Válcový souřadnicový systém - Cylindrical coordinate system

A válcový souřadnicový systém je trojrozměrný souřadnicový systém který určuje polohy bodů podle vzdálenosti od vybrané referenční osy, směru od osy vzhledem ke zvolenému referenčnímu směru a vzdálenosti od vybrané referenční roviny kolmé k ose. Druhá vzdálenost se udává jako kladné nebo záporné číslo v závislosti na tom, která strana referenční roviny směřuje k bodu.
The původ systému je bod, kde lze všechny tři souřadnice zadat jako nulu. Toto je průsečík mezi referenční rovinou a osou. Ose se různě nazývá válcovitý nebo podélný osu, odlišit ji od polární osa, který je paprsek která leží v referenční rovině, počínaje počátkem a směřující v referenčním směru. Další směry kolmé k podélné ose se nazývají radiální čáry.
Vzdálenost od osy lze nazvat radiální vzdálenost nebo poloměr, zatímco úhlová souřadnice se někdy označuje jako úhlová poloha nebo jako azimut. Poloměr a azimut se společně nazývají polární souřadnice, protože odpovídají dvojrozměrnému polární souřadnice systém v rovině procházející bodem, rovnoběžný s referenční rovinou. Třetí souřadnici lze nazvat výška nebo nadmořská výška (pokud je referenční rovina považována za vodorovnou), podélná poloha,[1] nebo axiální poloha.[2]
Válcové souřadnice jsou užitečné ve spojení s objekty a jevy, které mají určitou rotaci symetrie kolem podélné osy, jako je proudění vody v přímé trubce s kulatým průřezem, distribuce tepla v kovu válec, elektromagnetické pole vyrobeno společností elektrický proud v dlouhém, rovném drátu, akreční disky v astronomii atd.
Někdy se jim říká „válcové polární souřadnice“[3] a "polární válcové souřadnice",[4] a někdy se používají k určení polohy hvězd v galaxii („galaktocentrické válcové polární souřadnice“).[5]
Definice
Tři souřadnice (ρ, φ, z) bodu P jsou definovány jako:
- The osová vzdálenost nebo radiální vzdálenost ρ je Euklidovská vzdálenost z z-osa k věci P.
- The azimut φ je úhel mezi referenčním směrem ve vybrané rovině a přímkou od počátku k průmětu P v letadle.
- The axiální souřadnice nebo výška z je podepsaná vzdálenost od zvolené roviny k bodu P.
Unikátní válcové souřadnice
Stejně jako v polárních souřadnicích, stejný bod s válcovými souřadnicemi (ρ, φ, z) má nekonečně mnoho ekvivalentních souřadnic, jmenovitě (ρ, φ ± n×360°, z) a (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z), kde n je jakékoli celé číslo. Navíc, pokud je poloměr ρ je nula, azimut je libovolný.
V situacích, kdy někdo chce pro každý bod jedinečnou sadu souřadnic, může být omezen poloměr nezáporné (ρ ≥ 0) a azimut φ ležet v konkrétním interval rozpětí 360 °, jako např [−180°,+180°] nebo [0,360°].
Konvence
Zápis pro válcové souřadnice není jednotný. The ISO Standard 31-11 doporučuje (ρ, φ, z), kde ρ je radiální souřadnice, φ azimut a z výška. Poloměr je však také často označován r nebo s, azimut od θ nebo ta třetí souřadnice podle h nebo (pokud je válcová osa považována za vodorovnou) Xnebo jakýkoli kontextově specifický dopis.


V konkrétních situacích a na mnoha matematických ilustracích se měří kladná úhlová souřadnice proti směru hodinových ručiček při pohledu z libovolného bodu s kladnou výškou.
Převody souřadnicového systému
Válcový souřadnicový systém je jedním z mnoha trojrozměrných souřadnicových systémů. K převodu mezi nimi lze použít následující vzorce.
Kartézské souřadnice
Pro převod mezi válcovými a kartézskými souřadnicemi je vhodné předpokládat, že referenční rovinou prvních je kartézská xy-rovina (s rovnicí z = 0) a válcová osa je kartézská z-osa. Pak z-coordinate je stejný v obou systémech a korespondence mezi cylindrickými (ρ,φ,z) a kartézský (X,y,z) jsou stejné jako u polárních souřadnic, jmenovitě
v jednom směru a
v druhé. Funkce arcsin je inverzní funkcí k sinus funkce a předpokládá se, že vrací úhel v rozsahu [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]. Tyto vzorce poskytují azimut φ v dosahu [−90°,+270°]. Další vzorce viz článek polární souřadnice.
