Biot – Savartův zákon - Biot–Savart law - Wikipedia

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

v fyzika konkrétně elektromagnetismus, Biot – Savartův zákon (/ˈbiːoʊsəˈproti.r/ nebo /ˈbjoʊsəˈproti.r/)^[1] je rovnice popisující magnetické pole generované konstantou elektrický proud. Vztahuje magnetické pole k velikosti, směru, délce a blízkosti elektrického proudu. Zákon Biot – Savart je základem magnetostatika hraje podobnou roli jako Coulombův zákon v elektrostatika. Pokud magnetostatika neplatí, měl by být zákon Biot – Savart nahrazen Jefimenkovy rovnice. Zákon je platný v magnetostatická aproximace a v souladu s oběma Ampereův zákon o oběhu a Gaussův zákon pro magnetismus.^[2] Je pojmenován po Jean-Baptiste Biot a Félix Savart, který objevil tento vztah v roce 1820.

Rovnice

Elektrické proudy (podél uzavřené křivky / drátu)

Zobrazeny jsou směry ${ displaystyle Id { boldsymbol { ell}}}$, ${ displaystyle mathbf {{ hat {r}} '}}$a hodnota ${ displaystyle | mathbf {r '} |}$

Pro výpočet výslednice se používá zákon Biot – Savart magnetické pole B v poloze r ve 3D prostoru generovaném flexibilitou proud Já (například kvůli drátu). Ustálený (nebo stacionární) proud je nepřetržitý tok poplatky který se s časem nemění a náboj se v jakémkoli okamžiku nehromadí ani nevyčerpá. Zákon je fyzickým příkladem a linka integrální, který je vyhodnocen přes cestu C ve kterém proudí elektrické proudy (např. vodič). Rovnice v SI jednotek je^[3]

kde ${ displaystyle d { boldsymbol { ell}}}$ je vektor podél cesty ${ displaystyle C}$ jehož velikost je délka rozdíl prvek drátu ve směru konvenční proud. ${ displaystyle { boldsymbol { ell}}}$ je bod na cestě ${ displaystyle C}$. ${ displaystyle mathbf {r '} = mathbf {r} - { boldsymbol { ell}}}$ je plný vektor posunutí z drátěného prvku (${ displaystyle d { boldsymbol { ell}}}$) v bodě ${ displaystyle { boldsymbol { ell}}}$ do bodu, ve kterém se pole počítá (${ displaystyle mathbf {r}}$) a μ₀ je magnetická konstanta. Alternativně:

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int _ {C} { frac {I , d { boldsymbol { ell}} times mathbf {{ hat {r}} '}} {| mathbf {r'} | ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle mathbf {{ hat {r}} '}}$ je jednotkový vektor z ${ displaystyle mathbf {r '}}$. Symboly tučně označují vektorové veličiny.

Integrál je obvykle kolem a uzavřená křivka, protože stacionární elektrické proudy mohou proudit kolem uzavřených cest, pouze pokud jsou omezeny. Zákon se však vztahuje i na nekonečně dlouhé vodiče (tento koncept byl použit při definici jednotky SI elektrického proudu - Ampér —Do 20. května 2019).

Pro použití rovnice je libovolně zvolen bod v prostoru, kde se má vypočítat magnetické pole (${ displaystyle mathbf {r}}$). Když tento bod držíme pevně, vypočítá se integrální čára po dráze elektrického proudu, aby se zjistilo celkové magnetické pole v tomto bodě. Uplatňování tohoto zákona implicitně závisí na princip superpozice pro magnetická pole, tj. skutečnost, že magnetické pole je a vektorový součet pole vytvořeného každou nekonečně malou částí drátu jednotlivě.^[4]

K dispozici je také 2D verze Biot-Savartovy rovnice, která se používá, když jsou zdroje neměnné v jednom směru. Obecně platí, že proud nemusí proudit pouze v rovině kolmé k invariantnímu směru a je dán vztahem ${ displaystyle mathbf {J}}$ (proudová hustota ). Výsledný vzorec je:

