Mapování smyku - Shear mapping - Wikipedia

Horizontální střih roviny s koeficientem m = 1,25, ilustrovaný jeho účinkem (zeleně) na obdélníkovou mřížku a některými čísly (modře). Černá tečka je původ.

v rovinná geometrie, a smykové mapování je lineární mapa který posouvá každý bod pevným směrem o částku úměrnou jeho podepsaná vzdálenost z čára to je paralelní tímto směrem a prochází počátkem.^[1] Tento typ mapování se také nazývá smyková transformace, transvekce, nebo prostě stříhání.

Příkladem je mapování, které bere libovolný bod pomocí souřadnice ${ displaystyle (x, y)}$ do té míry ${ displaystyle (x + 2y, y)}$ . V tomto případě je posun vodorovný, pevná čára je ${ displaystyle x}$ -osa a podepsaná vzdálenost je ${ displaystyle y}$ koordinovat. Všimněte si, že body na opačných stranách referenční čáry jsou posunuty v opačných směrech.

Mapování smyku nesmí být zaměňováno rotace. Aplikování smykové mapy na sadu bodů v rovině změní vše úhly mezi nimi (kromě rovné úhly ) a délku jakékoli úsečka to není rovnoběžné se směrem posunutí. Proto obvykle naruší tvar geometrického obrazce, například změní čtverce na jiné než čtvercové rovnoběžníky, a kruhy do elipsy. Nicméně stříhání zachovává plocha geometrických obrazců a vyrovnání a relativní vzdálenosti kolineární bodů. Mapování smyku je hlavní rozdíl mezi svislou a šikmé (nebo kurzíva) styly písmena.

v dynamika tekutin smykové mapování zobrazuje tok tekutiny mezi rovnoběžnými deskami v relativním pohybu.

Stejná definice se používá v trojrozměrná geometrie, kromě toho, že vzdálenost se měří od pevné roviny. Trojrozměrná smyková transformace zachovává objem objemných obrazců, ale mění oblasti rovinných obrazců (kromě těch, které jsou rovnoběžné s posunem). Tato transformace se používá k popisu laminární proudění tekutiny mezi deskami, přičemž jedna se pohybuje v rovině nad a rovnoběžně s první.

Obecně ${ displaystyle n}$ -dimenzionální Kartézský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , vzdálenost se měří z pevné nadrovina rovnoběžně se směrem posunutí. Tato geometrická transformace je a lineární transformace z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ který zachovává ${ displaystyle n}$ -dimenzionální opatření (hypervolume) libovolné sady.

Definice

Horizontální a vertikální střih roviny

Prostřednictvím a smykové mapování kódovaný v SVG,
A obdélník se stává rovnoběžník.

V letadle ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2} = mathbb {R} krát mathbb {R}}$ , a horizontální střih (nebo smyk paralelní do X osa) je funkce, která bere obecný bod se souřadnicemi ${ displaystyle (x, y)}$ do té míry ${ displaystyle (x + můj, y)}$ ; kde ${ displaystyle m}$ je pevný parametr, který se nazývá smykový faktor.

Účinkem tohoto mapování je přemístit každý bod vodorovně o část proporcionálně k jeho ${ displaystyle y}$ koordinovat. Jakýkoli bod nad ${ displaystyle x}$ -osa je posunuta doprava (zvyšuje se ${ displaystyle x}$ ) pokud ${ displaystyle m> 0}$ , a doleva, pokud ${ displaystyle m <0}$ . Body pod ${ displaystyle x}$ -osy se pohybují v opačném směru, zatímco body na ose zůstávají pevné.

Přímky rovnoběžné s ${ displaystyle x}$ -osy zůstávají tam, kde jsou, zatímco všechny ostatní čáry jsou otočeny různými úhly kolem bodu, kde překračují ${ displaystyle x}$ -osa. Zejména se stanou svislé čáry šikmý řádky s sklon ${ displaystyle 1 / m}$ . Proto je faktor smyku ${ displaystyle m}$ je kotangens úhlu ${ displaystyle varphi}$ kterým se svislé čáry naklánějí, tzv úhel střihu.

