Operátor (fyzika) - Operator (physics)

Ve fyzice, an operátor je funkce přes prostor fyzikálních stavů na další prostor fyzikálních stavů. Nejjednodušším příkladem užitečnosti operátorů je studium symetrie (což činí koncept a skupina užitečné v této souvislosti). Z tohoto důvodu jsou velmi užitečné nástroje v klasická mechanika. Provozovatelé jsou v systému ještě důležitější kvantová mechanika, kde tvoří nedílnou součást formulace teorie.

Operátoři v klasické mechanice

V klasické mechanice je pohyb částice (nebo systému částic) zcela určen pomocí Lagrangian ${ displaystyle L (q, { dot {q}}, t)}$ nebo ekvivalentně Hamiltonian ${ displaystyle H (q, p, t)}$, funkce zobecněné souřadnice q, zobecněné rychlosti ${ displaystyle { dot {q}} = mathrm {d} q / mathrm {d} t}$ a jeho konjugovat moment:

${ displaystyle p = { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}}}}}$

Pokud ano L nebo H je nezávislý na zobecněné souřadnici q, což znamená L a H neměňte kdy q se změní, což zase znamená, že dynamika částice je stále stejná, i když q změny, odpovídající hybná síla konjugovaná s těmito souřadnicemi bude zachována (toto je součástí Noetherova věta a invariance pohybu vzhledem ke souřadnici q je symetrie ). Operátoři v klasické mechanice jsou příbuzní těmto symetriím.

Techničtěji, kdy H je invariantní působením určitého skupina transformací G:

${ Displaystyle S v G, H (S (q, p)) = H (q, p)}$.

prvky G jsou fyzické operátory, které mezi sebou mapují fyzikální stavy.

Tabulka operátorů klasické mechaniky

Proměna	Operátor	Pozice	Hybnost
Překladová symetrie	${ displaystyle X ( mathbf {a})}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow mathbf {r} + mathbf {a}}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow mathbf {p}}$
Symetrie překladu času	${ displaystyle U (t_ {0})}$	${ displaystyle mathbf {r} (t) rightarrow mathbf {r} (t + t_ {0})}$	${ displaystyle mathbf {p} (t) rightarrow mathbf {p} (t + t_ {0})}$
Rotační invariance	${ displaystyle R ( mathbf { hat {n}}, theta)}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow R ( mathbf { hat {n}}, theta) mathbf {r}}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow R ( mathbf { hat {n}}, theta) mathbf {p}}$
Galileovy transformace	${ displaystyle G ( mathbf {v})}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow mathbf {r} + mathbf {v} t}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow mathbf {p} + m mathbf {v}}$
Parita	${ displaystyle P}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow - mathbf {r}}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow - mathbf {p}}$
T-symetrie	${ displaystyle T}$	${ displaystyle mathbf {r} rightarrow mathbf {r} (-t)}$	${ displaystyle mathbf {p} rightarrow - mathbf {p} (-t)}$

kde ${ displaystyle R ({ hat { boldsymbol {n}}}, theta)}$ je rotační matice kolem osy definované znakem jednotkový vektor ${ displaystyle { hat { boldsymbol {n}}}}$ a úhel θ.

Generátory

Pokud je transformace nekonečně malá, akce operátoru by měla mít formu

${ displaystyle I + epsilon A}$

kde ${ displaystyle I}$ je operátor identity, ${ displaystyle epsilon}$ je parametr s malou hodnotou a ${ displaystyle A}$ bude záviset na dané transformaci a bude se jmenovat a generátor skupiny. Jako jednoduchý příklad opět odvodíme generátor prostorových překladů na 1D funkcích.

Jak bylo uvedeno, ${ displaystyle T_ {a} f (x) = f (x-a)}$. Li ${ displaystyle a = epsilon}$ je nekonečně malé, pak můžeme psát

${ Displaystyle T _ { epsilon} f (x) = f (x- epsilon) přibližně f (x) - epsilon f '(x).}$

Tento vzorec může být přepsán jako

${ displaystyle T _ { epsilon} f (x) = (I- epsilon D) f (x)}$

kde ${ displaystyle D}$ je generátor překladové skupiny, která je v tomto případě shodou okolností derivát operátor. Říká se tedy, že generátor překladů je derivát.

Exponenciální mapa

Celá skupina může být za normálních okolností získána z generátorů prostřednictvím exponenciální mapa. V případě překladů nápad funguje takto.