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {2 pi}} int _ {C} { frac {( mathbf {J} , d ell) times mathbf {r} '} {| mathbf {r}' |}} = { frac { mu _ {0}} {2 pi}} int _ {C} ( mathbf {J} , d ell) times mathbf {{ hat {r}} '}}$

Hustota elektrického proudu (v celém objemu vodiče)

Formulace uvedené výše fungují dobře, když lze proud aproximovat tak, že prochází nekonečně úzkým drátem. Pokud má vodič určitou tloušťku, je správné složení Biot – Savartova zákona (opět v SI jednotek) je:

kde ${ displaystyle mathbf {r '}}$ je vektor z dV do pozorovacího bodu ${ displaystyle mathbf {r}}$, ${ displaystyle dV}$ je objemový prvek, a ${ displaystyle mathbf {J}}$ je proudová hustota vektor v tomto objemu (v SI v jednotkách A / m²).

Z hlediska jednotkového vektoru ${ displaystyle mathbf {{ hat {r}} '}}$

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} iiint _ {V} dV { frac { mathbf {J} times mathbf {{ hat {r}} '}} {| mathbf {r}' | ^ {2}}}}$

Konstantní stejnosměrný proud

Ve zvláštním případě stejnoměrného konstantního proudu Jámagnetické pole ${ displaystyle mathbf {B}}$ je

${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} I int _ {C} { frac {d { boldsymbol { ell}} times mathbf {r '}} {| mathbf {r'} | ^ {3}}}}$

tj. proud lze vyjmout z integrálu.

Bodový náboj při konstantní rychlosti

V případě bodu nabitá částice q pohybující se konstantou rychlost proti, Maxwellovy rovnice uveďte následující výraz pro elektrické pole a magnetické pole:^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {E} & = { frac {q} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac {1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} { left (1 - { frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} sin ^ {2} theta right) ^ { frac {3 } {2}}}} { frac { mathbf {{ hat {r}} '}} {| mathbf {r}' | ^ {2}}} mathbf {H} & = mathbf {v} times mathbf {D} mathbf {B} & = { frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {v} times mathbf {E} end {zarovnáno} }}$

kde ${ displaystyle mathbf { hat {r}} '}$ je jednotkový vektor směřující z aktuální (neretardované) polohy částice do bodu, ve kterém je pole měřeno, a θ je úhel mezi ${ displaystyle mathbf {v}}$ a ${ displaystyle mathbf {r} '}$.

Když proti² ≪ C², lze elektrické pole a magnetické pole aproximovat jako^[5]

${ displaystyle mathbf {E} = { frac {q} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac { mathbf {{ hat {r}} '}} {| mathbf { r} '| ^ {2}}}}$

${ displaystyle mathbf {B} = { frac { mu _ {0} q} {4 pi}} mathbf {v} times { frac { mathbf {{ hat {r}} '} } {| mathbf {r} '| ^ {2}}}}$

Tyto rovnice nejprve odvodil Oliver Heaviside v roce 1888. Někteří autoři^[6][7] volání výše uvedené rovnice pro ${ displaystyle mathbf {B}}$ „Biot – Savartův zákon za bodový poplatek“ kvůli jeho blízké podobnosti se standardním Biot – Savartovým zákonem. Tento jazyk je však zavádějící, protože zákon Biot – Savart platí pouze pro ustálené proudy a bodový náboj pohybující se v prostoru nepředstavuje ustálený proud.^[8]

Aplikace magnetických odezev

Biot – Savartův zákon lze použít při výpočtu magnetických odpovědí i na atomové nebo molekulární úrovni, např. chemické stínění nebo magnetické susceptibility, za předpokladu, že hustotu proudu lze získat z kvantově mechanického výpočtu nebo teorie.

