^ {prime} & = kvarepsilon t ^ {prime prime} k & = {frac {V} {sqrt {V ^ {2} - {mathfrak {p}} _ {x} ^ {2}}}} konec {zarovnaný}} ight | & {egin {zarovnaný} x ^ {ast} = x-vt & = {frac {varepsilon} {gamma}} x ^ { prime prime} y & = varepsilon y ^ {prime prime} z & = varepsilon z ^ {prime prime} t ^ {prime} = gamma ^ {2} vlevo (t- {frac {vx} {c ^ {2} }} ight) & = gamma varepsilon t ^ {prime prime} gamma & = {frac {1} {sqrt {1- {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} konec { zarovnáno}} konec {matice}}}

To odpovídá úplné Lorentzově transformaci (4b) když je vyřešen pro X" a t ″ a s ε = 1. Stejně jako Larmor si to Lorentz všiml v roce 1899^{[Pravidlo 23]} také nějaký druh efektu dilatace času ve vztahu k frekvenci kmitajících elektronů „to v S čas vibrací kε krát tak skvělé jako v S₀", kde S₀ je éterový rám.^[54]

V roce 1904 přepsal rovnice v následující podobě nastavením l= 1 / ε (opět X* musí být nahrazeno x-vt):^{[Pravidlo 24]}

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} x ^ {prime} & = klx y ^ {prime} & = ly z ^ { prime} & = lz t '& = {frac {l} {k}} t-kl {frac {w} {c ^ {2}}} xend {aligned}} ight | & {egin {aligned} x ^ {prime} & = gamma lx ^ {ast} = gamma l (x-vt) y ^ {prime} & = ly z ^ {prime} & = lz t ^ {prime} & = {frac {lt} {gamma}} - {frac {gamma lvx ^ {ast}} {c ^ {2}}} = gamma lleft (t- {frac {vx} {c ^ {2}}} ight) konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

Za předpokladu, že l = 1 když proti= 0, předvedl to l = 1 musí to být případ všech rychlostí, proto může kontrakce délky vznikat pouze v linii pohybu. Takže nastavením faktoru l k jednotě Lorentzovy transformace nyní získaly stejnou formu jako Larmorova a jsou nyní dokončeny. Na rozdíl od Larmora, který se omezil na to, aby ukázal kovarianci Maxwellových rovnic druhého řádu, se Lorentz pokusil rozšířit jeho kovarianci na všechny řády v v / c. Rovněž odvodil správné vzorce pro závislost rychlosti na elektromagnetická hmotnost, a dospěl k závěru, že transformační vzorce musí platit pro všechny přírodní síly, nejen pro elektrické.^{[Pravidlo 25]} Nedosáhl však plné kovariance transformačních rovnic pro hustotu a rychlost náboje.^[55] Když byl papír z roku 1904 přetištěn v roce 1913, Lorentz proto přidal následující poznámku:^[56]

Jeden si všimne, že v této práci nebylo zcela dosaženo transformačních rovnic Einsteinovy teorie relativity. [..] Za těchto okolností závisí neobratnost mnoha dalších úvah v této práci.

Lorentzovu transformaci z roku 1904 citoval a používal Alfred Bucherer v červenci 1904:^{[Pravidlo 26]}

{displaystyle x ^ {prime} = {sqrt {s}} x, quad y ^ {prime} = y, quad z ^ {prime} = z, quad t '= {frac {t} {sqrt {s}}} - {sqrt {s}} {frac {u} {v ^ {2}}} x, quad s = 1- {frac {u ^ {2}} {v ^ {2}}}}

nebo Wilhelm Wien v červenci 1904:^{[Pravidlo 27]}

{displaystyle x = kx ', quad y = y', quad z = z ', quad t' = kt- {frac {v} {kc ^ {2}}} x}

nebo Emil Cohn v listopadu 1904 (nastavení rychlosti světla na jednotu):^{[Pravidlo 28]}

{displaystyle x = {frac {x_ {0}} {k}}, quad y = y_ {0}, quad z = z_ {0}, quad t = kt_ {0}, quad t_ {1} = t_ {0 } -wcdot r_ {0}, quad k ^ {2} = {frac {1} {1-w ^ {2}}}}

nebo Richard Gans v únoru 1905:^{[Pravidlo 29]}

{displaystyle x ^ {prime} = kx, quad y ^ {prime} = y, quad z ^ {prime} = z, quad t '= {frac {t} {k}} - {frac {kwx} {c ^ {2}}}, quad k ^ {2} = {frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -w ^ {2}}}}

Poincaré (1900, 1905)

Místní čas

Ani Lorentz, ani Larmor nepodali jasný fyzický výklad původu místního času. Nicméně, Henri Poincaré v roce 1900 komentoval původ Lorentzova „úžasného vynálezu“ místního času.^[57] Poznamenal, že to vzniklo, když jsou hodiny v pohybujícím se referenčním rámci synchronizovány výměnou signálů, u nichž se předpokládá, že budou cestovat stejnou rychlostí ${displaystyle c}$ v obou směrech, což vede k tomu, čemu se dnes říká relativita simultánnosti, ačkoli Poincarého výpočet nezahrnuje délkovou kontrakci ani dilataci času.^{[Pravidlo 30]} Za účelem synchronizace hodin zde na Zemi ( x *, t* rám) světelný signál z jedné hodiny (na počátku) je odeslán na druhou (v X*) a je odeslána zpět. Předpokládá se, že Země se pohybuje rychlostí proti v X-direction (= X* -direction) v nějakém klidovém systému (x, t) (tj. the světelný éter systém pro Lorentz a Larmor). Čas letu ven je

{displaystyle delta t_ {a} = {frac {x ^ {ast}} {left (c-vight)}}}

a čas letu zpět je

{displaystyle delta t_ {b} = {frac {x ^ {ast}} {left (c + vight)}}}

.

Uplynulý čas na hodinách, když je signál vrácen, je δt_A+ δt_b a čas t * = (δt_A+ δt_b)/2 je připisován okamžiku, kdy světelný signál dosáhl vzdálených hodin. V odpočinku čas t = δt_A je připisován stejnému okamžiku. Některá algebra dává vztah mezi různými časovými souřadnicemi připisovanými momentu odrazu. Tím pádem

{displaystyle t ^ {ast} = t- {frac {gamma ^ {2} vx ^ {*}} {c ^ {2}}}}

shodný s Lorentzem (1892). Poklesem faktoru γ² za předpokladu, že ${displaystyle {frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} ll 1}$ , Poincaré dal výsledek t * = t-vx * / c², což je forma používaná Lorentzem v roce 1895.

Podobné fyzikální interpretace místního času byly později dány Emil Cohn (1904)^{[Pravidlo 31]} a Max Abraham (1905).^{[Pravidlo 32]}

Lorentzova transformace

5. června 1905 (publikováno 9. června) Poincaré formuloval transformační rovnice, které jsou algebraicky ekvivalentní s Larmorem a Lorentzem, a dal jim moderní formu (4b):^{[Pravidlo 33]}

{displaystyle {egin {aligned} x ^ {prime} & = kl (x + varepsilon t) y ^ {prime} & = ly z ^ {prime} & = lz t '& = kl (t + varepsilon x ) k & = {frac {1} {sqrt {1-varepsilon ^ {2}}}} konec {zarovnáno}}}

.

Poincaré očividně nevěděl o Larmorových příspěvcích, protože zmínil pouze Lorentze, a proto poprvé použil název „Lorentzova transformace“.^[58]^[59] Poincaré nastavil rychlost světla na jednotu, poukázal na skupinové charakteristiky transformace nastavením l= 1, a upravil / opravil Lorentzovu derivaci rovnic elektrodynamiky v některých detailech, aby plně uspokojil princip relativity, tj. což je činí plně Lorentzovým kovariantem.^[60]

V červenci 1905 (publikováno v lednu 1906)^{[Pravidlo 34]} Poincaré podrobně ukázal, jak jsou transformace a elektrodynamické rovnice důsledkem zásada nejmenší akce; podrobněji demonstroval skupinové charakteristiky transformace, které nazval Skupina Lorentz, a ukázal, že kombinace X²+ y²+ z²-t² je neměnný. Všiml si, že Lorentzova transformace je pouhou rotací ve čtyřrozměrném prostoru o původu zavedením ${displaystyle ct {sqrt {-1}}}$ jako čtvrtá imaginární souřadnice a použil časnou formu čtyři vektory. Také formuloval vzorec přidání rychlosti (4d), který již odvodil v nepublikovaných dopisech Lorentzovi z května 1905:^{[Pravidlo 35]}

{displaystyle xi '= {frac {xi + varepsilon} {1 + xi varepsilon}}, eta' = {frac {eta} {k (1 + xi varepsilon)}}}

.

