Pojmy součtů pro matice v lineární algebře
v matematika , přidání matice je operace přidání dvou matice přidáním odpovídajících položek dohromady. Existují však i další operace, které lze také zvážit přidání pro matice, jako je přímý součet a Kroneckerova suma .
Vstupní součet Dvě matice musí mít stejný počet řádků a sloupců, které se mají přidat.[1] A a B bude matice, která má stejný počet řádků a sloupců jako A a B . Součet A a B , označeno A + B ,[2] A a B :[4]
A + B = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A m 1 A m 2 ⋯ A m n ] + [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ] = [ A 11 + b 11 A 12 + b 12 ⋯ A 1 n + b 1 n A 21 + b 21 A 22 + b 22 ⋯ A 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A m 1 + b m 1 A m 2 + b m 2 ⋯ A m n + b m n ] { displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} + mathbf {B} & = { begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} & cdots & b_ {1n} b_ {21} & b_ {22} & cdots & b_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots b_ {m1} & b_ {m2} & cdots & b_ {mn} end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & cdots & a_ {1n} + b_ {1n} a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & cdots & a_ {2n} + b_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} + b_ {m1} & a_ {m2} + b_ {m2} & cdots & a_ {mn} + b_ {mn} end {bmatrix}} end {zarovnáno}} , !} Nebo výstižněji (za předpokladu, že A + B = C ):[5] [6]
C i j = A i j + b i j { displaystyle c_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij}} Například:
[ 1 3 1 0 1 2 ] + [ 0 0 7 5 2 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 1 + 7 0 + 5 1 + 2 2 + 1 ] = [ 1 3 8 5 3 3 ] { displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 1 & 0 1 & 2 end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} 0 & 0 7 & 5 2 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 + 0 a 3 + 0 1 + 7 & 0 + 5 1 + 2 & 2 + 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 3 8 & 5 3 & 3 end {bmatrix}}} Podobně je také možné odečíst jednu matici od druhé, pokud mají stejné rozměry. Rozdíl A a B , označeno A − B ,[2] B z odpovídajících prvků A , a má stejné rozměry jako A a B . Například:
[ 1 3 1 0 1 2 ] − [ 0 0 7 5 2 1 ] = [ 1 − 0 3 − 0 1 − 7 0 − 5 1 − 2 2 − 1 ] = [ 1 3 − 6 − 5 − 1 1 ] { displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 1 & 0 1 & 2 end {bmatrix}} - { begin {bmatrix} 0 & 0 7 & 5 2 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 -0 & 3-0 1-7 & 0-5 1-2 & 2-1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 3 - 6 & -5 - 1 & 1 end {bmatrix}}} Další operací, která se používá méně často, je přímý součet (označený ⊕). Všimněte si, že součet Kronecker je také označen ⊕; kontext by měl objasnit použití. Přímý součet libovolné dvojice matic A velikosti m × n a B velikosti p × q je matice velikosti (m + p ) × (n + q ) definováno jako [7]
A ⊕ B = [ A 0 0 B ] = [ A 11 ⋯ A 1 n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A m 1 ⋯ A m n 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 q ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 b p 1 ⋯ b p q ] { displaystyle mathbf {A} oplus mathbf {B} = { begin {bmatrix} mathbf {A} & { boldsymbol {0}} { boldsymbol {0}} & mathbf {B} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} a_ {11} & cdots & a_ {1n} & 0 & cdots & 0 vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & cdots & a_ {mn} & 0 & cdots & 0 0 & cdots & 0 & b_ {11} & cdots & b_ {1q} vdots & ddots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & cdots & 0 & b_ {p1} & cdots & b_ {pq} end {bmatrix}}} Například,
[ 1 3 2 2 3 1 ] ⊕ [ 1 6 0 1 ] = [ 1 3 2 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1 ] { displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 2 & 3 & 1 end {bmatrix}} oplus { begin {bmatrix} 1 & 6 0 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 & 0 0 a 0 a 0 a 1 a 6 0 a 0 a 0 a 0 a 1 konec {bmatrix}}} Přímý součet matic je speciální typ bloková matice . Přímý součet čtvercových matic je zejména a bloková diagonální matice .
The matice sousedství unie disjunktu grafy (nebo multigrafy ) je přímý součet jejich sousedních matic. Libovolný prvek v přímý součet ze dvou vektorové prostory matic lze reprezentovat jako přímý součet dvou matic.
Obecně platí, že přímý součet n matice je:
⨁ i = 1 n A i = diag ( A 1 , A 2 , A 3 , … , A n ) = [ A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n ] { displaystyle bigoplus _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} _ {i} = operatorname {diag} ( mathbf {A} _ {1}, mathbf {A} _ {2} , mathbf {A} _ {3}, ldots, mathbf {A} _ {n}) = { begin {bmatrix} mathbf {A} _ {1} & { boldsymbol {0}} & cdots & { boldsymbol {0}} { boldsymbol {0}} & mathbf {A} _ {2} & cdots & { boldsymbol {0}} vdots & vdots & ddots & vdots { boldsymbol {0}} & { boldsymbol {0}} & cdots & mathbf {A} _ {n} end {bmatrix}} , !} kde nuly jsou vlastně bloky nul (tj. nulové matice).
Kroneckerova suma Kroneckerův součet se liší od přímého součtu, ale označuje se také ⊕. Definuje se pomocí Produkt Kronecker ⊗ a normální přidání matice. Li A je n -podle-n , B je m -podle-m a Já k { displaystyle mathbf {I} _ {k}} k -podle-k matice identity pak je Kroneckerova suma definována:
A ⊕ B = A ⊗ Já m + Já n ⊗ B . { displaystyle mathbf {A} oplus mathbf {B} = mathbf {A} otimes mathbf {I} _ {m} + mathbf {I} _ {n} otimes mathbf {B}. } Viz také Poznámky Reference Lipschutz, S .; Lipson, M. (2009). Lineární algebra . Schaumova obrysová řada. ISBN 978-0-07-154352-1 CS1 maint: ref = harv (odkaz) externí odkazy 
