Racionální ceny - Rational pricing - Wikipedia

Racionální ceny je předpoklad v finanční ekonomie že ceny aktiv (a tedy modely oceňování aktiv ) bude odrážet bez arbitráží cena aktiva, protože jakákoli odchylka od této ceny bude „arbitrážně odstraněna“. Tento předpoklad je užitečný při oceňování cenných papírů s pevným výnosem, zejména dluhopisů, a je zásadní pro stanovení ceny derivátových nástrojů.

Mechanika arbitráže

Arbitráž je praxe využití stavu nerovnováhy mezi dvěma (nebo případně více) trhy. Pokud lze tento nesoulad využít (tj. Po transakčních nákladech, nákladech na skladování, přepravních nákladech, dividendách atd.), Může arbitr „uzamknout“ bezrizikový zisk nákupem a prodejem současně na obou trzích.

Obecně arbitráž zajišťuje, že „ zákon jedné ceny „bude držet; arbitráž také vyrovná ceny aktiv se stejnými peněžními toky a stanoví cenu aktiv se známými budoucími peněžními toky.

Zákon jedné ceny

Stejné aktivum se musí obchodovat za stejnou cenu na všech trzích (dále jen „the zákon jedné ceny "). Pokud to není pravda, arbitr:

koupit aktivum na trhu, kde má nižší cenu, a současně ho prodat (krátký ) na druhém trhu za vyšší cenu
doručit aktivum kupujícímu a získat tuto vyšší cenu
zaplatit prodejci na levnějším trhu výtěžkem a snížit rozdíl.

Aktiva se stejnými peněžními toky

Dvě aktiva se stejnými peněžními toky musí obchodovat za stejnou cenu. Pokud to není pravda, arbitr:

prodat aktivum s vyšší cenou (krátký prodej ) a současně koupit aktivum s nižší cenou
financovat jeho nákup levnějšího aktiva výtěžkem z prodeje drahého aktiva a vydělat rozdíl
splnit své závazky vůči kupujícímu drahého aktiva pomocí peněžních toků z levnějšího aktiva.

Aktivum se známou budoucí cenou

Aktivum se známou cenou v budoucnosti musí dnes obchodovat za tuto cenu zlevněné na bezriziková sazba.

Tuto podmínku lze chápat jako aplikaci výše uvedeného, kde dvěma dotyčnými aktivy jsou aktivum, které má být dodáno, a bezrizikové aktivum.

a) kde je diskontovaná budoucí cena vyšší než dnešní cena:

Arbitr souhlasí s dodáním aktiva k budoucímu datu (tj. prodává vpřed ) a současně je dnes kupuje za půjčené peníze.
V den dodání arbitr předá podkladové aktivum a obdrží dohodnutou cenu.
Poté věřiteli splácí půjčenou částku plus úroky.
Rozdíl mezi dohodnutou cenou a splacenou částkou (tj. Dlužnou částkou) je zisk z arbitráže.

b) kde je diskontovaná budoucí cena dolní než dnešní cena:

Arbitr se zavazuje zaplatit za aktivum k budoucímu datu (tj. kupuje kupředu ) a současně prodává (krátký ) podkladové dnes; investuje (nebo banky) výnosy.
V den dodání inkasuje splatnou investici, která se zhodnotila bezrizikovou sazbou.
Poté převezme dodávku podkladového aktiva a zaplatí dohodnutou cenu pomocí splatné investice.
Rozdíl mezi hodnotou splatnosti a dohodnutou cenou je zisk arbitráže.

Bod b) je možný pouze pro držitele aktiva, kteří jej však nepotřebují do příštího data. Může být několik takových stran, pokud krátkodobá poptávka převyšuje nabídku, což vede k zaostávání.

Cenné papíry s pevným výnosem

Viz také Arbitráž s pevným příjmem; Rating dluhopisu.

Racionální cena je jedním z přístupů používaných při tvorbě cen dluhopisy s pevnou sazbou. Zde lze každý peněžní tok porovnat obchodováním v (a) několika násobcích a obligace s nulovým kupónem odpovídající datu kupónu a ekvivalent úvěrová způsobilost (pokud je to možné, od stejného emitenta jako oceňovaného dluhopisu) s odpovídající splatností, nebo (b) v odpovídající pás a ZCB. Poté, vzhledem k tomu, že peněžní toky lze replikovat, musí se cena dluhopisu dnes rovnat součtu každého z jeho peněžních toků diskontovaných stejnou rychlostí jako každý ZCB (za # Aktiva se stejnými peněžními toky ). Pokud by tomu tak nebylo, byla by možná arbitráž, která by cenu srovnala s cenou založenou na ZCB. Mechanika je následující.