Einstein (1905) - speciální relativita

30. června 1905 (zveřejněno září 1905) Einstein zveřejnil to, co se nyní nazývá speciální relativita a dal novou derivaci transformace, která byla založena pouze na principu relativity a principu stálosti rychlosti světla. Zatímco Lorentz považoval „místní čas“ za matematické zařízení pro vysvětlení Michelson-Morleyova experimentu, Einstein ukázal, že souřadnice dané Lorentzovou transformací byly ve skutečnosti setrvačné souřadnice relativně pohyblivých referenčních rámců. Pro množství první objednávky v v / c toto bylo také provedeno Poincarým v roce 1900, zatímco Einstein touto metodou odvodil úplnou transformaci. Na rozdíl od Lorentze a Poincarého, kteří stále rozlišovali mezi skutečným časem v éteru a zdánlivým časem pro pohybující se pozorovatele, Einstein ukázal, že transformace se týkají povahy prostoru a času.^[61]^[62]^[63]

Zápis pro tuto transformaci je ekvivalentní Poincarého z roku 1905 a (4b), kromě toho, že Einstein nenastavil rychlost světla na jednotu:^{[Pravidlo 36]}

{displaystyle {egin {aligned} au & = eta left (t- {frac {v} {V ^ {2}}} xight) xi & = eta (x-vt) eta & = y zeta & = z eta & = {frac {1} {sqrt {1-left ({frac {v} {V}} ight) ^ {2}}}} end {aligned}}}

Einstein také definoval vzorec přidání rychlosti (4d, 4e):^{[Pravidlo 37]}

{displaystyle {egin {matrix} x = {frac {w_ {xi} + v} {1+ {frac {vw_ {xi}} {V ^ {2}}}}} t, y = {frac {sqrt {1 -left ({frac {v} {V}} ight) ^ {2}}} {1+ {frac {vw_ {xi}} {V ^ {2}}}}} w_ {eta} t U ^ { 2} = left ({frac {dx} {dt}} ight) ^ {2} + left ({frac {dy} {dt}} ight) ^ {2}, w ^ {2} = w_ {xi} ^ {2} + w_ {eta} ^ {2}, alpha = operatorname {arctg} {frac {w_ {y}} {w_ {x}}} U = {frac {sqrt {left (v ^ {2} + w ^ {2} + 2vwcos alpha ight) -left ({frac {vwsin alpha} {V}} ight) ^ {2}}} {1+ {frac {vwcos alpha} {V ^ {2}}}}} konec {matrix}} vlevo | {egin {matrix} {frac {u_ {x} -v} {1- {frac {u_ {x} v} {V ^ {2}}}}}} = u_ {xi} {frac {u_ {y}} {eta left (1- {frac {u_ {x} v} {V ^ {2}}} ight)}} = u_ {eta} {frac {u_ {z}} { eta vlevo (1- {frac {u_ {x} v} {V ^ {2}}} ight)}} = u_ {zeta} konec {matrix}} ight.}

a vzorec aberace světla (4f):^{[Pravidlo 38]}

{displaystyle cos varphi '= {frac {cos varphi - {frac {v} {V}}} {1- {frac {v} {V}} cos varphi}}}

Minkowski (1907–1908) - časoprostor

Práce na principu relativity od Lorentze, Einsteina, Planck, spolu s Poincarého čtyřrozměrným přístupem, byly dále rozpracovány a zkombinovány s hyperboloidní model podle Hermann Minkowski v letech 1907 a 1908.^{[Pravidlo 39]}^{[Pravidlo 40]} Minkowski zvlášť přeformuloval elektrodynamiku čtyřrozměrným způsobem (Minkowského časoprostor ).^[64] Například napsal x, y, z, to ve formě X₁, X₂, X₃, X₄. Definováním ψ jako úhlu otáčení kolem z- osa, Lorentzova transformace předpokládá formu (s C= 1) po dohodě s (2b):^{[Pravidlo 41]}

{displaystyle {egin {aligned} x '_ {1} & = x_ {1} x' _ {2} & = x_ {2} x '_ {3} & = x_ {3} cos ipsi + x_ { 4} sin ipsi x '_ {4} & = - x_ {3} sin ipsi + x_ {4} cos ipsi cos ipsi & = {frac {1} {sqrt {1-q ^ {2}}}} konec {zarovnáno}}}

I když Minkowski použil imaginární číslo iψ, pro jednou^{[Pravidlo 41]} přímo použil tangens hyperbolicus v rovnici pro rychlost

{displaystyle -i an ipsi = {frac {e ^ {psi} -e ^ {- psi}} {e ^ {psi} + e ^ {- psi}}} = q}

s

{displaystyle psi = {frac {1} {2}} ln {frac {1 + q} {1-q}}}

.

Minkowského výraz lze také psát jako ψ = atanh (q) a byl později nazýván rychlost. Napsal také Lorentzovu transformaci v maticové formě ekvivalentní k (2a) (n=3):^{[Pravidlo 42]}

{displaystyle {egin {matrix} x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = x_ {1} ^ {prime 2} + x_ {2} ^ {prime 2} + x_ {3} ^ {prime 2} + x_ {4} ^ {prime 2} left (x_ {1} ^ {prime} = x ', x_ {2 } ^ {prime} = y ', x_ {3} ^ {prime} = z', x_ {4} ^ {prime} = it'ight) - x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} + t ^ {2} = - x ^ {prime 2} -y ^ {prime 2} -z ^ {prime 2} + t ^ {prime 2} hline x_ {h} = alpha _ {h1} x_ {1} ^ {prime} + alpha _ {h2} x_ {2} ^ {prime} + alpha _ {h3} x_ {3} ^ {prime} + alpha _ {h4} x_ {4} ^ {prime} mathrm {A} = mathrm {left | {egin {matrix} alpha _ {11}, & alpha _ {12}, & alpha _ {13}, & alpha _ {14} alpha _ {21}, & alpha _ {22} , & alpha _ {23}, & alpha _ {24} alpha _ {31}, & alpha _ {32}, & alpha _ {33}, & alpha _ {34} alpha _ {41}, & alpha _ {42}, & alpha _ {43}, & alpha _ {44} end {matrix}} ight |, {egin {aligned} {ar {mathrm {A}}} mathrm {A} & = 1 left (det mathrm {A} ight) ^ {2} & = 1 det mathrm {A} & = 1 alpha _ {44} &> 0end {aligned}}} end {matrix}}}

Jako grafické znázornění Lorentzovy transformace představil Minkowského diagram, který se stal standardním nástrojem v učebnicích a výzkumných článcích o relativitě:^{[Pravidlo 43]}

Původní časoprostorový diagram od Minkowského v roce 1908.

Sommerfeld (1909) - sférická trigonometrie

Pomocí imaginární rychlosti, jako je Minkowski, Arnold Sommerfeld (1909) formuloval transformaci ekvivalentní Lorentzově podpoře (3b) a sčítání rychlosti relativistc (4d), pokud jde o trigonometrické funkce a sférický zákon kosinů:^{[Pravidlo 44]}

{displaystyle {egin {matrix} left. {egin {array} {lrl} x '= & x cos varphi + l sin varphi, & y' = y l '= & - x sin varphi + l cos varphi, & z' = zend {array}} ight} left (operatorname {tg} varphi = i eta, cos varphi = {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}}, sin varphi = {frac {i eta} { sqrt {1- eta ^ {2}}}} ight) hline eta = {frac {1} {i}} operatorname {tg} vlevo (varphi _ {1} + varphi _ {2} ight) = {frac { 1} {i}} {frac {operatorname {tg} varphi _ {1} + operatorname {tg} varphi _ {2}} {1-operatorname {tg} varphi _ {1} operatorname {tg} varphi _ {2} }} = {frac {eta _ {1} + eta _ {2}} {1+ eta _ {1} eta _ {2}}} cos varphi = cos varphi _ {1} cos varphi _ {2} - sin varphi _ {1} sin varphi _ {2} cos alpha v ^ {2} = {frac {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} + 2v_ {1} v_ {2} cos alpha - {frac {1} {c ^ {2}}} v_ {1} ^ {2} v_ {2} ^ {2} sin ^ {2} alpha} {left (1+ {frac {1} { c ^ {2}}} v_ {1} v_ {2} cos alpha ight) ^ {2}}} konec {matice}}}

Bateman and Cunningham (1909–1910) - Transformace sférických vln

V řadě s Lež (1871) výzkumu vztahu mezi transformacemi koulí s imaginární souřadnicí poloměru a 4D konformními transformacemi, poukázal Bateman a Cunningham (1909–1910), to nastavením u = ict jako imaginární čtvrté souřadnice lze vytvořit konformní transformace v časoprostoru. Nejen kvadratická forma ${displaystyle lambda left (dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} + du ^ {2} ight)}$ , ale také Maxwellovy rovnice jsou kovariantní s ohledem na tyto transformace, bez ohledu na volbu λ. Tyto varianty konformních nebo Lieových transformací koulí byly nazývány sférické vlnové transformace Bateman.^{[Pravidlo 45]}^{[Pravidlo 46]} Tato kovariance je však omezena na určité oblasti, jako je elektrodynamika, zatímco souhrn přírodních zákonů v inerciálních rámcích je pod kovariancí Skupina Lorentz.^{[Pravidlo 47]} Zejména nastavením λ = 1 na Lorentzovu skupinu SO (1,3) lze považovat za 10parametrovou podskupinu konformní skupiny 15parametrového časoprostoru Con (1,3).

Bateman (1910/12)^[65] také narážel na identitu mezi Laguerrova inverze a Lorentzovy transformace. Obecně na izomorfismus mezi Laguerrovou skupinou a Lorentzovou skupinou poukázal Élie Cartan (1912, 1915/55),^[24]^{[Pravidlo 48]} Henri Poincaré (1912/21)^{[Pravidlo 49]} a další.

