Homotetická transformace - Homothetic transformation
v matematika, a homotety (nebo homothecynebo homogenní dilatace) je proměna z afinní prostor určeno bodem S volal jeho centrum a nenulové číslo λ volal jeho poměr, který posílá
jinými slovy to opravuje Sa pošle každý M do jiného bodu N takový, že segment SN je na stejném řádku jako SM, ale zmenšen faktorem λ.[1] v Euklidovská geometrie homotheties jsou podobnosti že opraví bod a buď zachová (pokud λ > 0) nebo zpět (pokud λ < 0) směr všech vektorů. Spolu s překlady, všechny homothetie afinního (nebo euklidovského) prostoru tvoří a skupina, skupina dilatace nebo homothety překlady. To jsou přesně ty afinní transformace s vlastností, že obraz každého řádku L je čára paralelní na L.
v projektivní geometrie, homotetická transformace je transformace podobnosti (tj. opravuje danou eliptickou involuci), která opouští čáru v nekonečnu bodově neměnný.[2]
V euklidovské geometrii je homothety poměru λ vynásobí vzdálenosti mezi body o |λ| a všechny oblasti do λ2. Zde |λ| je poměr zvětšení nebo dilatační faktor nebo měřítko nebo poměr podobnosti. Takovou transformaci lze nazvat rozšíření pokud faktor měřítka překročí 1. Výše uvedený pevný bod S je nazýván homotetické centrum nebo centrum podobnosti nebo centrum podobnosti.
Termín, vytvořený francouzským matematikem Michel Chasles, je odvozen ze dvou řeckých prvků: předpony homo- (jinam), což znamená „podobné“ a teze (Θέσις), což znamená „poloha“. Popisuje vztah mezi dvěma postavami stejného tvaru a orientace. Například dva Ruské panenky dívat se stejným směrem lze považovat za homotetické.
Homothety a jednotné měřítko
Pokud homotetické centrum S se shoduje s původ Ó vektorového prostoru (S ≡ Ó), pak každé homothety s poměrem λ je ekvivalentní a jednotné měřítko stejným faktorem, který posílá
V důsledku toho v konkrétním případě, ve kterém S ≡ Óse z homothety stává a lineární transformace, která zachovává nejen kolineárnost bodů (přímky jsou mapovány na přímky), ale také sčítání vektorů a skalární násobení.
Obraz bodu (X, y) po homothety se středem (A, b) a poměr λ darováno (A + λ(X − A), b + λ(y − b)).
Viz také
- Měřítko (geometrie) podobný pojem ve vektorových prostorech
- Homotetické centrum, centrum homotetické transformace, která bere jeden z dvojice tvarů do druhého
- The Hadwigerův dohad na počtu přísně menších homotetických kopií konvexního těla, které mohou být potřebné k zakrytí
- Homotetická funkce (ekonomie), funkce formuláře F(U(y)) ve kterém U je homogenní funkce a F je monotónně rostoucí funkce.
Poznámky
- ^ Hadamard, str. 145)
- ^ Tuller (1967, str. 119)
Reference
- Hadamard, J., Lekce v rovinné geometrii
- Meserve, Bruce E. (1955), "Homotetické transformace", Základní pojmy geometrie, Addison-Wesley, s. 166–169
- Tuller, Annita (1967), Moderní úvod do geometrií„University Series in Undergraduate Mathematics, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.
externí odkazy
- Homothety, interaktivní applet z Cut-the-Knot.