Krátký model - Short-rate model
A model s krátkou sazbou, v kontextu úrokové deriváty, je matematický model který popisuje budoucí vývoj úrokové sazby popisem budoucího vývoje EU krátká sazba, obvykle psaný .
Krátká sazba
Podle modelu s krátkou sazbou stochastický stavová proměnná je považován za okamžitý spotový kurz.[1] Krátká sazba, , pak je (nepřetržitě složený, anualizovaná) úroková sazba, za kterou si účetní jednotka může půjčit peníze na nekonečně krátkou dobu . Určení aktuální krátké sazby neurčuje celou výnosová křivka. Nicméně, argumenty bez arbitráže Ukažte, že za určitých poměrně uvolněných technických podmínek, pokud budeme modelovat vývoj jako stochastický proces pod rizikově neutrální opatření , pak cena v čase a obligace s nulovým kupónem zrání v čase s výplatou 1 je dána
kde je přírodní filtrace pro tento proces. Úrokové sazby implikované dluhopisy s nulovým kupónem tvoří výnosovou křivku, přesněji nulovou křivku. Určení modelu pro krátkou sazbu tedy určuje budoucí ceny dluhopisů. To znamená, že okamžité forwardové sazby jsou také specifikovány obvyklým vzorcem
Zvláštní modely s krátkou sazbou
V této části představuje standard Brownův pohyb pod rizikově neutrální míra pravděpodobnosti a své rozdíl. Kde je model lognormální, proměnná se předpokládá, že následovat Proces Ornstein – Uhlenbeck a předpokládá se, že bude následovat .
Jednofaktorové modely s krátkou sazbou
Následuje jednofaktorové modely, kde jediný stochastický faktor - krátká sazba - určuje budoucí vývoj všech úrokových sazeb. Jiné než Rendleman – Bartter a Ho – Lee, které nezachycují průměrná reverze úrokových sazeb lze tyto modely považovat za specifické případy Ornstein – Uhlenbeckových procesů. Modely Vasicek, Rendleman – Bartter a CIR mají pouze konečný počet volné parametry a proto je není možné specifikovat parametr hodnoty takovým způsobem, aby se model kryl s pozorovanými tržními cenami („kalibrace“). Tento problém je překonán tím, že se parametry umožňují deterministicky měnit s časem.[2][3] Tímto způsobem lze Ho-Lee a následující modely kalibrovat na tržní data, což znamená, že tyto mohou přesně vrátit cenu dluhopisů zahrnující výnosovou křivku. Implementace se obvykle provádí pomocí (binomický ) strom s krátkou sazbou [4] nebo simulace; vidět Příhradový model (finance) # Deriváty úrokových sazeb a Metody Monte Carlo pro stanovení ceny opcí.
- Merton model (1973) vysvětluje krátkou sazbu jako : kde je jednorozměrný Brownův pohyb pod bodem martingale opatření.[5]
- The Vasíčkův model (1977) modeluje krátkou sazbu jako ; to je často psáno .[6]
- The Model Rendleman – Bartter (1980) vysvětluje krátkou míru jako .[7]
- The Cox – Ingersoll – Rossův model (1985) předpokládá , je to často psáno . The faktor vylučuje (obecně) možnost záporných úrokových sazeb.[8]
- The Ho-Lee model (1986) modeluje krátkou sazbu jako .[9]
- The Trup – bílý model (1990) - nazývaný také rozšířený model Vasicek - předpokládá . V mnoha prezentacích jeden nebo více parametrů a nejsou závislé na čase. Model lze také použít jako lognormální. Mřížová implementace je obvykle trinomiální.[10][11]
- The Model Black – Derman – Toy (1990) pro časově závislou volatilitu krátkých sazeb a v opačném případě; model je lognormální.[12]
- The Černý – Karasinski model (1991), který je lognormální, má .[13] Tento model lze považovat za lognormální aplikaci Hull – White;[14] jeho mřížková implementace je podobně trinomiální (binomická vyžadující různé časové kroky).[4]
- The Model Kalotay – Williams – Fabozzi (1993) má krátkou míru jako , lognormální analogie k modelu Ho – Lee a speciální případ modelu Black – Derman – Toy.[15] Tento přístup je skutečně podobný „originálu Salomon Brothers model "(1987),[16] také lognormální varianta na Ho-Lee.[17]
Vícefaktorové modely s krátkou sazbou