Herglotz (1909/10) - Möbiova transformace

Následující Klein (1889–1897) a Fricke & Klein (1897) týkající se Cayleyova absolutního, hyperbolického pohybu a jeho transformace, Gustav Herglotz (1909/10) klasifikoval jednoparametrické Lorentzovy transformace jako loxodromické, hyperbolické, parabolické a eliptické. Obecný případ (vlevo) ekvivalentní Lorentzově transformaci (6a) a hyperbolický případ (napravo) ekvivalentní Lorentzově transformaci (3d) nebo zmáčkněte mapování (9d) jsou následující:^{[Pravidlo 50]}

{displaystyle left. {egin {matrix} z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0 z_ {1 } = x, z_ {2} = y, z_ {3} = z, z_ {4} = t Z = {frac {z_ {1} + iz_ {2}} {z_ {4} -z_ {3} }} = {frac {x + iy} {tz}}, Z '= {frac {x' + iy '} {t'-z'}} Z = {frac {alpha Z '+ eta} {gamma Z '+ delta}} end {matrix}} ight | {egin {matrix} Z = Z'e ^ {vartheta} {egin {aligned} x & = x', & t-z & = (t'-z ') e ^ {vartheta} y & = y ', & t + z & = (t' + z ') e ^ {- vartheta} konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

Varićak (1910) - Hyperbolické funkce

Následující Sommerfeld (1909), hyperbolické funkce používaly Vladimir Varićak v několika dokumentech počínaje rokem 1910, kteří na základě představovali rovnice speciální relativity hyperbolická geometrie pokud jde o Weierstrassovy souřadnice. Například nastavením l = ct a v / c = tanh (u) s u jako rychlost napsal Lorentzovu transformaci ve shodě s (3b):^{[Pravidlo 51]}

{displaystyle {egin {aligned} l '& = - xoperatorname {sh} u + loperatorname {ch} u, x' & = xoperatorname {ch} u-loperatorname {sh} u, y '& = y, quad z '= z, operatorname {ch} u & = {frac {1} {sqrt {1-left ({frac {v} {c}} ight) ^ {2}}}} end {aligned}}}

a ukázal vztah rychlosti k Gudermannská funkce a úhel rovnoběžnosti:^{[Pravidlo 51]}

{displaystyle {frac {v} {c}} = operatorname {th} u = operatorname {tg} psi = sin operatorname {gd} (u) = cos Pi (u)}

Souvisel také s přidáním rychlosti k hyperbolický zákon kosinů:^{[Pravidlo 52]}

{displaystyle {egin {matrix} operatorname {ch} {u} = operatorname {ch} {u_ {1}} operatorname {c} h {u_ {2}} + operatorname {sh} {u_ {1}} operatorname {sh } {u_ {2}} cos alpha operatorname {ch} {u_ {i}} = {frac {1} {sqrt {1-left ({frac {v_ {i}} {c}} ight) ^ {2 }}}}, operatorname {sh} {u_ {i}} = {frac {v_ {i}} {sqrt {1-left ({frac {v_ {i}} {c}} ight) ^ {2}} }} v = {sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} - vlevo ({frac {v_ {1} v_ {2}} {c}} vpravo) ^ {2} }} left (a = {frac {pi} {2}} ight) end {matrix}}}

Následně další autoři jako např E. T. Whittaker (1910) nebo Alfred Robb (1911, který vytvořil název rychlost) použil podobné výrazy, které se dodnes používají v moderních učebnicích.^[10]

Ignatowski (1910)

Zatímco dřívější derivace a formulace Lorentzovy transformace se od počátku spoléhaly na optiku, elektrodynamiku nebo invariantnost rychlosti světla, Vladimir Ignatowski (1910) ukázal, že je možné použít princip relativity (a související skupina teoretická principy) samostatně, aby bylo možné odvodit následující transformaci mezi dvěma setrvačnými rámci:^{[Pravidlo 53]}^{[Pravidlo 54]}

{displaystyle {egin {zarovnáno} dx '& = p dx-pq dt dt' & = - pqn dx + p dt p & = {frac {1} {sqrt {1-q ^ {2} n}}} konec {zarovnaný}}}

Proměnná n lze považovat za časoprostorovou konstantu, jejíž hodnota musí být určena experimentem nebo převzata ze známého fyzikálního zákona, jako je elektrodynamika. Za tímto účelem použil Ignatowski výše uvedený elipsoid Heaviside představující kontrakci elektrostatických polí X/ γ ve směru pohybu. Je vidět, že to odpovídá pouze Ignatowského transformaci, když n = 1 / c², což má za následek p= γ a Lorentzova transformace (4b). S n= 0, nedojde k žádným změnám délky a následuje Galileova transformace. Ignatowského metoda byla dále vyvinuta a vylepšena Philipp Frank a Hermann Rothe (1911, 1912),^{[Pravidlo 55]} s různými autory vyvíjejícími podobné metody v následujících letech.^[66]

Noether (1910), Klein (1910) - čtveřice

Felix Klein (1908) Cayley's (1854) Násobení 4D čtveřice jako „Drehstreckungen“ (ortogonální substituce, pokud jde o rotace, které ponechávají invariantní kvadratickou formu až do faktoru), a poukázal na to, že moderní princip relativity, který poskytuje Minkowski, je v podstatě pouze následnou aplikací takového Drehstreckungen neposkytl podrobnosti.^{[Pravidlo 56]}

V příloze ke Kleinově a Sommerfeldově „Teorii vrcholu“ (1910), Fritz Noether ukázal, jak formulovat hyperbolické rotace pomocí biquaternionů s ${displaystyle omega = {sqrt {-1}}}$ , což také souvisí s rychlostí světla nastavením ω²=-C². Došel k závěru, že toto je hlavní složka pro racionální zastoupení skupiny Lorentzových transformací ekvivalentní (7a):^{[Pravidlo 57]}

{displaystyle {egin {matrix} V = {frac {Q_ {1} vQ_ {2}} {T_ {1} T_ {2}}} hline X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2 } + omega ^ {2} S ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + omega ^ {2} s ^ {2} hline {egin {zarovnáno} V & = Xi + Yj + Zk + omega S v & = xi + yj + zk + omega s Q_ {1} & = (+ Ai + Bj + Ck + D) + omega (A'i + B'j + C'k + D ') Q_ {2} & = (- Ai-Bj-Ck + D) + omega (A'i + B'j + C'k-D') T_ {1} T_ {2} & = T_ {1} ^ {2} = T_ {2} ^ {2} = A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} + omega ^ {2} vlevo (A ^ {prime 2} + B ^ {prime 2} + C ^ {prime 2} + D ^ {prime 2} ight) konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

Kromě citování čtveřice souvisejících standardních děl, jako je Cayley (1854) „Noether odkazoval na záznamy v Kleinově encyklopedii od Eduardova studie (1899) a francouzská verze Élie Cartan (1908).^[67] Verze Cartanu obsahuje popis Studie duální čísla, Cliffordovy biquaterniony (včetně výběru ${displaystyle omega = {sqrt {-1}}}$ pro hyperbolickou geometrii) a Cliffordova algebra s odkazy na Stephanos (1883), Buchheim (1884/85), Vahlen (1901/02) a další.

Klein sám s odkazem na Noethera vydal v srpnu 1910 následující substituce čtveřice tvořící skupinu Lorentzových transformací:^{[Pravidlo 58]}

{displaystyle {egin {matrix} {egin {aligned} & left (i_ {1} x '+ i_ {2} y' + i_ {3} z '+ ict'ight) & quad -left (i_ {1} x_ { 0} + i_ {2} y_ {0} + i_ {3} z_ {0} + ict_ {0} ight) end {aligned}} = {frac {left [{egin {aligned} & left (i_ {1} ( A + iA ') + i_ {2} (B + iB') + i_ {3} (C + iC ') + i_ {4} (D + iD') ight) & quad cdot left (i_ {1} x + i_ {2} y + i_ {3} z + ictight) & quad quad cdot left (i_ {1} (A-iA ') + i_ {2} (B-iB') + i_ {3} (C- iC ') - (D-iD') ight) end {zarovnáno}} ight]} {vlevo (A ^ {prime 2} + B ^ {prime 2} + C ^ {prime 2} + D ^ {prime 2} ight) -left (A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} ight)}} hline {ext {where}} AA '+ BB' + CC '+ DD '= 0 A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2}> A ^ {prime 2} + B ^ {prime 2} + C ^ {prime 2} + D ^ {prime 2} konec {matrix}}}

nebo v březnu 1911^{[Pravidlo 59]}

{displaystyle {egin {matrix} g '= {frac {pgpi} {M}} hline {egin {zarovnáno} g & = {sqrt {-1}} ct + ix + jy + kz g' & = {sqrt { -1}} ct '+ ix' + jy '+ kz' p & = (D + {sqrt {-1}} D ') + i (A + {sqrt {-1}} A') + j (B + {sqrt {-1}} B ') + k (C + {sqrt {-1}} C') pi & = (D- {sqrt {-1}} D ') - i (A- {sqrt {-1} } A ') - j (B- {sqrt {-1}} B') - k (C- {sqrt {-1}} C ') M & = vlevo (A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} ight) - vlevo (A ^ {prime 2} + B ^ {prime 2} + C ^ {prime 2} + D ^ {prime 2} ight) & AA '+ BB '+ CC' + DD '= 0 & A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2}> A ^ {prime 2} + B ^ {prime 2} + C ^ {prime 2} + D ^ {prime 2} konec {zarovnáno}} konec {matrix}}}

Conway (1911), Silberstein (1911) - čtveřice

Arthur W. Conway v únoru 1911 výslovně formuloval kvartérní Lorentzovy transformace různých elektromagnetických veličin z hlediska rychlosti λ:^{[Pravidlo 60]}

{displaystyle {egin {matrix} {egin {aligned} {mathtt {D}} & = mathbf {a} ^ {- 1} {mathtt {D}} 'mathbf {a} ^ {- 1} {mathtt {sigma }} & = mathbf {a} {mathtt {sigma}} 'mathbf {a} ^ {- 1} konec {zarovnáno}} e = mathbf {a} ^ {- 1} e'mathbf {a} ^ {- 1} hline a = left (1-hc ^ {- 1} lambda ight) ^ {frac {1} {2}} left (1 + c ^ {- 2} lambda ^ {2} ight) ^ {- { frac {1} {4}}} konec {matrix}}}

Taky Ludwik Silberstein v listopadu 1911^{[Pravidlo 61]} stejně jako v roce 1914,^[68] formuloval Lorentzovu transformaci z hlediska rychlosti proti:

{displaystyle {egin {matrix} q '= QqQ hline {egin {aligned} q & = mathbf {r} + l = xi + yj + zk + iota ct q &' = mathbf {r} '+ l' = x ' i + y'j + z'k + iota ct ' Q & = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo ({sqrt {1 + gamma}} + mathrm {u} {sqrt {1-gamma} } ight) & = cos alpha + mathrm {u} sin alpha = e ^ {alpha mathrm {u}} & left {gamma = left (1-v ^ {2} / c ^ {2} ight) ^ {- 1/2}, 2alpha = operatorname {arctg} left (iota {frac {v} {c}} ight) ight} end {aligned}} end {matrix}}}

Silberstein cituje Cayley (1854, 1855) a vstup do encyklopedie Studie (v rozšířené francouzské verzi Cartana v roce 1908), stejně jako dodatek Kleinovy a Sommerfeldovy knihy.