Aplikace aerodynamiky

Obrázek ukazuje rychlost (${ displaystyle dV}$) indukované v bodě P prvkem vírového vlákna (${ displaystyle dl}$) síly ${ displaystyle Gamma}$.

Zákon Biot – Savart se také používá v aerodynamický teorie pro výpočet rychlosti vyvolané vírové čáry.

V aerodynamický aplikace, role vířivosti a proudu jsou obráceny ve srovnání s magnetickou aplikací.

V Maxwellově článku z roku 1861 „O fyzických silách“^[9] síla magnetického pole H byl přímo zaměněn za čistý vířivost (rotace), zatímco B byla vážená vířivost, která byla vážena pro hustotu vířivého moře. Maxwell považoval magnetickou permeabilitu μ za měřítko hustoty vířivého moře. Proto vztah,

Rovnici elektrického proudu lze považovat za konvekční proud elektrického náboje, který zahrnuje lineární pohyb. Analogicky je magnetická rovnice indukční proud zahrnující spin. V indukčním proudu nedochází k lineárnímu pohybu ve směru B vektor. Magnetický indukční proud představuje silové linie. Zejména představuje čáry inverzní čtvercové zákonné síly.

V aerodynamice vytvářejí indukované proudy vzduchu solenoidní prstence kolem vírové osy. Analogicky lze učinit, že osa víru hraje roli, kterou hraje elektrický proud v magnetismu. To staví vzdušné proudy aerodynamiky (pole rychlosti kapaliny) do ekvivalentní role vektoru magnetické indukce B v elektromagnetismu.

V elektromagnetismu B čáry tvoří solenoidní prstence kolem elektrického proudu zdroje, zatímco v aerodynamice proudy vzduchu (rychlost) tvoří solenoidní prstence kolem osy víru zdroje.

V elektromagnetismu tedy vír hraje roli „efektu“, zatímco v aerodynamice vír hraje roli „příčiny“. Přesto, když se podíváme na B izolovaně vidíme aerodynamický scénář do té míry, že B je vírová osa a H je obvodová rychlost jako v Maxwellově článku z roku 1861.

Ve dvou rozměrech, pro vířivou čáru nekonečné délky je indukovaná rychlost v bodě dána vztahem

${ displaystyle v = { frac { Gamma} {2 pi r}}}$

kde Γ je síla víru a r je kolmá vzdálenost mezi bodem a vířivou čarou. To je podobné magnetickému poli vytvářenému v rovině nekonečně dlouhým rovným tenkým drátem kolmým k rovině.

Toto je omezující případ vzorce pro vírové segmenty konečné délky (podobně jako konečný drát):

${ displaystyle v = { frac { Gamma} {4 pi r}} vlevo [ cos A- cos B vpravo]}$

kde A a B jsou (podepsané) úhly mezi přímkou ​​a dvěma konci segmentu.

Biot – Savartův zákon, Ampereův zákon o oběhu a Gaussův zákon pro magnetismus

V magnetostatický situace, magnetické pole B jak je vypočítáno ze zákona Biot – Savart, to vždy uspokojí Gaussův zákon pro magnetismus a Ampereův zákon:^[10]

Nástin důkazu[10] (Klikněte vpravo na „ukázat“.)