Kromě výše uvedených jednofaktorových modelů existují také vícefaktorové modely s krátkou sazbou, z nichž nejznámější jsou Longstaff a Schwartz dvoufaktorový model a Chenův třífaktorový model (nazývaný také „stochastický průměr a stochastický model volatility“). Všimněte si, že pro účely řízení rizik „vytváříme realistické simulace úrokových sazeb „, tyto vícefaktorové modely s krátkou sazbou jsou někdy upřednostňovány před jednofaktorovými modely, protože vytvářejí scénáře, které jsou obecně lépe„ v souladu se skutečnými pohyby výnosové křivky “.[18]
- The Model Longstaff – Schwartz (1992) předpokládá, že dynamika krátké rychlosti je dána vztahem
- kde je krátká sazba definována jako
- The Chen model (1996), který má stochastický průměr a volatilitu krátké sazby, je dán vztahem
Další modely úrokových sazeb
Dalším významným rámcem pro modelování úrokových sazeb je Heath – Jarrow – Mortonův rámec (HJM). Na rozdíl od výše popsaných modelů s krátkou sazbou je tato třída modelů obecně nemarkovská. Díky tomu jsou obecné modely HJM výpočetně neřešitelné pro většinu účelů. Velkou výhodou modelů HJM je, že poskytují analytický popis celé výnosové křivky, nikoli jen krátkou sazbu. Pro některé účely (např. Ocenění cenných papírů krytých hypotékou) to může být velké zjednodušení. Cox – Ingersoll – Ross a Hull – White modely v jedné nebo více dimenzích lze oba přímo vyjádřit v rámci HJM. Jiné modely s krátkou frekvencí nemají žádné jednoduché duální zastoupení HJM.
Rámec HJM s více zdroji náhodnosti, včetně toho, jak to dělá Model Brace – Gatarek – Musiela a tržní modely, se často upřednostňuje u modelů vyšších rozměrů.
Viz také
Reference
- ^ Modely s krátkou sazbou, Prof. Andrew Lesniewski, NYU
- ^ Přehled modelů s možností úrokové sazby Archivováno 06.04.2012 na Wayback Machine, Prof. Farshid Jamshidian, University of Twente
- ^ Kontinuální modely s krátkou rychlostí Archivováno 2012-01-23 na Wayback Machine Martin Haugh, Columbia University
- ^ A b Binomické modely termínových struktur, Mathematica ve vzdělávání a výzkumu, Sv. 7. č. 3 1998. Simon Benninga a Zvi Wiener.
- ^ Merton Robert C. (1973). „Teorie racionálního stanovení cen opcí“. Bell Journal of Economics and Management Science. 4 (1): 141–183. doi:10.2307/3003143. hdl:1721.1/49331. JSTOR 3003143.
- ^ Vasicek, Oldrich (1977). "Rovnovážná charakteristika termínové struktury". Journal of Financial Economics. 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.456.1407. doi:10.1016 / 0304-405X (77) 90016-2.
- ^ Rendleman, R .; Bartter, B. (1980). "Cena opcí na dluhové cenné papíry". Časopis finanční a kvantitativní analýzy. 15 (1): 11–24. doi:10.2307/2979016. JSTOR 2979016.
- ^ Cox, J.C., J.E. Ingersoll a Ross (1985). „Teorie termínové struktury úrokových sazeb“. Econometrica. 53 (2): 385–407. doi:10.2307/1911242. JSTOR 1911242.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ T.S.Y. Ho a S.B. Závětří (1986). "Pohyby termínové struktury a oceňování podmíněných pohledávek úrokové sazby". Journal of Finance. 41 (5): 1011–1029. doi:10.2307/2328161. JSTOR 2328161.
- ^ John Hull a Alan White (1990). „Stanovení cen úrokových derivátových cenných papírů“. Přehled finančních studií. 3 (4): 573–592. doi:10.1093 / rfs / 3.4.573.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
- ^ Markus Leippold a Zvi Wiener (2004). „Efektivní kalibrace trinomálních stromů pro jednofaktorové modely s krátkou frekvencí“ (PDF). Přehled výzkumu derivátů. 7 (3): 213–239. CiteSeerX 10.1.1.203.4729. doi:10.1007 / s11147-004-4810-8.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
- ^ Černá, F .; Derman, E.; Hračka, W. (1990). „Jednofaktorový model úrokových sazeb a jeho aplikace na opce na státní dluhopisy“ (PDF). Deník finančních analytiků: 24–32. Archivovány od originál (PDF) dne 10. 9. 2008.