Herglotz (1911), Silberstein (1911) - vektorová transformace

Gustav Herglotz (1911)^{[Pravidlo 62]} ukázal, jak formulovat transformaci ekvivalentní k (4c) za účelem umožnění libovolných rychlostí a souřadnic proti=(proti_X, v_y, v_z) a r=(x, y, z):

{displaystyle {egin {matrix} {ext {original}} & {ext {modern}} hline left. {egin {aligned} x ^ {0} & = x + alpha u (ux + vy + wz) - eta ut y ^ {0} & = y + alpha v (ux + vy + wz) - eta vt z ^ {0} & = z + alpha w (ux + vy + wz) - eta wt t ^ {0} & = - eta (ux + vy + wz) + eta t & alpha = {frac {1} {{sqrt {1-s ^ {2}}} vlevo (1+ {sqrt {1-s ^ {2}} } ight)}}, eta = {frac {1} {sqrt {1-s ^ {2}}}} konec {zarovnáno}} konec | & {egin {zarovnáno} x '& = x + alfa v_ {x} vlevo (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} zight) -gamma v_ {x} t y '& = y + alfa v_ {y} vlevo (v_ {x} x + v_ {y } y + v_ {z} zight) -gamma v_ {y} t z '& = z + alpha v_ {z} vlevo (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} zight) -gamma v_ {z} t t '& = - zbývající gamma (v_ {x} x + v_ {y} y + v_ {z} zight) + gamma t & alpha = {frac {gamma ^ {2}} {gamma + 1}}, gamma = {frac {1} {sqrt {1-v ^ {2}}}} konec {zarovnáno}} konec {matice}}}

To bylo zjednodušeno pomocí vektorové notace pomocí Ludwik Silberstein (1911 vlevo, 1914 vpravo):^{[Pravidlo 63]}

{displaystyle {egin {array} {c | c} {egin {aligned} mathbf {r} '& = mathbf {r} + (gamma -1) (mathbf {ru}) mathbf {u} + i eta gamma lu l '& = gamma left [li eta (mathbf {ru}) ight] end {aligned}} & {egin {aligned} mathbf {r}' & = mathbf {r} + left [{frac {gamma -1} { v ^ {2}}} (mathbf {vr}) -gamma tight] mathbf {v} t '& = gamma left [t- {frac {1} {c ^ {2}}} (mathbf {vr}) konec] konec {zarovnáno}} konec {pole}}}

Ekvivalentní vzorce byly také dány Wolfgang Pauli (1921),^[69] s Erwin Madelung (1922) poskytující maticovou formu^[70]

{displaystyle {egin {array} {c | c | c | c | c} & x & y & z & t hline x '& 1- {frac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} vlevo (1- { frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} ight) & - {frac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} ight) & - {frac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1 - eta ^ {2}}}} ight) & {frac {-v_ {x}} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} y '& - {frac {v_ {x} v_ {y} } {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} vpravo) a 1- {frac {v_ {y} ^ {2}} {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} vpravo) & - {frac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}} } vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} vpravo) & {frac {-v_ {y}} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} z '& - {frac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} vpravo) & - { frac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} vpravo) a 1- {frac {v_ { z} ^ {2}} {v ^ {2}}} vlevo (1- {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} vpravo) a {frac {-v_ {z}} { sqrt {1- eta ^ {2}}}} t '& {frac {-v_ {x}} {c ^ {2} {sqrt {1- eta ^ {2}}}}} & {frac {- v_ {y}} {c ^ {2} {sqrt {1- eta ^ {2}}}}} & {frac {-v_ {z}} {c ^ {2} {sqrt {1- eta ^ {2 }}}}} & {frac {1} {sqrt {1- eta ^ {2}}}} konec {pole}}}

Tyto vzorce byly nazývány „obecnou Lorentzovou transformací bez rotace“ Christian Møller (1952),^[71] který navíc dal ještě obecnější Lorentzovu transformaci, ve které kartézské osy mají různé orientace, pomocí a operátor rotace ${displaystyle {mathfrak {D}}}$ . V tomto případě, proti'=(proti'_X, v ′_y, v ′_z) není rovno -proti=(-proti_X, -v_y, -v_z), ale vztah ${displaystyle mathbf {v} '= - {mathfrak {D}} mathbf {v}}$ místo toho drží s výsledkem

{displaystyle {egin {array} {c} {egin {aligned} mathbf {x} '& = {mathfrak {D}} ^ {- 1} mathbf {x} -mathbf {v}' left {left (gamma -1ight ) (mathbf {xcdot v}) / v ^ {2} -gamma tight} t '& = gamma left (t- (mathbf {v} cdot mathbf {x}) / c ^ {2} ight) end {zarovnáno }} konec {pole}}}

Borel (1913–14) - parametr Cayley – Hermite

Borel (1913) začal demonstrací euklidovských pohybů pomocí parametru Euler-Rodrigues ve třech rozměrech a Cayley's (1846) parametr ve čtyřech rozměrech. Poté demonstroval souvislost s neurčitými kvadratickými formami vyjadřujícími hyperbolické pohyby a Lorentzovy transformace. Ve třech rozměrech ekvivalentních k (5b):^{[Pravidlo 64]}

{displaystyle {egin {matrix} x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} -1 = 0 hline {scriptstyle {egin {zarovnáno} delta a & = lambda ^ {2} + mu ^ {2 } + u ^ {2} -ho ^ {2}, & delta b & = 2 (lambda mu + u ho), & delta c & = - 2 (lambda u + mu ho), delta a '& = 2 (lambda mu - u ho), & delta b '& = - lambda ^ {2} + mu ^ {2} + u ^ {2} -ho ^ {2}, & delta c' & = 2 (lambda ho -mu u), delta a '' & = 2 (lambda u -mu ho), & delta b '' & = 2 (lambda ho + mu u), & delta c '' & = - vlevo (lambda ^ {2} + mu ^ {2} + u ^ {2} + ho ^ {2} ight), konec {zarovnáno}}} vlevo (delta = lambda ^ {2} + mu ^ {2} -ho ^ {2} -u ^ {2} ight) lambda = u = 0ightarrow {ext {hyperbolické otáčení}} konec {matice}}}

Ve čtyřech rozměrech ekvivalentních k (5c):^{[Pravidlo 65]}

{displaystyle {egin {matrix} F = left (x_ {1} -x_ {2} ight) ^ {2} + left (y_ {1} -y_ {2} ight) ^ {2} + left (z_ {1 } -z_ {2} ight) ^ {2} -left (t_ {1} -t_ {2} ight) ^ {2} hline {scriptstyle {egin {zarovnaný} & vlevo (mu ^ {2} + u ^ { 2} -alpha ^ {2} ight) cos varphi + left (lambda ^ {2} - eta ^ {2} -gamma ^ {2} ight) operatorname {ch} {heta} && - (alpha eta + lambda mu) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) - u sin varphi -gamma operatorname {sh} {heta} & - (alpha eta + lambda mu) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) - u sin varphi + gamma operatorname {sh} {heta} && left (mu ^ {2} + u ^ {2} - eta ^ {2} ight) cos varphi + left (mu ^ {2} -alpha ^ {2} -gamma ^ {2} ight) operatorname {ch} {heta} & - (alpha gamma + lambda u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + mu sin varphi - eta operatorname {sh} {heta} && - ( eta mu + mu u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + lambda sin varphi + alpha operatorname {sh} {heta} & (gamma mu - eta u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta }) + alpha sin varphi -lambda operatorname {sh} {heta} && - (alpha u -lambda gamma) (cos varph i -operatorname {ch} {heta}) + eta sin varphi -mu operatorname {sh} {heta} & quad - (alfa gamma + lambda u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + mu sin varphi + eta operatorname {sh} {heta} && quad (eta u -mu u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + alpha sin varphi -lambda operatorname {sh} {heta} & quad - (eta mu + mu u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) - lambda sin varphi -alpha operatorname {sh} {heta} && quad (lambda gamma -alpha u) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + eta sin varphi -mu operatorname {sh} {heta} & quad left (lambda ^ {2} + mu ^ {2} -gamma ^ {2} ight) cos varphi + left (u ^ {2} -alpha ^ {2} - eta ^ {2} ight) operatorname {ch} {heta} && quad (alpha mu - eta lambda) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + gamma sin varphi -u operatorname {sh} {heta} & quad ( eta gamma -alpha mu) (cos varphi -operatorname {ch} {heta}) + gamma sin varphi -u operatorname {sh} {heta} && quad -left (alpha ^ {2} + eta ^ {2} + gamma ^ { 2} ight) cos varphi + left (lambda ^ {2} + mu ^ {2} + u ^ {2} ight) o peratorname {ch} {heta} end {aligned}}} left (alpha ^ {2} + eta ^ {2} + gamma ^ {2} -lambda ^ {2} -mu ^ {2} -u ^ {2 } = - 1 světlo) konec {matrix}}}

Gruner (1921) - Trigonometrické Lorentz zvyšuje

Aby se zjednodušilo grafické znázornění Minkowského prostoru, Paul Gruner (1921) (s pomocí Josefa Sautera) vyvinuli to, co se nyní nazývá Loedel diagramy pomocí následujících vztahů:^{[Pravidlo 66]}

{displaystyle {egin {matrix} v = alpha cdot c; quad eta = {frac {1} {sqrt {1-alpha ^ {2}}}} sin varphi = alpha; quad eta = {frac {1} {cos varphi}}; quad alpha eta = an varphi hline x '= {frac {x} {cos varphi}} - tcdot an varphi, quad t' = {frac {t} {cos varphi}} - xcdot an varphi end { matice}}}

To je ekvivalentní Lorentzově transformaci (8a) podle totožnosti ${displaystyle sec varphi = {frac {1} {cos varphi}}}$

V jiném článku Gruner použil alternativní vztahy:^{[Pravidlo 67]}

{displaystyle {egin {matrix} alpha = {frac {v} {c}}; eta = {frac {1} {sqrt {1-alpha ^ {2}}}}; cos heta = alpha = {frac {v} {c}}; sin heta = {frac {1} {eta}}; cot heta =alpha cdot eta hline x'={frac {x}{sin heta }}-tcdot cot heta ,quad t'={frac {t}{sin heta }}-xcdot cot heta end{matrix}}}

This is equivalent to Lorentz Lorentz boost (8b) by the identity ${displaystyle csc heta ={ frac {1}{sin heta }}}$ .

