Eliptický souřadnicový systém - Elliptic coordinate system

Eliptický souřadnicový systém

v geometrie, eliptický souřadnicový systém je dvojrozměrný ortogonální souřadnicový systém ve kterém souřadnicové čáry jsou konfokální elipsy a hyperboly. Dva ohniska ${displaystyle F_ {1}}$ a ${displaystyle F_ {2}}$ jsou obecně považovány za fixní na ${displaystyle -a}$ a ${displaystyle + a}$, respektive na ${displaystyle x}$- osa Kartézský souřadnicový systém.

Základní definice

Nejběžnější definice eliptických souřadnic ${displaystyle (mu, u)}$ je

${displaystyle x = a cosh mu cos u}$

${displaystyle y = a sinh mu sin u}$

kde ${displaystyle mu}$ je nezáporné reálné číslo a ${displaystyle u in [0,2pi].}$

Na složité letadlo, ekvivalentní vztah je

${displaystyle x + iy = a cosh (mu + iu)}$

Tyto definice odpovídají elipsám a hyperbolám. Trigonometrická identita

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cosh ^ {2} mu}} + {frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sinh ^ {2} mu}} = cos ^ {2} u + sin ^ {2} u = 1}$

ukazuje, že křivky konstanty ${displaystyle mu}$ formulář elipsy zatímco hyperbolická trigonometrická identita

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cos ^ {2} u}} - {frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sin ^ {2} u}} = cosh ^ {2} mu -sinh ^ {2} mu = 1}$

ukazuje, že křivky konstanty ${displaystyle u}$ formulář hyperboly.

Faktory měřítka

V ortogonální souřadnicový systém délky základních vektorů jsou známé jako měřítkové faktory. Faktory měřítka pro eliptické souřadnice ${displaystyle (mu, u)}$ jsou rovny

${displaystyle h_ {mu} = h_ {u} = a {sqrt {sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u}} = a {sqrt {cosh ^ {2} mu -cos ^ {2} u} }.}$

Za použití identity dvojitých argumentů pro hyperbolické funkce a trigonometrické funkce, měřítkové faktory lze ekvivalentně vyjádřit jako

${displaystyle h_ {mu} = h_ {u} = a {sqrt {{frac {1} {2}} (cosh 2mu -cos 2u)}}}}$

V důsledku toho se nekonečně malý prvek plochy rovná

${displaystyle dA = h_ {mu} h_ {u} dmu du = a ^ {2} vlevo (sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u ight) dmu du = a ^ {2} vlevo (cosh ^ { 2} mu -cos ^ {2} u ight) dmu du = {frac {a ^ {2}} {2}} vlevo (cosh 2mu -cos 2u ight) dmu du}$

a Laplacian čte

${displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {1} {a ^ {2} vlevo (sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u ight)}} vlevo ({frac {částečné ^ {2} Phi } {částečné mu ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} Phi} {částečné u ^ {2}}} ight) = {frac {1} {a ^ {2} vlevo (cosh ^ {2 } mu -cos ^ {2} u ight)}} vlevo ({frac {částečné ^ {2} Phi} {částečné mu ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} Phi} {částečné u ^ { 2}}} ight) = {frac {2} {a ^ {2} vlevo (cosh 2mu -cos 2u ight)}} vlevo ({frac {částečné ^ {2} Phi} {částečné mu ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} Phi} {částečné u ^ {2}}} hned).}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ a ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${displaystyle (mu, u)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Alternativní definice

Alternativní a geometricky intuitivní sada eliptických souřadnic ${displaystyle (sigma, au)}$ jsou někdy používány, kde ${displaystyle sigma = cosh mu}$ a ${displaystyle au = cos u}$. Proto jsou křivky konstanty ${displaystyle sigma}$ jsou elipsy, zatímco křivky konstanty ${displaystyle au}$ jsou hyperboly. Souřadnice ${displaystyle au}$ musí patřit do intervalu [-1, 1], zatímco ${displaystyle sigma}$ souřadnice musí být větší nebo rovna jedné.