Mnoho moderních programovacích jazyků poskytuje funkci, která vypočítá správný azimut φ, v dosahu (−π, π), vzhledem k tomu X a y, aniž by bylo nutné provádět analýzu případů, jak je uvedeno výše. Například tuto funkci volá atan2 (y,X) v C programovací jazyk a opálení(y,X) v Společný Lisp.
Sférické souřadnice
Sférické souřadnice (poloměr r, převýšení nebo sklon θ, azimut φ), lze převést na válcové souřadnice pomocí:
θ je nadmořská výška: | θ je sklon: |
Válcové souřadnice lze převést na sférické souřadnice pomocí:
θ je nadmořská výška: | θ je sklon: |
Lineární a objemové prvky
- Vidět vícenásobný integrál - podrobnosti integrace objemu ve válcových souřadnicích a - Del ve válcových a sférických souřadnicích pro vektorový počet vzorce.
U mnoha problémů zahrnujících válcové polární souřadnice je užitečné znát liniové a objemové prvky; používají se v integraci k řešení problémů zahrnujících cesty a objemy.
The prvek čáry je
The objemový prvek je
The povrchový prvek na povrchu s konstantním poloměrem ρ (svislý válec) je
Povrchový prvek na povrchu konstantního azimutu φ (svislá polorovina) je
Plošný prvek v ploše konstantní výšky z (vodorovná rovina) je
The del operátor v tomto systému vede k následujícím výrazům pro spád, divergence, kučera a Laplacian:
Válcové harmonické
Řešení Laplaceova rovnice v systému s válcovou symetrií se nazývá válcové harmonické.
Viz také
- Seznam kanonických transformací souřadnic
- Vektorová pole ve válcových a sférických souřadnicích
- Del ve válcových a sférických souřadnicích
Reference
- ^ Krafft, C .; Volokitin, A. S. (1. ledna 2002). "Interakce rezonančního elektronového paprsku s několika nižšími hybridními vlnami". Fyzika plazmatu. 9 (6): 2786–2797. Bibcode:2002PhPl .... 9,2786 tis. doi:10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Archivovány od originál dne 14. dubna 2013. Citováno 9. února 2013.
... ve válcových souřadnicích (r,θ,z) ... a Z = protiB zt je podélná poloha ...
- ^ Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "Solitary Vortex Pair in Viscoelastic Couette Flow". Dopisy o fyzické kontrole. 78 (8): 1460–1463. arXiv:patt-sol / 9610008. Bibcode:1997PhRvL..78.1460G. doi:10.1103 / PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721.
...kde r, θ, a z jsou válcové souřadnice ... jako funkce axiální polohy ...
- ^ Szymanski, J. E. (1989). Základní matematika pro elektronické inženýry: modely a aplikace. Tutorial Guides in Electronic Engineering (č. 16). Taylor & Francis. str. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
- ^ Nunn, Robert H. (1989). Mechanika mezilehlých tekutin. Taylor & Francis. str. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
- ^ Sparke, Linda Siobhan; Gallagher, John Sill (2007). Galaxie ve vesmíru: Úvod (2. vyd.). Cambridge University Press. str. 37. ISBN 978-0-521-85593-8.
Další čtení
- Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York City: McGraw-Hill. str. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
- Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). Matematika fyziky a chemie. New York City: D. van Nostrand. str.178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
- Korn, Granino A .; Korn, Theresa M. (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York City: McGraw-Hill. str.174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
- Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York City: Springer-Verlag. str. 95. LCCN 67025285.
- Zwillinger, Daniel (1992). Příručka integrace. Boston: Vydavatelé Jones a Bartlett. str. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023.
- Moon, P .; Spencer, D. E. (1988). "Souřadnice kruhového válce (r, ψ, z)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2. vyd.). New York City: Springer-Verlag. s. 12–17, tabulka 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.
externí odkazy
- "Souřadnice válce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- MathWorld popis válcových souřadnic
- Válcové souřadnice Animace ilustrující válcové souřadnice od Franka Wattenberga