Pokud je cena dluhopisu nevyrovnána se současnou hodnotou ZCB, arbitr mohl:

financovat její nákup kteréhokoli z dluhopisů nebo částky ZCB bylo levnější
podle krátký prodej jiný
a splnění jejích závazků v oblasti peněžních toků pomocí kupónů nebo splatných nul podle potřeby
pak by její zisk byl rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami.

Cenový vzorec je tedy ${ displaystyle P_ {0} = součet _ {t = 1} ^ {T} { frac {C_ {t}} {(1 + r_ {t}) ^ {t}}}}$ , kde každý peněžní tok ${ displaystyle C_ {t} ,}$ je zlevněno sazbou ${ displaystyle r_ {t} ,}$ který odpovídá datu kupónu. Vzorec je často vyjádřen jako ${ displaystyle P_ {0} = součet _ {t = 1} ^ {T} C (t) krát P (t)}$ pomocí cen místo sazeb, protože ceny jsou snadněji dostupné.

Racionální ceny platí také pro modelování úrokových sazeb obecněji: výnosové křivky musí být bez arbitráží s ohledem na ceny jednotlivých nástrojů.Vidět Bootstrapping (finance) a Více křivkový rámec.

Cenové deriváty

A derivát je nástroj, který umožňuje nákup a prodej stejného aktiva na dvou trzích - spotový trh a trh s deriváty. Matematické finance předpokládá, že jakákoli nerovnováha mezi těmito dvěma trhy bude odstraněna. Ve derivátové smlouvě se správnou cenou tedy cena derivátu, realizační cena (nebo referenční sazba ) a spotová cena bude souviset takovým způsobem, že arbitráž není možná. Vidět Základní věta o cenách bez arbitráží.

Futures

V futures kontrakt, aby nebyla možná arbitráž, cena zaplacená na dobírku ( forwardová cena ) musí být stejné jako náklady (včetně úroků) na nákup a skladování aktiva. Jinými slovy, racionální forwardová cena představuje očekávanou budoucí hodnota z základní diskontovány bezrizikovou sazbou („aktivum se známou budoucí cenou ", jak je uvedeno výše); viz Spot – budoucí parita. U jednoduchého aktiva bez dividend tedy hodnota budoucnosti / forwardu, ${ displaystyle F (t) ,}$ , bude zjištěno akumulací současné hodnoty ${ displaystyle S (t) ,}$ v čase ${ displaystyle t ,}$ do splatnosti ${ displaystyle T ,}$ mírou bezrizikového výnosu ${ displaystyle r ,}$ .

{ displaystyle F (t) = S (t) krát (1 + r) ^ {(T-t)} ,}

Tento vztah lze upravit pro náklady na skladování, dividendy, výnosy z dividend a výnosy pro pohodlí; vidět ceny futures kontraktů.

Jakákoli odchylka od této rovnosti umožňuje arbitráž následovně.

V případě, že je forwardová cena vyšší:

Arbitr prodává futures kontrakt a kupuje podkladový kapitál dnes (na spotovém trhu) za půjčené peníze.
V den dodání arbitr předá podkladové aktivum a obdrží dohodnutou forwardovou cenu.
Poté věřiteli splácí půjčenou částku plus úroky.
Rozdíl mezi těmito dvěma částkami je zisk z arbitráže.

V případě, že je forwardová cena dolní:

Arbitr kupuje futures kontrakt a prodává podkladové akcie dnes (na spotovém trhu); výnosy investuje.
V den dodání inkasuje splatnou investici, která se zhodnotila bezrizikovou sazbou.
Poté obdrží podkladové aktivum a zaplatí dohodnutou forwardovou cenu pomocí splatné investice. [Kdyby byl krátký podklad, nyní jej vrátí.]
Rozdíl mezi těmito dvěma částkami je zisk z arbitráže.