Pokud jsou souřadnice bodu zapsány jako vektor sloupce (2 × 1 matice ), smykové mapování lze zapsat jako násobení podle a 2 × 2 matice:

{ displaystyle { begin {pmatrix} x ^ { prime} y ^ { prime} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x + můj y end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & m 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}.}

A vertikální střih (nebo smyku rovnoběžně s ${ displaystyle y}$ -axis) řádků je podobný, až na to, že role ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou vyměněny. Odpovídá vynásobení vektoru souřadnic znakem transponovaná matice:

{ displaystyle { begin {pmatrix} x ^ { prime} y ^ { prime} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x mx + y end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 m & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x y end {pmatrix}}.}

Svislý smykový posun posune body napravo od ${ displaystyle y}$ -osa nahoru nebo dolů, v závislosti na znamení ${ displaystyle m}$ . Zanechává vertikální čáry neměnné, ale naklání všechny ostatní čáry kolem bodu, kde se setkávají s ${ displaystyle y}$ -osa. Zejména vodorovné čáry se nakloní o smykový úhel ${ displaystyle varphi}$ stát se liniemi se sklonem ${ displaystyle m}$ .

Obecné mapování smyku

Pro vektorový prostor PROTI a podprostor Ž, smykové upevnění Ž překládá všechny vektory ve směru rovnoběžném s Ž.

Přesněji řečeno, pokud PROTI je přímý součet z Ž a W 'a vektory píšeme jako

proti = w + w ′

odpovídajícím způsobem typické smykové upevnění Ž je L kde

L(proti) = (Mw + Mw ′) = (w + Mw ′)

kde M je lineární mapování z W ' do Ž. Proto v bloková matice podmínky L lze reprezentovat jako

{ displaystyle { begin {pmatrix} I&M 0 & I end {pmatrix}}}

Aplikace

Následující aplikace smykového mapování byly zaznamenány William Kingdon Clifford:

„Posloupnost nůžek nám umožní zmenšit jakoukoli postavu ohraničenou přímkami na trojúhelník se stejnou plochou.“

„... můžeme jakýkoli trojúhelník střihnout do pravoúhlého trojúhelníku, a to nezmění jeho oblast. Plocha libovolného trojúhelníku je tedy polovinou plochy obdélníku na stejné základně a výškou rovnající se kolmici na základna z opačného úhlu. “^[2]

Pro výsledky zahrnující oblast lze použít vlastnost zachování oblasti smykového mapování. Například Pythagorova věta bylo ilustrováno smykovým mapováním^[3] stejně jako související věta o geometrickém průměru.

Algoritmus kvůli Alan W. Paeth používá k otočení a posloupnost tří mapování smyku (horizontální, vertikální, pak znovu horizontální) digitální obraz o libovolný úhel. Algoritmus je velmi snadno implementovatelný a velmi efektivní, protože každý krok zpracovává pouze jeden sloupec nebo jeden řádek pixelů včas.^[4]

v typografie, normální text transformovaný smykovým mapováním má za následek šikmý typ.

V předeinsteinovském Galileova relativita, transformace mezi referenční rámce jsou nazývány smykové mapování Galileovy transformace. Tito jsou také někdy viděni při popisu pohybujících se referenčních snímků vzhledem k "preferovanému" rámci, někdy označovanému jako absolutní čas a prostor.

Viz také

Reference

^ Definice podle Weissteina, Eric W. Stříhat From MathWorld - A Wolfram Web Resource
^ William Kingdon Clifford (1885) Zdravý rozum a přesné vědy, strana 113
^ Hohenwarter, M Pytagorova věta smykovým mapováním; vyrobeno pomocí GeoGebra. Přetažením jezdců sledujte nůžky
^ Alan Paeth (1986), Rychlý algoritmus pro obecnou rotaci rastru. Sborník grafického rozhraní '86, strany 77–81.

[1] Definice podle Weissteina, Eric W. Stříhat From MathWorld - A Wolfram Web Resource

[2] William Kingdon Clifford (1885) Zdravý rozum a přesné vědy, strana 113

[3] Hohenwarter, M Pytagorova věta smykovým mapováním; vyrobeno pomocí GeoGebra. Přetažením jezdců sledujte nůžky

[4] Alan Paeth (1986), Rychlý algoritmus pro obecnou rotaci rastru. Sborník grafického rozhraní '86, strany 77–81.

[1]

[2]

[3]

[4]