Eulerova mezera

In pursuing the history in years before Lorentz enunciated his expressions, one looks to the essence of the concept. In mathematical terms, Lorentz transformations are zmáčkněte mapování, the linear transformations that turn a square into a rectangles of the same area. Before Euler, the squeezing was studied as quadrature of the hyperbola and led to the hyperbolic logarithm. In 1748 Euler issued his precalculus učebnice where the number E is exploited for trigonometry in the jednotkový kruh. The first volume of Introduction to the Analysis of the Infinite had no diagrams, allowing teachers and students to draw their own illustrations.

There is a gap in Euler's text where Lorentz transformations arise. A feature of natural logarithm is its interpretation as area in hyperbolic sectors. In relativity the classical concept of rychlost is replaced with rychlost, a hyperbolický úhel concept built on hyperbolic sectors. A Lorentz transformation is a hyperbolická rotace which preserves differences of rapidity, just as the circular sector area is preserved with a circular rotation. Euler's gap is the lack of hyperbolic angle and hyperbolické funkce, later developed by Johann H. Lambert. Euler described some transcendental functions: exponentiation and circular functions. He used the exponential series ${displaystyle sum _{0}^{infty }x^{n}/n!.}$ S imaginární jednotka i² = – 1, and splitting the series into even and odd terms, he obtained

{displaystyle e^{ix}=sum _{0}^{infty }(ix)^{2n}/(2n)! + sum _{0}^{infty }(ix)^{2n+1}/(2n+1)!=}

{displaystyle =sum _{0}^{infty }(-1)^{n}x^{2n}/2n!+isum _{0}^{infty }(-1)^{n}x^{2n+1}/(2n+1)! = cos x+isin x.}

This development misses the alternative:

{displaystyle e^{x}=cosh x+sinh x}

(even and odd terms), and

{displaystyle e^{jx}=cosh x+jsinh xquad (j^{2}=+1)}

which parametrizes the jednotka hyperbola.

Here Euler could have noted split-complex numbers spolu s complex numbers.

For physics, one space dimension is insufficient. But to extend split-complex arithmetic to four dimensions leads to hyperbolické čtveřice, and opens the door to abstraktní algebra je hypercomplex numbers. Reviewing the expressions of Lorentz and Einstein, one observes that the Lorentzův faktor je algebraic function of velocity. For readers uncomfortable with transcendental functions cosh and sinh, algebraic functions may be more to their liking.

Viz také

History of special relativity

Reference

Historické matematické prameny

Učební materiály související s History of Topics in Special Relativity/mathsource na Wikiversity

Historické zdroje relativity

^ ^A ^b Varićak (1912), p. 108
^ Borel (1914), pp. 39–41
^ Brill (1925)
^ Voigt (1887), p. 45
^ Lorentz (1915/16), p. 197
^ Lorentz (1915/16), p. 198
^ Bucherer (1908), p. 762
^ Heaviside (1888), p. 324
^ Thomson (1889), p. 12
^ Searle (1886), p. 333
^ Lorentz (1892a), p. 141
^ Lorentz (1892b), p. 141
^ Lorentz (1895), p. 37
^ Lorentz (1895), p. 49 for local time and p. 56 for spatial coordinates.
^ Larmor (1897), p. 229
^ Larmor (1897/1929), p. 39
^ Larmor (1900), p. 168
^ Larmor (1900), p. 174
^ Larmor (1904a), p. 583, 585
^ Larmor (1904b), p. 622
^ Lorentz (1899), p. 429
^ Lorentz (1899), p. 439
^ Lorentz (1899), p. 442
^ Lorentz (1904), p. 812
^ Lorentz (1904), p. 826
^ Bucherer, p. 129; Definition of s on p. 32
^ Wien (1904), p. 394
^ Cohn (1904a), pp. 1296-1297
^ Gans (1905), p. 169
^ Poincaré (1900), pp. 272–273
^ Cohn (1904b), p. 1408
^ Abraham (1905), § 42
^ Poincaré (1905), p. 1505
^ Poincaré (1905/06), pp. 129ff
^ Poincaré (1905/06), p. 144
^ Einstein (1905), p. 902
^ Einstein (1905), § 5 and § 9
^ Einstein (1905), § 7
^ Minkowski (1907/15), pp. 927ff
^ Minkowski (1907/08), pp. 53ff
^ ^A ^b Minkowski (1907/08), p. 59
^ Minkowski (1907/08), pp. 65–66, 81–82
^ Minkowski (1908/09), p. 77
^ Sommerfeld (1909), p. 826ff.
^ Bateman (1909/10), pp. 223ff
^ Cunningham (1909/10), pp. 77ff
^ Klein (1910)
^ Cartan (1912), p. 23
^ Poincaré (1912/21), p. 145
^ Herglotz (1909/10), pp. 404-408
^ ^A ^b Varićak (1910), p. 93
^ Varićak (1910), p. 94
^ Ignatowski (1910), pp. 973–974
^ Ignatowski (1910/11), p. 13
^ Frank & Rothe (1911), pp. 825ff; (1912), str. 750ff.
^ Klein (1908), p. 165
^ Noether (1910), pp. 939–943
^ Klein (1910), p. 300
^ Klein (1911), pp. 602ff.
^ Conway (1911), p. 8
^ Silberstein (1911/12), p. 793
^ Herglotz (1911), p. 497
^ Silberstein (1911/12), p. 792; (1914), p. 123
^ Borel (1913/14), p. 39
^ Borel (1913/14), p. 41
^ Gruner (1921a),
^ Gruner (1921b)