Swapy

Racionální cena je základem logiky vyměnit ocenění. Tady dva protistrany „swapové“ povinnosti, efektivní výměna tok peněz proudy počítané proti fiktivnímu ředitel školy částka a hodnota swapu je současná hodnota (PV) obou sad budoucích peněžních toků „vzájemně započtených“. Aby byla arbitráž zdarma, podmínky swapové smlouvy jsou takové, že zpočátku Síť současná hodnota těchto budoucích peněžních toků se rovná nule; vidět Swap (finance) #Valuation and Pricing. Jakmile jsou swapy obchodovány, mohou (musí) být oceněny také pomocí racionálních cen. Níže uvedené příklady jsou pro Úrokové swapy - a představuje čistě racionální ceny, jak to vylučuje úvěrové riziko - ačkoli se tato zásada vztahuje na jakýkoli typ swapu.

Ocenění při zahájení

Zvažte swap úrokové sazby s pevnou a pohyblivou úrokovou sazbou, kde strana A platí pevnou sazbu (Výměnná sazba ") a strana B platí pohyblivou sazbu. Tady, fixní sazba by byla taková, aby se současná hodnota budoucích plateb s pevnou úrokovou sazbou stranou A rovnala současné hodnotě očekávaný budoucí platby s pohyblivou sazbou (tj. čistá současná hodnota je nulová). Pokud by tomu tak nebylo, mohl by arbitr C:

Zaujměte pozici pomocí dolní současnou hodnotu plateb a půjčovat si prostředky rovnající se této současné hodnotě
Splňte závazky peněžních toků na pozici pomocí vypůjčených prostředků a získejte odpovídající platby - které mají vyšší současnou hodnotu
Pomocí přijatých plateb splácet dluh za vypůjčené prostředky
Kapesní rozdíl - kde rozdíl mezi současnou hodnotou půjčky a současnou hodnotou přílivu je zisk arbitráže

Následné ocenění

Plovoucí část úrokového swapu lze „rozložit“ na řadu dohody o termínových kurzech. Tady, protože swap má stejné platby jako FRA, musí platit arbitrážní bezplatné ceny, jak je uvedeno výše - tj. Hodnota této části se rovná hodnotě odpovídajících FRA. Podobně lze část „swapu s pevným příjmem“ swapu ocenit porovnáním s a pouto se stejným harmonogramem plateb. (Podobně, vzhledem k tomu, že jejich podřízené mít stejné peněžní toky, opce na dluhopisy a výměny jsou srovnatelné.) Viz Swap (finance) #Použití cen dluhopisů.

Možnosti

Jak je uvedeno výše, pokud je známá (nebo očekávaná) hodnota aktiva v budoucnosti, lze tuto hodnotu použít k určení dnešní racionální ceny aktiva. V volba kontrakt je však závislý na ceně podkladového aktiva, a proto je platba nejistá. Cenové modely opcí proto zahrnují logiku, která tuto budoucí hodnotu „zamkne“ nebo „odvodí“; oba přístupy přinášejí stejné výsledky. Metody, které předpokládají uzamčení budoucích peněžních toků ceny zdarma arbitrážía ti, z nichž vyvozují předpokládanou hodnotu rizikově neutrální ocenění.

K tomu (ve své nejjednodušší, i když široce používané formě) předpokládají oba přístupy „binomický model“ chování podkladový nástroj, který umožňuje pouze dva stavy - nahoru nebo dolů. Pokud je S aktuální cena, pak v dalším období bude cena buď Nahoru nebo S dolů. Zde je hodnota podílu v up-stavu je S × u a ve down-stavu je S × d (kde u a d jsou multiplikátory s d <1 binomický model opcí ). Vzhledem k těmto dvěma stavům pak přístup „bez arbitráže“ vytvoří pozici, která má v obou státech stejnou hodnotu - peněžní tok v jednom období je tedy známý a lze použít arbitrážní ceny. Rizikově neutrální přístup vyvozuje očekávanou hodnotu opce z vnitřní hodnoty na pozdějších dvou uzlech.