- ^ Black, F .; Karasinski, P. (1991). „Ceny dluhopisů a opcí, pokud jsou krátké sazby logické“. Deník finančních analytiků. 47 (4): 52–59. doi:10,2469 / faj.v47.n4.52.
- ^ Modely s krátkou rychlostí[trvalý mrtvý odkaz ]Profesor Ser-Huang Poon, Manchester Business School
- ^ Kalotay, Andrew J.; Williams, George O .; Fabozzi, Frank J. (1993). "Model oceňování dluhopisů a vložených opcí". Deník finančních analytiků. 49 (3): 35–46. doi:10,2469 / faj.v49.n3.35.
- ^ Kopprasch, Robert (1987). „Efektivní trvání splatných dluhopisů: model oceňování opcí na základě struktury termínů Salomon Brothers“. Salomon Bros. OCLC 16187107. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Vidět str. 218 v Tuckman, Bruce & Angel Serrat (2011). Cenné papíry s pevným výnosem: nástroje pro dnešní trhy. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0470891698.
- ^ Úskalí ve správě aktiv a odpovědnosti: Modely strukturovaných termínových struktur, Dr. Donald R. van Deventer, Kamakura Corporation
- ^ Longstaff, F.A. a Schwartz, E.S. (1992). „Volatilita úrokových sazeb a termínová struktura: dvoufaktorový model obecné rovnováhy“ (PDF). Journal of Finance. 47 (4): 1259–82. doi:10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04657.x.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
- ^ Lin Chen (1996). „Stochastický průměr a stochastická volatilita - třífaktorový model termínové struktury úrokových sazeb a jeho aplikace na oceňování úrokových derivátů“. Finanční trhy, instituce a nástroje. 5: 1–88.
Další čtení
- Martin Baxter a Andrew Rennie (1996). Finanční kalkul. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55289-9.
- Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modely úrokových sazeb - teorie a praxe s úsměvem, inflací a úvěrem (2. vydání, vydání z roku 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Gerald Buetow a James Sochacki (2001). Modely termínové struktury využívající binomické stromy. Výzkumná nadace AIMR (Institut CFA ). ISBN 978-0-943205-53-3.
- Andrew J.G. Cairns (2004). Úrokové modely - úvod. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11894-9.
- Andrew J.G. Cairns (2004). Úrokové modely; vstup do Encyklopedie pojistněmatematické vědy. John Wiley and Sons. 2004. ISBN 978-0-470-84676-6.
- K. C. Chan, G. Andrew Karolyi, Francis Longstaff a Anthony Sanders (1992). Empirické srovnání alternativních modelů krátkodobé úrokové sazby (PDF). The Journal of Finance, Sv. XLVII, č. 3. července 1992.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- Lin Chen (1996). Dynamika úrokových sazeb, stanovení cen derivátů a řízení rizik. Springer. ISBN 978-3-540-60814-1.
- Rajna Gibson, François-Serge Lhabitant a Denis Talay (1999). Modelování termínové struktury úrokových sazeb: Přehled. The Journal of Risk, 1 (3): 37–62, 1999.
- Lane Hughston (2003). Minulost, současnost a budoucnost modelování termínových struktur; vstup do Peter Field (2003). Moderní řízení rizik. Knihy o riziku. ISBN 9781906348304.
- Jessica James & Nick Webber (2000). Modelování úrokových sazeb. Wiley Finance. ISBN 978-0-471-97523-6.
- Robert Jarrow (2002). Modelování cenných papírů s pevným výnosem a možnosti úrokové sazby (2. vydání). Stanfordská ekonomika a finance. ISBN 978-0-8047-4438-6.
- Robert Jarrow (2009). „Termínová struktura úrokových sazeb“. Výroční revize finanční ekonomiky. 1 (1): 69–96. doi:10.1146 / annurev.financial.050808.114513.
- F.C. Park (2004). „Implementace modelů úrokových sazeb: praktický průvodce“ (PDF). Publikace CMPR Research. Archivovány od originál (PDF) dne 16. 8. 2010.
- Riccardo Rebonato (2002). Moderní ceny úrokových derivátů. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08973-7.
- Riccardo Rebonato (2003). „Modely termínové struktury: recenze“ (PDF). Royal Bank of Scotland Quantitative Research Centre Working Paper.