Abraham, M. (1905). "§ 42. Die Lichtzeit in einem gleichförmig bewegten System" . Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Leipzig: Teubner.
Bateman, Harry (1910) [1909]. "The Transformation of the Electrodynamical Equations" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 223–264. doi:10.1112/plms/s2-8.1.223.
Bateman, Harry (1912) [1910]. "Some geometrical theorems connected with Laplace's equation and the equation of wave motion". American Journal of Mathematics. 34 (3): 325–360. doi:10.2307/2370223. JSTOR 2370223.
Borel, Émile (1914). Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques. Paříž.
Brill, J. (1925). "Note on the Lorentz group". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 22 (5): 630. Bibcode:1925PCPS...22..630B. doi:10.1017/S030500410000949X.
Bucherer, A. H. (1904). Mathematische Einführung in die Elektronentheorie. Leipzig: Teubner.
Bucherer, A. H. (1908), "Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie. (Measurements of Becquerel rays. The Experimental Confirmation of the Lorentz-Einstein Theory)", Physikalische Zeitschrift, 9 (22): 758–762. For Minkowski's and Voigt's statements see p. 762.
Cartan, Élie (1912). "Sur les groupes de transformation de contact et la Cinématique nouvelle". Société de Mathématique the France – Comptes Rendus des Séances: 23.
Cohn, Emil (1904a), "Zur Elektrodynamik bewegter Systeme I" [On the Electrodynamics of Moving Systems I ], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1904/2 (40): 1294–1303
Cohn, Emil (1904b), "Zur Elektrodynamik bewegter Systeme II" [On the Electrodynamics of Moving Systems II ], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1904/2 (43): 1404–1416
Conway, A. W. (1911). "On the application of quaternions to some recent developments of electrical theory". Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A. 29: 1–9.
Cunningham, Ebenezer (1910) [1909]. "The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof" . Proceedings of the London Mathematical Society. 8: 77–98. doi:10.1112/plms/s2-8.1.77.
Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" (PDF), Annalen der Physik, 322 (10): 891–921, Bibcode:1905AnP...322..891E, doi:10.1002/andp.19053221004. Viz také: anglický překlad.
Frank, Philipp; Rothe, Hermann (1911). "Über die Transformation der Raum-Zeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme". Annalen der Physik. 339 (5): 825–855. Bibcode:1911AnP...339..825F. doi:10.1002/andp.19113390502.
Frank, Philipp; Rothe, Hermann (1912). "Zur Herleitung der Lorentztransformation". Physikalische Zeitschrift. 13: 750–753.
Gans, Richard (1905), "H. A. Lorentz. Elektromagnetische Vorgänge" [H.A. Lorentz: Electromagnetic Phenomena ], Beiblätter zu den Annalen der Physik, 29 (4): 168–170
Gruner, Paul & Sauter, Josef (1921a). "Représentation géométrique élémentaire des formules de la théorie de la relativité" [Elementary geometric representation of the formulas of the special theory of relativity ]. Archives des sciences physiques et naturelles. 5. 3: 295–296.
Gruner, Paul (1921b). "Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie" [An elementary geometrical representation of the transformation formulas of the special theory of relativity ]. Physikalische Zeitschrift. 22: 384–385.
Heaviside, Oliver (1889), "On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric" (PDF), Filozofický časopis, 5, 27 (167): 324–339, doi:10.1080/14786448908628362
Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [Wikisource translation: On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle ], Annalen der Physik, 336 (2): 393–415, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208
Herglotz, G. (1911). "Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie". Annalen der Physik. 341 (13): 493–533. Bibcode:1911AnP...341..493H. doi:10.1002/andp.19113411303.; English translation by David Delphenich: On the mechanics of deformable bodies from the standpoint of relativity theory.
Ignatowsky, W. v. (1910). "Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip" . Physikalische Zeitschrift. 11: 972–976.
Ignatowski, W. v. (1911) [1910]. "Das Relativitätsprinzip" . Archiv der Mathematik und Physik. 18: 17–40.
Ignatowski, W. v. (1911). "Eine Bemerkung zu meiner Arbeit: "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip"" . Physikalische Zeitschrift. 12: 779.
Klein, F. (1908). Hellinger, E. (ed.). Elementarmethematik vom höheren Standpunkte aus. Teil I. Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1907-08. Leipzig: Teubner.
Klein, Felix (1921) [1910]. Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe . Gesammelte Mathematische Abhandlungen. 1. pp. 533–552. doi:10.1007/978-3-642-51960-4_31. ISBN 978-3-642-51898-0.
Klein, F.; Sommerfeld A. (1910). Noether, Fr. (vyd.). Über die Theorie des Kreisels. Heft IV. Leipzig: Teuber.
Klein, F. (1911). Hellinger, E. (ed.). Elementarmethematik vom höheren Standpunkte aus. Teil I (Second Edition). Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1907-08. Leipzig: Teubner. hdl:2027/mdp.39015068187817.
Larmor, Joseph (1897), "On a Dynamical Theory of the Electric and Luminiferous Medium, Part 3, Relations with material media" , Filozofické transakce královské společnosti, 190: 205–300, Bibcode:1897RSPTA.190..205L, doi:10.1098/rsta.1897.0020
Larmor, Joseph (1929) [1897], "On a Dynamical Theory of the Electric and Luminiferous Medium. Part 3: Relations with material media", Mathematical and Physical Papers: Volume II, Cambridge University Press, pp. 2–132, ISBN 978-1-107-53640-1 (Reprint of Larmor (1897) with new annotations by Larmor.)
Larmor, Joseph (1900), Aether and Matter , Cambridge University Press
Larmor, Joseph (1904a). "On the intensity of the natural radiation from moving bodies and its mechanical reaction". Filozofický časopis. 7 (41): 578 –586. doi:10.1080/14786440409463149.
Larmor, Joseph (1904b). "On the ascertained Absence of Effects of Motion through the Aether, in relation to the Constitution of Matter, and on the FitzGerald-Lorentz Hypothesis" . Filozofický časopis. 7 (42): 621–625. doi:10.1080/14786440409463156.
Lorentz, Hendrik Antoon (1892a), "La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants", Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, 25: 363–552
Lorentz, Hendrik Antoon (1892b), "De relatieve beweging van de aarde en den aether" [The Relative Motion of the Earth and the Aether ], Zittingsverlag Akad. V. Wet., 1: 74–79
Lorentz, Hendrik Antoon (1895), Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern [Attempt of a Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Bodies ], Leiden: E.J. Brill
Lorentz, Hendrik Antoon (1899), "Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems" , Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 1: 427–442, Bibcode:1898KNAB....1..427L
Lorentz, Hendrik Antoon (1904), "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light" , Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 6: 809–831, Bibcode:1903KNAB....6..809L
Lorentz, Hendrik Antoon (1916) [1915], The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat, Leipzig & Berlin: B.G. Teubner
Minkowski, Hermann (1915) [1907], "Das Relativitätsprinzip" , Annalen der Physik, 352 (15): 927–938, Bibcode:1915AnP...352..927M, doi:10.1002/andp.19153521505
Minkowski, Hermann (1908) [1907], "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies ], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111
Minkowski, Hermann (1909) [1908], "Space and Time" , Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88
Müller, Hans Robert (1948). "Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie". Monatshefte für Mathematik und Physik. 52: 337–353.
Poincaré, Henri (1900), "La théorie de Lorentz et le principe de réaction" , Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, 5: 252–278. Viz také anglický překlad.
Poincaré, Henri (1906) [1904], "The Principles of Mathematical Physics" , Congress of arts and science, universal exposition, St. Louis, 1904, 1, Boston and New York: Houghton, Mifflin and Company, pp. 604–622
Poincaré, Henri (1905), "Sur la dynamique de l'électron" [On the Dynamics of the Electron ], Comptes Rendus, 140: 1504–1508
Poincaré, Henri (1906) [1905], "Sur la dynamique de l'électron" [On the Dynamics of the Electron ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129–176, Bibcode:1906RCMP...21..129P, doi:10.1007/BF03013466, hdl:2027/uiug.30112063899089
Poincaré, Henri (1921) [1912]. "Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des sciences de l'Université de Paris)". Acta Mathematica. 38 (1): 137–145. doi:10.1007/bf02392064. Written by Poincaré in 1912, printed in Acta Mathematica in 1914 though belatedly published in 1921.
Searle, George Frederick Charles (1897), "On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid" , Filozofický časopis, 5, 44 (269): 329–341, doi:10.1080/14786449708621072
Silberstein, L. (1912) [1911], "Quaternionic form of relativity", The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 23 (137): 790–809, doi:10.1080/14786440508637276
Sommerfeld, A. (1909), "Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie" [Wikisource translation: On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity ], Verh. Der DPG, 21: 577–582
Thomson, Joseph John (1889), "On the Magnetic Effects produced by Motion in the Electric Field" , Filozofický časopis, 5, 28 (170): 1–14, doi:10.1080/14786448908619821
Varićak, V. (1910), "Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie" [Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity ], Physikalische Zeitschrift, 11: 93–6
Varičak, V. (1912), "Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie" [On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity ], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 21: 103–127
Voigt, Woldemar (1887), "Ueber das Doppler'sche Princip" [On the Principle of Doppler ], Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen (2): 41–51
Wien, Wilhelm (1904). "Zur Elektronentheorie" . Physikalische Zeitschrift. 5 (14): 393–395.

Sekundární zdroje

^ Bôcher (1907), chapter X
^ Ratcliffe (1994), 3.1 and Theorem 3.1.4 and Exercise 3.1
^ Naimark (1964), 2 in four dimensions
^ Musen (1970) pointed out the intimate connection of Hill's scalar development and Minkowski's pseudo-Euclidean 3D space.
^ Touma et al. (2009) showed the analogy between Gauss and Hill's equations and Lorentz transformations, see eq. 22-29.
^ Müller (1910), p. 661, in particular footnote 247.
^ Sommerville (1911), p. 286, section K6.
^ Synge (1955), p. 129 for n=3
^ Laue (1921), pp. 79–80 for n=3
^ ^A ^b Rindler (1969), p. 45
^ Rosenfeld (1988), p. 231
^ ^A ^b Pauli (1921), p. 561
^ ^A ^b Barrett (2006), chapter 4, section 2
^ Miller (1981), chapter 1
^ Miller (1981), chapter 4–7
^ Møller (1952/55), Chapter II, § 18
^ Pauli (1921), pp. 562; 565–566
^ Plummer (1910), pp. 258-259: After deriving the relativistic expressions for the aberration angles φ' and φ, Plummer remarked on p. 259: Another geometrical representation is obtained by assimilating φ' to the eccentric and φ to the true anomaly in an ellipse whose eccentricity is v/U = sin β.
^ Robinson (1990), chapter 3-4, analyzed the relation between "Kepler's formula" and the "physical velocity addition formula" in special relativity.
^ Schottenloher (2008), section 2.2
^ Kastrup (2008), section 2.4.1
^ Schottenloher (2008), section 2.3
^ Coolidge (1916), p. 370
^ ^A ^b Cartan & Fano (1915/55), sections 14–15
^ Hawkins (2013), pp. 210–214
^ Meyer (1899), p. 329
^ Klein (1928), § 2B
^ Lorente (2003), section 3.3
^ ^A ^b Klein (1928), § 2A
^ Klein (1896/97), p. 12
^ ^A ^b Synge (1956), ch. IV, 11
^ Klein (1928), § 3A
^ Penrose & Rindler (1984), section 2.1
^ ^A ^b Lorente (2003), section 4
^ Penrose & Rindler (1984), p. 17
^ Synge (1972), pp. 13, 19, 24
^ Girard (1984), pp. 28–29
^ Sobczyk (1995)
^ Fjelstad (1986)
^ Cartan & Study (1908), section 36
^ Rothe (1916), section 16
^ ^A ^b Majerník (1986), 536–538
^ ^A ^b Terng & Uhlenbeck (2000), p. 21
^ Bondi (1964), p. 118
^ Miller (1981), 114–115
^ ^A ^b Pais (1982), Kap. 6b
^ Voigt's transformations and the beginning of the relativistic revolution, Ricardo Heras, arXiv:1411.2559 [1]
^ Brown (2003)
^ ^A ^b ^C Miller (1981), 98–99
^ ^A ^b Miller (1982), 1.4 & 1.5
^ Janssen (1995), 3.1
^ Darrigol (2000), Chap. 8.5
^ Macrossan (1986)
^ Jannsen (1995), Kap. 3.3
^ Miller (1981), Chap. 1.12.2
^ Jannsen (1995), Chap. 3.5.6
^ Darrigol (2005), Kap. 4
^ Pais (1982), Chap. 6c
^ Katzir (2005), 280–288
^ Miller (1981), Chap. 1.14
^ Miller (1981), Chap. 6
^ Pais (1982), Kap. 7
^ Darrigol (2005), Chap. 6
^ Walter (1999a)
^ Bateman (1910/12), pp. 358–359
^ Baccetti (2011), see references 1–25 therein.
^ Cartan & Study (1908), sections 35–36
^ Silberstein (1914), p. 156
^ Pauli (1921), p. 555
^ Madelung (1921), p. 207
^ Møller (1952/55), pp. 41–43