Ačkoli se tato logika jeví jako vzdálená od Black – Scholes vzorec a mřížkový přístup v Binomický model opcí, ve skutečnosti je základem obou modelů; vidět The Black – Scholes PDE. Předpoklad binomického chování v podkladové ceně je obhájitelný, protože se zvyšuje počet časových kroků mezi dneškem (ocenění) a cvičením a doba na časový krok je odpovídajícím způsobem krátká. Model Binomial options umožňuje vysoký počet velmi krátkých časových kroků (pokud kódovaný správně), zatímco Black – Scholes ve skutečnosti modeluje a kontinuální proces.

Níže uvedené příklady obsahují akcie jako podklad, ale lze je zobecnit na jiné nástroje. Hodnota a dát možnost lze odvodit níže, nebo je lze zjistit z hodnoty volání pomocí parita put-call.

Arbitráž zdarma

Zde je budoucí výplata „uzamčena“ pomocí „delta hedgingu“ nebo „replikující portfolio „Přístup. Jak je uvedeno výše, tato výplata se poté diskontuje a výsledek se dnes používá při ocenění opce.

Zajištění Delta

Je možné vytvořit pozici skládající se z Δ akcie a 1 volání prodáno, takže hodnota pozice bude v Nahoru a S dolů státy, a tudíž s jistotou známé (viz Zajištění Delta ). Tato určitá hodnota odpovídá výše uvedené forwardové ceně („Aktivum se známou budoucí cenou“ ) a jak je uvedeno výše, aby nebyla možná arbitráž, musí být současná hodnota pozice její očekávanou budoucí hodnotou diskontovanou bezrizikovou sazbou, r. Hodnota hovoru se pak zjistí rovnicemi dvou.

Řešení pro Δ tak, aby:
hodnota polohy v jednom období = Δ × Nahoru - ${ displaystyle max}$ (Nahoru - realizační cena, 0) = Δ × S dolů - ${ displaystyle max}$ (S dolů - realizační cena, 0)
Vyřešte hodnotu hovoru pomocí Δ, kde:
hodnota polohy dnes = hodnota polohy v jedné periodě ÷ (1 + r) = Δ × S proud - hodnota hovoru

Replikační portfolio

Je možné vytvořit pozici skládající se z Δ akcie a $B vypůjčené za bezrizikovou sazbu, která vyprodukuje stejné peněžní toky k jedné opci podkladové akcie. Vytvořená pozice je známá jako „replikující se portfolio“, protože její peněžní toky kopírují ty z opce. Jak je uvedeno výše („Aktiva se stejnými peněžními toky“ ), při absenci arbitrážních příležitostí, protože vyprodukované peněžní toky jsou totožné, musí být dnešní cena opce stejná jako dnešní hodnota pozice.

Řešte současně pro Δ a B tak, aby:
- Δ × Nahoru - B × (1 + r) = ${ displaystyle max}$ ( 0, Nahoru - realizační cena)
- Δ × S dolů - B × (1 + r) = ${ displaystyle max}$ ( 0, S dolů - realizační cena)
Vyřešte hodnotu hovoru pomocí Δ a B, kde:
- call = Δ × S proud - B

Všimněte si, že zde není žádné diskontování - úroková sazba se objevuje pouze jako součást stavby. Tento přístup se proto používá přednostně před ostatními, u nichž není jasné, zda lze bezrizikovou míru použít jako diskontní sazba v každém rozhodovacím bodě, nebo zda místo toho a bez rizika, lišící se státem, by bylo zapotřebí. Nejlepší příklad by byl pod Analýza skutečných možností^[1] kde akce vedení skutečně mění rizikové charakteristiky daného projektu, a tudíž Požadovaná míra návratnosti se mohou lišit ve stavech nahoru a dolů. Tady ve výše uvedených vzorcích pak máme: „Δ × Nahoru - B × (1 + r nahoru) ... “a„ Δ × S dolů - B × (1 + r dolů) ... “. Viz Ocenění skutečných opcí # Technické aspekty. (Dalším případem, kdy se předpoklady modelování mohou odchýlit od racionálních cen, je ocenění zaměstnaneckých opcí na akcie.)

Ocenění neutrální vůči riziku

Zde se hodnota opce vypočítá pomocí neutralita rizika předpoklad. Za tohoto předpokladu „očekávaná hodnota „(na rozdíl od hodnoty„ uzamčeno “) je zlevněné. Očekávaná hodnota se vypočítá pomocí vnitřní hodnoty z posledních dvou uzlů: „Možnost nahoru“ a „Možnost dolů“ s u a d jako multiplikátory cen, jak je uvedeno výše. Ty jsou poté váženy podle příslušných pravděpodobností: „pravděpodobnost“ p pohybu nahoru v podkladu a „pravděpodobnosti“ (1-p) pohybu dolů. Očekávaná hodnota je poté diskontována na r, bezriziková sazba.