Počínaje zákonem Biot – Savart: ${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} iiint _ {V} d ^ {3} l mathbf {J} ( mathbf {l}) times { frac { mathbf {r} - mathbf {l}} {| mathbf {r} - mathbf {l} | ^ {3}}}}$ Nahrazení vztahu ${ displaystyle { frac { mathbf {r} - mathbf {l}} {| mathbf {r} - mathbf {l} | ^ {3}}} = - nabla left ({ frac { 1} {| mathbf {r} - mathbf {l} |}} vpravo)}$ a pomocí produktové pravidlo pro kadeře, stejně jako skutečnost, že J nezávisí na ${ displaystyle mathbf {r}}$, lze tuto rovnici přepsat na[10] ${ displaystyle mathbf {B} ( mathbf {r}) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} nabla times iiint _ {V} d ^ {3} l { frac { mathbf {J} ( mathbf {l})} {| mathbf {r} - mathbf {l} |}}}$ Protože divergence zvlnění je vždy nulová, toto se stanoví Gaussův zákon pro magnetismus. Dále vezměte zvlnění obou stran pomocí vzorce pro zvlnění zvlnění a opět s využitím skutečnosti, že J nezávisí na ${ displaystyle mathbf {r}}$, nakonec dostaneme výsledek[10] ${ displaystyle nabla times mathbf {B} = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} nabla iiint _ {V} d ^ {3} l mathbf {J} ( mathbf {l}) cdot nabla left ({ frac {1} {| mathbf {r} - mathbf {l} |}} right) - { frac { mu _ {0}} {4 pi}} iiint _ {V} d ^ {3} l mathbf {J} ( mathbf {l}) nabla ^ {2} left ({ frac {1} {| mathbf { r} - mathbf {l} |}} vpravo)}$ A konečně, zapojení do vztahů[10] ${ displaystyle nabla left ({ frac {1} {| mathbf {r} - mathbf {l} |}} right) = - nabla _ {l} left ({ frac {1} {| mathbf {r} - mathbf {l} |}} vpravo),}$ ${ displaystyle nabla ^ {2} left ({ frac {1} {| mathbf {r} - mathbf {l} |}} right) = - 4 pi delta ( mathbf {r} - mathbf {l})}$ (kde δ je Diracova delta funkce ), s využitím skutečnosti, že divergence J je nula (kvůli předpokladu magnetostatika ) a provedení integrace po částech, výsledek se ukáže být[10] ${ displaystyle nabla times mathbf {B} = mu _ {0} mathbf {J}}$ tj. Ampereův zákon. (Vzhledem k předpokladu magnetostatika, ${ displaystyle částečné mathbf {E} / částečné t = mathbf {0}}$, takže zde není nic navíc současný termín posunutí podle Ampereho zákona.)

V ne-magnetostatická situace, zákon Biot – Savart přestává platit (je nahrazen Jefimenkovy rovnice ), zatímco Gaussův zákon pro magnetismus a Zákon Maxwell – Ampère jsou stále pravdivé.

Viz také

Lidé

• Jean-Baptiste Biot
• Félix Savart
• André-Marie Ampère
• James Clerk Maxwell

Elektromagnetismus

• Maxwellovy rovnice
• Ampereův zákon
• Magnetismus
• Coulombův zákon
• Darwin Lagrangian

Poznámky

Reference

• Griffiths, David J. (1998). Úvod do elektrodynamiky (3. vyd.). Prentice Hall. ISBN  0-13-805326-X.
• Feynman, Richard (2005). Feynmanovy přednášky z fyziky (2. vyd.). Addison-Wesley. ISBN  978-0-8053-9045-2.

Další čtení

• Elektřina a moderní fyzika (2. vydání), G.A.G. Bennet, Edward Arnold (Velká Británie), 1974, ISBN  0-7131-2459-8
• Základní principy fyziky, P.M. Whelan, M. J. Hodgeson, 2. vydání, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
• Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2.
• Fyzika pro vědce a inženýry - s moderní fyzikou (6. vydání), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN  0-7167-8964-7
• Encyklopedie fyziky (2. vydání), R.G. Lerner, G.L. Trigg, vydavatelé VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. vydání), C. B. Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3

externí odkazy

• Elektromagnetismus, B. Crowell, Fullerton College
• MISN-0-125 Zákon Ampère – Laplace – Biot – Savart Orilla McHarris a Peter Signell pro Projekt PHYSNET.
• Magnetické pole kruhové smyčky s elektrickým proudem „Ilustrace zákona Biot-Savart