Baccetti, Valentina; Tate, Kyle; Visser, Matt (2012). "Inertial frames without the relativity principle". Journal of High Energy Physics. 2012 (5): 119. arXiv:1112.1466. Bibcode:2012JHEP...05..119B. doi:10.1007 / JHEP05 (2012) 119.
Bachmann, P. (1898). Die Arithmetik der quadratischen Formen. Erste Abtheilung. Lipsko: B.G. Teubner.
Bachmann, P. (1923). Die Arithmetik der quadratischen Formen. Zweite Abtheilung. Lipsko: B.G. Teubner.
Barnett, J. H. (2004). „Enter, stage center: The early drama of the hyperbolic functions“ (PDF). Matematický časopis. 77 (1): 15–30. doi:10.1080 / 0025570x.2004.11953223.
Barrett, J.F. (2006), Hyperbolická teorie relativity, arXiv:1102.0462
Bôcher, Maxim (1907). "Kvadratické formy". Úvod do vyšší algebry. New York: Macmillan.
Bondi, Hermann (1964). Relativita a zdravý rozum. New York: Doubleday & Company.
Bonola, R. (1912). Neeuklidovská geometrie: Kritická a historická studie jejího vývoje. Chicago: Open Court.
Brown, Harvey R. (2001), "Počátky kontrakce délky: I. Fitzgerald-Lorentzova hypotéza deformace", American Journal of Physics, 69 (10): 1044–1054, arXiv:gr-qc / 0104032, Bibcode:2001AmJPh..69.1044B, doi:10.1119/1.1379733 Viz také „Michelson, FitzGerald a Lorentz: vrátil se původ relativity“, Online.
Cartan, E.; Studie, E. (1908). "Nombres komplexy". Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées. 1.1: 328–468.
Cartan, E.; Fano, G. (1955) [1915]. „La théorie des groupes continus et la géométrie“. Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées. 3.1: 39–43. (Pouze strany 1–21 byly publikovány v roce 1915, celý článek včetně stran 39–43 o skupinách Laguerre a Lorentz byl posmrtně publikován v roce 1955 ve Cartanových shromážděných dokumentech a byl přetištěn v Encyclopédie v roce 1991.)
Coolidge, Juliane (1916). Pojednání o kruhu a kouli. Oxford: Clarendon Press.
Darrigol, Olivier (2000), Elektrodynamika od Ampere po Einsteina, Oxford: Oxford Univ. Lis, ISBN 978-0-19-850594-5
Darrigol, Olivier (2005), „Genesis of the theory of relativity“ (PDF), Séminaire Poincaré, 1: 1–22, Bibcode:2006eins.book .... 1D, doi:10.1007/3-7643-7436-5_1, ISBN 978-3-7643-7435-8
Dickson, L.E. (1923). Historie teorie čísel, svazek III, kvadratické a vyšší formy. Washington: Washington Carnegie Institution of Washington.
Fjelstad, P. (1986). "Rozšíření speciální relativity pomocí zmatených čísel". American Journal of Physics. 54 (5): 416–422. Bibcode:1986AmJPh..54..416g. doi:10.1119/1.14605.
Girard, P. R. (1984). "Skupina čtveřic a moderní fyzika". European Journal of Physics. 5 (1): 25–32. Bibcode:1984EJPh .... 5 ... 25G. doi:10.1088/0143-0807/5/1/007.
Gray, J. (1979). „Neeuklidovská geometrie - reinterpretace“. Historia Mathematica. 6 (3): 236–258. doi:10.1016/0315-0860(79)90124-1.
Gray, J .; Scott W. (1997). "Úvod" (PDF). Doplňky Trois sur la découverte des fonctions fuchsiennes (PDF). Berlín. s. 7–28.
Hawkins, Thomas (2013). „Cayley-Hermitův problém a maticová algebra“. Matematika Frobenius v kontextu: Cesta přes matematiku 18. až 20. století. Springer. ISBN 978-1461463337.
Janssen, Michel (1995), Srovnání Lorentzovy etherové teorie a speciální relativity ve světle experimentů Troutona a Nobleho (práce)
Kastrup, H. A. (2008). "O pokroku konformních transformací a jejich přidružených symetrií v geometrii a teoretické fyzice". Annalen der Physik. 520 (9–10): 631–690. arXiv:0808.2730. Bibcode:2008AnP ... 520..631K. doi:10.1002 / andp.200810324.
Katzir, Shaul (2005), „Poincarého relativistická fyzika: její počátky a povaha“, Fyzika v perspektivě, 7 (3): 268–292, Bibcode:2005PhP ..... 7..268K, doi:10.1007 / s00016-004-0234-r
Klein, F. (1897) [1896]. Matematická teorie vrcholu. New York: Scribner.
Klein, Felix; Blaschke, Wilhelm (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie. Berlín: Springer.
von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, pásmo 1 (čtvrté vydání vydání „Das Relativitätsprinzip“). Vieweg.; První vydání 1911, druhé rozšířené vydání 1913, třetí rozšířené vydání 1919.
Lorente, M. (2003). "Reprezentace klasických skupin na mřížce a její aplikace na teorii pole na diskrétním časoprostoru". Symetrie ve vědě. VI: 437–454. arXiv:hep-lat / 0312042. Bibcode:2003hep.lat..12042L.
Macrossan, M. N. (1986), „Poznámka o relativitě před Einsteinem“, British Journal for the Philosophy of Science, 37 (2): 232–234, CiteSeerX 10.1.1.679.5898, doi:10.1093 / bjps / 37.2.232
Madelung, E. (1922). Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. Berlín: Springer.
Majerník, V. (1986). "Reprezentace relativistických veličin trigonometrickými funkcemi". American Journal of Physics. 54 (6): 536–538. doi:10.1119/1.14557.
Meyer, W.F. (1899). „Invariantentheorie“. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 1.1: 322–455.
Miller, Arthur I. (1981), Speciální teorie relativity Alberta Einsteina. Vznik (1905) a raná interpretace (1905–1911)„Čtení: Addison – Wesley, ISBN 978-0-201-04679-3
Møller, C. (1955) [1952]. Teorie relativity. Oxford Clarendon Press.
Müller, Emil (1910). „Die verschiedenen Koordinatensysteme“. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1: 596–770.
Musen, P. (1970). „Diskuse o Hillově metodě světských poruch ...“. Nebeská mechanika. 2 (1): 41–59. Bibcode:1970CeMec ... 2 ... 41M. doi:10.1007 / BF01230449. hdl:2060/19700018328.
Naimark, M. A. (2014) [1964]. Lineární reprezentace skupiny Lorentz. Oxford. ISBN 978-1483184982.
Pacheco, R. (2008). „Bianchi – Bäcklund se proměňuje a obléká akce, znovu navštíveno“. Geometriae Dedicata. 146 (1): 85–99. arXiv:0808.4138. doi:10.1007 / s10711-009-9427-5.
Pauli, Wolfgang (1921), „Die Relativitätstheorie“, Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, 5 (2): 539–776
V angličtině: Pauli, W. (1981) [1921]. Teorie relativity. Základní teorie fyziky. 165. Dover Publications. ISBN 978-0-486-64152-2.
Pais, Abraham (1982), Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-520438-4
Penrose, R .; Rindler W. (1984), Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0521337076
Plummer, H. C. (1910), „O teorii aberace a principu relativity“, Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti, 70: 252–266, Bibcode:1910MNRAS..70..252P, doi:10.1093 / mnras / 70.3.252
Ratcliffe, J. G. (1994). "Hyperbolická geometrie". Základy hyperbolických potrubí. New York. str.56–104. ISBN 978-0387943480.
Reynolds, W. F. (1993). "Hyperbolická geometrie na hyperboloidu". Americký matematický měsíčník. 100 (5): 442–455. doi:10.1080/00029890.1993.11990430. JSTOR 2324297.
Rindler, W. (2013) [1969]. Základní relativita: speciální, obecná a kosmologická. Springer. ISBN 978-1475711356.
Robinson, E.A. (1990). Einsteinova relativita v metaforě a matematice. Prentice Hall. ISBN 9780132464970.
Rosenfeld, B.A. (1988). Historie neeuklidovské geometrie: vývoj konceptu geometrického prostoru. New York: Springer. ISBN 978-1441986801.
Rothe, H. (1916). „Analyzovat Systeme geometrischer“. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1: 1282–1425.
Schottenloher, M. (2008). Matematický úvod do konformní teorie pole. Springer. ISBN 978-3540706908.
Silberstein, L. (1914). Teorie relativity. Londýn: Macmillan.
Sobczyk, G. (1995). "Hyperbolická rovina čísel". The College Mathematics Journal. 26 (4): 268–280. doi:10.2307/2687027. JSTOR 2687027.
Sommerville, D. M. L. Y. (1911). Bibliografie neeuklidovské geometrie. London: London Pub. Harrison pro University of St. Andrews.
Synge, J. L. (1956), Relativita: Speciální teorie, Severní Holandsko
Synge, J. L. (1972). „Quaternions, Lorentzovy transformace a matice Conway – Dirac – Eddington“. Komunikace Dublinského institutu pro pokročilá studia. 21.
Terng, C. L., a Uhlenbeck, K. (2000). "Geometrie solitonů" (PDF). Oznámení AMS. 47 (1): 17–25.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
Touma, J. R., Tremaine, S., & Kazandjian, M. V. (2009). "Gaussova metoda pro sekulární dynamiku, změkčena". Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti. 394 (2): 1085–1108. arXiv:0811.2812. doi:10.1111 / j.1365-2966.2009.14409.x.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
Volk, O. (1976). „Miscellanea z dějin nebeské mechaniky“. Nebeská mechanika. 14 (3): 365–382. Bibcode:1976CeMec..14..365V. doi:10.1007 / bf01228523.
Walter, Scott A. (1999a). „Minkowski, matematici a matematická teorie relativity“. V H. Goenner; J. Renn; J. Ritter; T. Sauer (eds.). Rozšiřující se světy obecné relativity. Einsteinovy studie. 7. Boston: Birkhäuser. str. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6.
Walter, Scott A. (1999b). „Neeuklidovský styl minkowské relativity“. V J. Gray (ed.). Symbolický vesmír: geometrie a fyzika. Oxford: Oxford University Press. str. 91–127.
Walter, Scott A. (2018). „Čísla světla v rané historii relativity“. V Rowe D .; Sauer T .; Walter S. (eds.). Za Einsteinem. Einsteinovy studie. 14. New York: Birkhäuser. s. 3–50. doi:10.1007/978-1-4939-7708-6_1. ISBN 978-1-4939-7708-6.