Překlad pro konečnou hodnotu ${ displaystyle a}$ lze získat opakovanou aplikací nekonečně malého překladu:

${ displaystyle T_ {a} f (x) = lim _ {N až infty} T_ {a / N} cdots T_ {a / N} f (x)}$

s ${ displaystyle cdots}$ kandidovat na přihlášku ${ displaystyle N}$ krát. Li ${ displaystyle N}$ je velký, každý z faktorů lze považovat za nekonečně malý:

${ displaystyle T_ {a} f (x) = lim _ {N až infty} (I- (a / N) D) ^ {N} f (x).}$

Ale tento limit lze přepsat jako exponenciální:

${ displaystyle T_ {a} f (x) = exp (-aD) f (x).}$

Abychom byli přesvědčeni o platnosti tohoto formálního výrazu, můžeme rozšířit exponenciál v mocenské řadě:

${ displaystyle T_ {a} f (x) = left (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} přes 2!} - {a ^ {3} D ^ {3} přes 3! } + cdots right) f (x).}$

Pravá strana může být přepsána jako

${ displaystyle f (x) -af '(x) + {a ^ {2} přes 2!} f' '(x) - {a ^ {3} přes 3!} f' '(x) + cdots}$

což je jen Taylorova expanze ${ displaystyle f (x-a)}$, což byla naše původní hodnota pro ${ displaystyle T_ {a} f (x)}$.

Matematické vlastnosti fyzických operátorů jsou samy o sobě tématem velkého významu. Další informace viz C * -algebra a Gelfand-Naimarkova věta.

Operátoři v kvantové mechanice

The matematická formulace kvantové mechaniky (QM) je postaven na konceptu operátora.

Fyzický čisté stavy v kvantové mechanice jsou reprezentovány jako vektory jednotkové normy (pravděpodobnosti jsou normalizovány na jednu) ve speciálu komplex Hilbertův prostor. Vývoj času v tomhle vektorový prostor je dána aplikací operátor evoluce.

Žádný pozorovatelný, tj. jakékoli množství, které lze měřit ve fyzickém experimentu, by mělo být spojeno s a samoadjung lineární operátor. Provozovatelé musí být skuteční vlastní čísla, protože se jedná o hodnoty, které se mohou objevit jako výsledek experimentu. Matematicky to znamená, že operátoři musí být Hermitian.^[1] Pravděpodobnost každého vlastního čísla souvisí s projekcí fyzického stavu v podprostoru souvisejícím s tímto vlastním číslem. Níže najdete matematické podrobnosti o hermitovských operátorech.

V vlnová mechanika formulace QM se vlnová funkce mění s prostorem a časem nebo ekvivalentně s hybností a časem (viz poloha a prostor hybnosti podrobnosti), takže pozorovatelní jsou diferenciální operátory.

V maticová mechanika formulace, norma fyzického stavu by mělo zůstat pevné, takže operátor evoluce by měl být unitární a operátory lze reprezentovat jako matice. Jakákoli jiná symetrie mapující fyzický stav do jiného by měla toto omezení zachovat.

Vlnová funkce

Vlnová funkce musí být čtvercově integrovatelný (vidět Lp mezery ), význam:

${ displaystyle iiint _ { mathbb {R} ^ {3}} | psi ( mathbf {r}) | ^ {2} { rm {d}} ^ {3} mathbf {r} = iiint _ { mathbb {R} ^ {3}} psi ( mathbf {r}) ^ {*} psi ( mathbf {r}) { rm {d}} ^ {3} mathbf {r } < infty}$

a normalizovatelné, takže:

${ displaystyle iiint _ { mathbb {R} ^ {3}} | psi ( mathbf {r}) | ^ {2} { rm {d}} ^ {3} mathbf {r} = 1 }$

Dva případy vlastních čísel (a vlastních čísel) jsou:

• pro oddělený vlastní státy ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ tvořící diskrétní základ, takže jakýkoli stav je a součet

${ displaystyle | psi rangle = součet _ {i} c_ {i} | phi _ {i} rangle}$

kde C_i jsou komplexní čísla taková, že |C_i|² = C_i^*C_i = pravděpodobnost měření stavu ${ displaystyle | phi _ {i} rangle}$a odpovídající sada vlastních čísel A_i je také diskrétní - buď konečný nebo počítatelně nekonečný,

• pro kontinuum vlastních států ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$ tvořící souvislý základ, takže jakýkoli stát je integrální

${ displaystyle | psi rangle = int c ( phi) { rm {d}} phi | phi rangle}$

kde C(φ) je komplexní funkce taková, že |C(φ) |² = C(φ)^*C(φ) = pravděpodobnost měření stavu ${ displaystyle | phi rangle}$, a tam je nespočetně nekonečný sada vlastních čísel A.