Souřadnice ${displaystyle (sigma, au)}$ mít jednoduchý vztah ke vzdálenostem k ohniskům ${displaystyle F_ {1}}$ a ${displaystyle F_ {2}}$. Pro jakýkoli bod v rovině je součet ${displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ jeho vzdáleností k ohniskům se rovná ${displaystyle 2asigma}$, zatímco jejich rozdíl ${displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ rovná se ${displaystyle 2a au}$Vzdálenost tedy ${displaystyle F_ {1}}$ je ${displaystyle a (sigma + au)}$, zatímco vzdálenost do ${displaystyle F_ {2}}$ je ${displaystyle a (sigma - au)}$. (Odvolej to ${displaystyle F_ {1}}$ a ${displaystyle F_ {2}}$ jsou umístěny na ${displaystyle x = -a}$ a ${displaystyle x = + a}$)

Nevýhodou těchto souřadnic je to, že body s Kartézské souřadnice (x, y) a (x, -y) mají stejné souřadnice ${displaystyle (sigma, au)}$, takže převod na kartézské souřadnice není funkcí, ale a multifunkční.

${displaystyle x = aleft.sigma ight. au}$

${displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} left (sigma ^ {2} -1ight) left (1- au ^ {2} ight).}$

Alternativní měřítkové faktory

Faktory měřítka pro alternativní eliptické souřadnice ${displaystyle (sigma, au)}$ jsou

${displaystyle h_ {sigma} = a {sqrt {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {sigma ^ {2} -1}}}}$

${displaystyle h_ {au} = a {sqrt {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {1- au ^ {2}}}}.}$

Proto se prvek nekonečně malé oblasti stává

${displaystyle dA = a ^ {2} {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {sqrt {left (sigma ^ {2} -1ight) left (1- au ^ {2} ight)}} } dsigma d au}$

a Laplacian se rovná

${displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {1} {a ^ {2} vlevo (sigma ^ {2} - au ^ {2} ight)}} vlevo [{sqrt {sigma ^ {2} -1} } {frac {částečný} {částečný sigma}} vlevo ({sqrt {sigma ^ {2} -1}} {frac {částečný Phi} {částečný sigma}} ight) + {sqrt {1- au ^ {2}} } {frac {částečný} {částečný au}} vlevo ({sqrt {1- au ^ {2}}} {frac {částečný Phi} {částečný au}} přímo) přesně].}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ a ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${displaystyle (sigma, au)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Extrapolace na vyšší dimenze

Eliptické souřadnice tvoří základ pro několik sad trojrozměrných ortogonální souřadnice. The eliptické válcové souřadnice jsou vyráběny promítáním do ${displaystyle z}$-směr proložit sféroidní souřadnice jsou vyráběny otáčením eliptických souřadnic kolem ${displaystyle x}$-os, tj. osa spojující ohniska, zatímco zploštělé sféroidní souřadnice jsou vyráběny otáčením eliptických souřadnic kolem ${displaystyle y}$-os, tj. osa oddělující ohniska.

Aplikace

Při řešení jsou klasické aplikace eliptických souřadnic parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice nebo Helmholtzova rovnice, pro které jsou eliptické souřadnice přirozeným popisem systému, což umožňuje a oddělení proměnných v parciální diferenciální rovnice. Některé tradiční příklady jsou řešení systémů, jako jsou elektrony obíhající kolem molekuly nebo planetární oběžné dráhy, které mají eliptický tvar.

Užitečné mohou být také geometrické vlastnosti eliptických souřadnic. Typický příklad může zahrnovat integraci přes všechny páry vektorů ${displaystyle mathbf {p}}$ a ${displaystyle mathbf {q}}$ tu částku na pevný vektor ${displaystyle mathbf {r} = mathbf {p} + mathbf {q}}$, kde integrand byl funkcí délek vektorů ${displaystyle left | mathbf {p} ight |}$ a ${displaystyle left | mathbf {q} ight |}$. (V takovém případě by se dalo umístit ${displaystyle mathbf {r}}$ mezi dvěma ohnisky a zarovnaný s ${displaystyle x}$-os, tj., ${displaystyle mathbf {r} = 2amathbf {hat {x}}}$.) Pro konkrétnost, ${displaystyle mathbf {r}}$, ${displaystyle mathbf {p}}$ a ${displaystyle mathbf {q}}$ může představovat momenta částice a jejích produktů rozkladu a integrand může zahrnovat kinetické energie produktů (které jsou úměrné čtvercům délek hybnosti).

Viz také

• Křivočaré souřadnice
• Zobecněné souřadnice

Reference

• "Eliptické souřadnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Korn GA a Korn TM. (1961) Matematická příručka pro vědce a inženýry, McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Eliptické válcové souřadnice." From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html