externí odkazy

Mathpages: 1.4 Relativita světla

[var-13] A ^b Varićak (1912), p. 108

[28] Borel (1914), pp. 39–41

[29] Brill (1925)

[48] Voigt (1887), p. 45

[51] Lorentz (1915/16), p. 197

[53] Lorentz (1915/16), p. 198

[54] Bucherer (1908), p. 762

[55] Heaviside (1888), p. 324

[57] Thomson (1889), p. 12

[59] Searle (1886), p. 333

[60] Lorentz (1892a), p. 141

[62] Lorentz (1892b), p. 141

[63] Lorentz (1895), p. 37

[64] Lorentz (1895), p. 49 for local time and p. 56 for spatial coordinates.

[66] Larmor (1897), p. 229

[69] Larmor (1897/1929), p. 39

[70] Larmor (1900), p. 168

[71] Larmor (1900), p. 174

[72] Larmor (1904a), p. 583, 585

[73] Larmor (1904b), p. 622

[74] Lorentz (1899), p. 429

[75] Lorentz (1899), p. 439

[76] Lorentz (1899), p. 442

[78] Lorentz (1904), p. 812

[79] Lorentz (1904), p. 826

[82] Bucherer, p. 129; Definition of s on p. 32

[83] Wien (1904), p. 394

[84] Cohn (1904a), pp. 1296-1297

[85] Gans (1905), p. 169

[87] Poincaré (1900), pp. 272–273

[88] Cohn (1904b), p. 1408

[89] Abraham (1905), § 42

[90] Poincaré (1905), p. 1505

[94] Poincaré (1905/06), pp. 129ff

[95] Poincaré (1905/06), p. 144

[99] Einstein (1905), p. 902

[100] Einstein (1905), § 5 and § 9

[101] Einstein (1905), § 7

[102] Minkowski (1907/15), pp. 927ff

[103] Minkowski (1907/08), pp. 53ff

[mink1-105] A ^b Minkowski (1907/08), p. 59

[106] Minkowski (1907/08), pp. 65–66, 81–82

[107] Minkowski (1908/09), p. 77

[108] Sommerfeld (1909), p. 826ff.

[109] Bateman (1909/10), pp. 223ff

[110] Cunningham (1909/10), pp. 77ff

[111] Klein (1910)

[113] Cartan (1912), p. 23

[114] Poincaré (1912/21), p. 145

[115] Herglotz (1909/10), pp. 404-408

[var1-116] A ^b Varićak (1910), p. 93

[117] Varićak (1910), p. 94

[118] Ignatowski (1910), pp. 973–974

[119] Ignatowski (1910/11), p. 13

[120] Frank & Rothe (1911), pp. 825ff; (1912), str. 750ff.

[122] Klein (1908), p. 165

[123] Noether (1910), pp. 939–943

[125] Klein (1910), p. 300

[126] Klein (1911), pp. 602ff.

[127] Conway (1911), p. 8

[128] Silberstein (1911/12), p. 793

[130] Herglotz (1911), p. 497

[131] Silberstein (1911/12), p. 792; (1914), p. 123

[135] Borel (1913/14), p. 39

[136] Borel (1913/14), p. 41

[137] Gruner (1921a),

[138] Gruner (1921b)

[1] Bôcher (1907), chapter X

[ratcliffe-2] Ratcliffe (1994), 3.1 and Theorem 3.1.4 and Exercise 3.1

[3] Naimark (1964), 2 in four dimensions

[4] Musen (1970) pointed out the intimate connection of Hill's scalar development and Minkowski's pseudo-Euclidean 3D space.

[5] Touma et al. (2009) showed the analogy between Gauss and Hill's equations and Lorentz transformations, see eq. 22-29.

[6] Müller (1910), p. 661, in particular footnote 247.

[7] Sommerville (1911), p. 286, section K6.

[8] Synge (1955), p. 129 for n=3

[9] Laue (1921), pp. 79–80 for n=3

[rind-10] A ^b Rindler (1969), p. 45

[11] Rosenfeld (1988), p. 231

[pau-12] A ^b Pauli (1921), p. 561

[barr-14] A ^b Barrett (2006), chapter 4, section 2

[15] Miller (1981), chapter 1

[16] Miller (1981), chapter 4–7

[17] Møller (1952/55), Chapter II, § 18

[18] Pauli (1921), pp. 562; 565–566

[plum-19] Plummer (1910), pp. 258-259: After deriving the relativistic expressions for the aberration angles φ' and φ, Plummer remarked on p. 259: Another geometrical representation is obtained by assimilating φ' to the eccentric and φ to the true anomaly in an ellipse whose eccentricity is v/U = sin β.

[robin-20] Robinson (1990), chapter 3-4, analyzed the relation between "Kepler's formula" and the "physical velocity addition formula" in special relativity.

[21] Schottenloher (2008), section 2.2

[22] Kastrup (2008), section 2.4.1

[23] Schottenloher (2008), section 2.3

[24] Coolidge (1916), p. 370

[ReferenceA-25] A ^b Cartan & Fano (1915/55), sections 14–15

[26] Hawkins (2013), pp. 210–214

[27] Meyer (1899), p. 329

[30] Klein (1928), § 2B

[31] Lorente (2003), section 3.3

[k28-32] A ^b Klein (1928), § 2A

[33] Klein (1896/97), p. 12

[synge-34] A ^b Synge (1956), ch. IV, 11

[35] Klein (1928), § 3A

[36] Penrose & Rindler (1984), section 2.1

[Lorente_2003,_section_4-37] A ^b Lorente (2003), section 4

[38] Penrose & Rindler (1984), p. 17

[39] Synge (1972), pp. 13, 19, 24

[40] Girard (1984), pp. 28–29

[41] Sobczyk (1995)

[42] Fjelstad (1986)

[43] Cartan & Study (1908), section 36

[44] Rothe (1916), section 16

[maj-45] A ^b Majerník (1986), 536–538

[terng-46] A ^b Terng & Uhlenbeck (2000), p. 21

[47] Bondi (1964), p. 118

[49] Miller (1981), 114–115

[pais-50] A ^b Pais (1982), Kap. 6b

[52] Voigt's transformations and the beginning of the relativistic revolution, Ricardo Heras, arXiv:1411.2559 [1]

[56] Brown (2003)

[mil-58] A ^b ^C Miller (1981), 98–99

[milf-61] A ^b Miller (1982), 1.4 & 1.5

[65] Janssen (1995), 3.1

[67] Darrigol (2000), Chap. 8.5

[68] Macrossan (1986)

[77] Jannsen (1995), Kap. 3.3

[80] Miller (1981), Chap. 1.12.2

[81] Jannsen (1995), Chap. 3.5.6

[86] Darrigol (2005), Kap. 4

[91] Pais (1982), Chap. 6c

[92] Katzir (2005), 280–288

[93] Miller (1981), Chap. 1.14

[96] Miller (1981), Chap. 6

[97] Pais (1982), Kap. 7

[98] Darrigol (2005), Chap. 6

[104] Walter (1999a)

[112] Bateman (1910/12), pp. 358–359

[baccetti-121] Baccetti (2011), see references 1–25 therein.

[124] Cartan & Study (1908), sections 35–36

[129] Silberstein (1914), p. 156

[132] Pauli (1921), p. 555

[133] Madelung (1921), p. 207

[134] Møller (1952/55), pp. 41–43

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[R 1]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[R2]

[R 3]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[R 4]

[45]

[46]

[R 5]

[47]

[R 6]

[R 7]

[R 8]

[48]

[R 9]

[49]

[R 10]

[R 11]

[50]

[R 12]

[R 13]

[R 14]

[51]

[R 15]

[52]

[53]

[R 16]

[R 17]

[Pravidlo 18]

[Pravidlo 19]

[Pravidlo 20]

[Pravidlo 21]

[Pravidlo 22]

[Pravidlo 23]

[54]

[Pravidlo 24]

[Pravidlo 25]

[55]

[56]

[Pravidlo 26]

[Pravidlo 27]

[Pravidlo 28]

[Pravidlo 29]

[57]

[Pravidlo 30]

[Pravidlo 31]

[Pravidlo 32]

[Pravidlo 33]

[58]

[59]

[60]

[Pravidlo 34]

[Pravidlo 35]

[61]

[62]

[63]

[Pravidlo 36]

[Pravidlo 37]