Vyřešit pro p
za neutrality rizika, aby v akci nebyla možná arbitráž, dnešní cena musí představovat její očekávanou hodnotu diskontovanou bezrizikovou sazbou (tj. cena akcie je Martingale ):
${ displaystyle { begin {aligned} S & = { frac {p times S_ {u} + (1-p) times S_ {d}} {1 + r}} & = { frac {p times u times S + (1-p) times d times S} {1 + r}} Rightarrow p & = { frac {(1 + r) -d} {ud}} end {zarovnaný}}}$
Vyřešte hodnotu volání pomocí p
aby ve volání nebyla možná arbitráž, musí dnešní cena představovat jeho očekávanou hodnotu diskontovanou bezrizikovou sazbou:
${ displaystyle { begin {aligned} C & = { frac {p times C_ {u} + (1-p) times C_ {d}} {1 + r}} & = { frac {p times max (S_ {u} -k, 0) + (1-p) times max (S_ {d} -k, 0)} {1 + r}} end {zarovnáno}}}$

Předpoklad rizikové neutrality

Všimněte si, že výše neutrální vzorec rizika neodkazuje na očekávaný nebo předpokládaný výnos podkladu, ani na jeho volatilita - p, jak je vyřešen, se vztahuje k rizikově neutrální opatření na rozdíl od skutečného rozdělení pravděpodobnosti cen. Jak ceny bez arbitráže, tak i rizikově neutrální ocenění však přinášejí stejné výsledky. Ve skutečnosti lze ukázat, že „delta hedging“ a „rizikově neutrální ocenění“ používají stejné vzorce vyjádřené odlišně. Vzhledem k této rovnocennosti je při oceňování derivátů oprávněné předpokládat „neutralitu rizika“. Formálnější vztah je popsán prostřednictvím základní věta o cenách bez arbitráže.

Ceny akcií

The teorie arbitrážních cen (APT), obecná teorie oceňování aktiv, se stala vlivnou při tvorbě cen akcie. APT je toho názoru očekávaný výnos finančního aktiva lze modelovat jako lineární funkce různých makroekonomické faktory, kde citlivost na změny každého faktoru je reprezentována faktorem specifickým koeficient beta:

{ displaystyle E left (r_ {j} right) = r_ {f} + b_ {j1} F_ {1} + b_ {j2} F_ {2} + ... + b_ {jn} F_ {n} + epsilon _ {j}}

kde

${ displaystyle E (r_ {j})}$ je očekávaný výnos rizikového aktiva,
${ displaystyle r_ {f}}$ je bezriziková sazba,
${ displaystyle F_ {k}}$ je makroekonomický faktor,
${ displaystyle b_ {jk}}$ je citlivost aktiva na faktor ${ displaystyle k}$ ,
a ${ displaystyle epsilon _ {j}}$ je idiosynkratický náhodný šok rizikového aktiva se střední nulou.

Míra návratnosti odvozená od modelu se poté použije ke správnému nacenění aktiva - cena aktiva by se měla rovnat očekávané ceně na konci období zlevněné rychlostí naznačenou modelem. Pokud se cena odchýlí, arbitráž by ji měla uvést zpět do souladu. Investor zde za účelem provedení arbitráže „vytvoří“ aktivum se správnou cenou (a syntetický aktivum), a portfolio se stejnou čistou expozicí vůči každému z makroekonomických faktorů jako chybně oceněnému aktivu, ale s odlišným očekávaným výnosem. Viz teorie arbitrážních cen článek pro podrobnosti o konstrukci portfolia. Arbitr je poté v pozici, aby dosáhl bezrizikového zisku následovně:

Pokud je cena aktiva příliš nízká, portfolio měl ocenit sazbou implikovanou APT, zatímco nesprávně oceněné aktivum by ocenilo na více než tato sazba. Arbitr proto mohl:

Dnes: krátký prodej the portfolio a výdělek nakoupit nesprávně oceněné aktivum.
Na konci období: prodejte nesprávně oceněné aktivum, použijte výtěžek na zpětný odkup portfolioa kapesní rozdíl.

