Rotace a odrazy ve dvou rozměrech - Rotations and reflections in two dimensions

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Rotace a odrazy ve dvou rozměrech"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopad 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v geometrie, dvourozměrný rotace a odrazy jsou dva druhy Izometrie euklidovské roviny které spolu souvisejí.

Rotaci v rovině lze vytvořit složením dvojice odrazů. Nejprve odrážejte bod P k jeho obrazu P′ Na druhé straně čáry L₁. Pak přemýšlejte P′ K jeho obrazu P′ ′ Na druhé straně čáry L₂. Pokud řádky L₁ a L₂ udělat úhel θ navzájem, pak ukazuje P a P′ ′ Udělá úhel 29 kolem bodu Ó, křižovatka L₁ a L₂. Tj. Úhel POP ′ ′ bude měřit 2θ.

Dvojice rotací kolem stejného bodu Ó bude ekvivalentní další rotaci kolem bodu Ó. Na druhou stranu, složení odrazu a rotace, nebo rotace a odrazu (složení není komutativní ), bude ekvivalentní odrazu.

Výroky výše lze vyjádřit matematičtěji. Nechte rotaci kolem původ Ó o úhel θ být označen jako Rot (θ). Nechte reflexi o čáře L skrz počátek, který svírá úhel θ s X-osy jsou označeny jako Ref (θ). Nechte tyto rotace a odrazy působit na všechny body v rovině a nechte tyto body reprezentovat polohou vektory. Pak může být rotace reprezentována jako matice,

${ displaystyle operatorname {Rot} ( theta) = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}},}$

a podobně k zamyšlení,

${ displaystyle operatorname {Ref} ( theta) = { begin {bmatrix} cos 2 theta & sin 2 theta sin 2 theta & - cos 2 theta end {bmatrix}} .}$

S těmito definicemi rotace a odrazu souřadnic platí následující čtyři identity:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} operatorname {Rot} ( theta) , operatorname {Rot} ( phi) & equiv operatorname {Rot} ( theta + phi), operatorname { Ref} ( theta) , operatorname {Ref} ( phi) & equiv operatorname {Rot} (2 [ theta - phi]), operatorname {Rot} ( theta) , operatorname {Ref} ( phi) & equiv operatorname {Ref} left ( phi + { frac {1} {2}} theta right), operatorname {Ref} ( phi) , operatorname {Rot} ( theta) & equiv operatorname {Ref} left ( phi - { frac {1} {2}} theta right). end {zarovnáno}}}$

Tyto rovnice lze dokázat přímou cestou násobení matic a aplikace trigonometrické identity, konkrétně identita součtu a rozdílu.

Sada všech odrazů v liniích počátkem a rotacemi o počátku spolu s operací složení odrazů a rotací tvoří skupina. Skupina má identitu: Rot (0). Každá rotace Rot (φ) má inverzní rotaci (-φ). Každý odraz Ref (θ) je jeho vlastní inverzní. Složení má uzavření a je asociativní, protože násobení matic je asociativní.

Všimněte si, že oba Ref (θ) a Rot (θ) byly zastoupeny ortogonální matice. Všechny tyto matice mají a určující jehož absolutní hodnota je jednota. Rotační matice mají determinant +1 a reflexní matice mají determinant -1.

Sada všech ortogonálních dvourozměrných matic spolu s násobením matic tvoří ortogonální skupina: Ó(2).

Následující tabulka uvádí příklady matice rotace a odrazu:

Typ	úhel θ	matice
Otáčení	0°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$
Otáčení	${ displaystyle pm}$45°	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 & mp 1 pm 1 & 1 end {pmatrix}}}$
Otáčení	90°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}$
Otáčení	180°	${ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}}$
Odraz	0°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}}$
Odraz	45°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$
Odraz	90°	${ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$
Odraz	-45°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & -1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$

Viz také

• Symmetry_ (geometry) #Euclidean_symmetries_in_general
• Euklidovská rovina izometrie
• Vzepětí skupina
• Cartan – Dieudonné věta
• Rotační skupina SO (3) - 3 rozměry