Pokud je cena aktiv příliš vysoká, portfolio měl ocenit sazbou implikovanou APT, zatímco nesprávně oceněné aktivum by ocenilo na méně než tato sazba. Arbitr proto mohl:

Dnes: krátký prodej nesprávně oceněné aktivum a koupit portfolio s výtěžkem.
Na konci období: prodat portfolio, použijte výtěžek na odkoupení nesprávně oceněného aktiva a do rozdílu.

Upozorňujeme, že při „skutečné arbitráži“ investor zablokuje a zaručeno výplata, zatímco v rámci arbitráže APT investor zablokuje kladně očekávaný vyplatit. APT tedy předpokládá „arbitráž v očekávání“ - tj. Že arbitráž investorů uvede ceny aktiv zpět do souladu s výnosy očekávanými modelem.

The model oceňování kapitálových aktiv (CAPM) je dřívější (více) vlivná teorie na oceňování aktiv. Ačkoli je CAPM založen na různých předpokladech, může být v některých ohledech považován za „zvláštní případ“ APT; konkrétně CAPM linie bezpečnostního trhu představuje jednofaktorový model ceny aktiv, kde beta je expozice změnám v „hodnota trhu“ jako celek.

Ceny bez arbitráže za systémového rizika

Klasické metody oceňování, jako je Black-Scholesův model nebo Mertonův model, nemohou zohlednit systémové riziko protistrany, které je přítomno v systémech s finanční propojeností.^[2]Další podrobnosti týkající se rizikově neutrálního, arbitrážního hodnocení aktiv a derivátů najdete v dokumentu systémové riziko článek (viz také ocenění pod systémovým rizikem ).

Viz také

Reference

^ Viz Ch. 23, odst. 5, in: Frank Reilly, Keith Brown (2011). „Investiční analýza a správa portfolia.“ (10. vydání). South-Western College Pub. ISBN 0538482389
^ Fischer, Tom (2014). „Ceny bez arbitráže pod systémovým rizikem: účtování o křížovém vlastnictví“. Matematické finance. 24 (1): 97–124 (Publikováno online: 19. června 2012). arXiv:1005.0768. doi:10.1111 / j.1467-9965.2012.00526.x.

externí odkazy

Arbitráž zdarma

Ceny podle arbitráže Webové stránky Historie ekonomického myšlení
Nápad za stanovování cen arbitráží, Samy Mohammed, Quantnotes
„Základní věta“ financí; část II. Prof. Mark Rubinstein, Haas School of Business
Teorie základních cen aktiv K. Prof. K. Border Kalifornský technologický institut
Pojem arbitráže a bezplatný oběd v matematických financích Walter Schachermayer
Žádná arbitráž v nepřetržitém čase Tyler Shumway

Neutralita vůči riziku a cena bez arbitráže

Rizikové neutrální ceny v diskrétním čase (PDF ), Prof.Don M. Chance
Vysvětlení rizikově neutrálních pravděpodobností. Nicolas Gisiger
Rizikově neutrální ocenění: Jemný úvod, Část II. Joseph Tham Duke University

Uplatňování na deriváty

Ocenění opcí v binomickém modelu (archivováno ), Prof. Ernst Maug, Rensselaer Polytechnic Institute
Ceny futures a forwardů pomocí Arbitrage Argument, Kvantové poznámky
Vztah mezi futures a spotovými cenami, Investiční analytická společnost jižní Afriky
Iluze dynamické replikace, Emanuel Derman a Nassim Taleb
Výměny a možnosti Prof. Don M. Šance

[Reilly_&_Brown-1] Viz Ch. 23, odst. 5, in: Frank Reilly, Keith Brown (2011). „Investiční analýza a správa portfolia.“ (10. vydání). South-Western College Pub. ISBN 0538482389

[Fischer_(2014a)-2] Fischer, Tom (2014). „Ceny bez arbitráže pod systémovým rizikem: účtování o křížovém vlastnictví“. Matematické finance. 24 (1): 97–124 (Publikováno online: 19. června 2012). arXiv:1005.0768. doi:10.1111 / j.1467-9965.2012.00526.x.

[1]

[2]