Lineární operátory ve vlnové mechanice

Nechat ψ být vlnovou funkcí pro kvantový systém a ${ displaystyle { hat {A}}}$ být kdokoli lineární operátor pro některé pozorovatelné A (jako je poloha, hybnost, energie, moment hybnosti atd.). Li ψ je vlastní funkce operátora ${ displaystyle { hat {A}}}$, pak

${ displaystyle { hat {A}} psi = a psi,}$

kde A je vlastní číslo operátora, což odpovídá naměřené hodnotě pozorovatelné, tj. pozorovatelné A má naměřenou hodnotu A.

Li ψ je vlastní funkce daného operátora ${ displaystyle { hat {A}}}$, pak určité množství (vlastní hodnota A) bude pozorováno, pokud bude měřeno pozorovatelné A je vyroben na státu ψ. Naopak, pokud ψ není vlastní funkcí ${ displaystyle { hat {A}}}$, pak nemá žádné vlastní číslo pro ${ displaystyle { hat {A}}}$, a pozorovatelný nemá v tomto případě jedinou definitivní hodnotu. Místo toho měření pozorovatelných A získá každé vlastní číslo s určitou pravděpodobností (souvisí s rozkladem) ψ vzhledem k ortonormálnímu vlastnímu základu ${ displaystyle { hat {A}}}$).

V braketové notaci lze napsat výše;

${ displaystyle { begin {aligned} & { hat {A}} psi = { hat {A}} psi ( mathbf {r}) = { hat {A}} left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid { hat {A}} mid psi right rangle & a psi = a psi ( mathbf {r}) = a left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid a mid psi right rangle konec {zarovnáno }}}$

které jsou stejné, pokud ${ displaystyle left | psi right rangle}$ je vlastní vektor nebo eigenket pozorovatelného A.

Kvůli linearitě lze vektory definovat v libovolném počtu dimenzí, protože každá složka vektoru působí na funkci samostatně. Jedním matematickým příkladem je operátor del, který je sám o sobě vektorem (užitečné v kvantových operátorech souvisejících s hybností, v tabulce níže).

Provozovatel v n-dimenzionální prostor lze zapsat:

${ displaystyle mathbf { hat {A}} = součet _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j}}$

kde E_j jsou základní vektory odpovídající každému operátorovi komponenty A_j. Každá složka získá odpovídající vlastní číslo ${ displaystyle a_ {j}}$. Působení na vlnovou funkci ψ:

${ displaystyle mathbf { hat {A}} psi = left ( sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) psi = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} psi right) = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {e} _ {j} a_ {j} psi right)}$

ve kterém jsme použili ${ displaystyle { hat {A}} _ {j} psi = a_ {j} psi.}$

V zápisu bra – ket:

${ displaystyle { begin {aligned} & mathbf { hat {A}} psi = mathbf { hat {A}} psi ( mathbf {r}) = mathbf { hat {A}} left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid mathbf { hat {A}} mid psi right rangle & left ( sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) psi = left ( sum _ {j = 1 } ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} vpravo) psi ( mathbf {r}) = vlevo ( součet _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} right) left langle mathbf {r} mid psi right rangle = left langle mathbf {r} mid sum _ {j = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {j} { hat {A}} _ {j} mid psi right rangle end { zarovnaný}},!}$

Komutace operátorů na Ψ

Pokud dva pozorovatelné A a B mít lineární operátory ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$, komutátor je definován,

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] = { hat {A}} { hat {B}} - { hat {B}} { hat {A}}}$

Komutátor je sám (složený) operátor. Působí komutátor ψ dává:

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi = { hat {A}} { hat {B}} psi - { hat {B} } { hat {A}} psi.}$

Li ψ je vlastní funkce s vlastními hodnotami A a b pro pozorovatelny A a B a pokud operátoři dojíždějí:

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi = 0,}$

pak pozorovatelné A a B lze měřit současně s nekonečnou přesností, tj. nejistotami ${ displaystyle Delta A = 0}$, ${ displaystyle Delta B = 0}$ zároveň. ψ pak se říká, že je současnou vlastní funkcí A a B. Pro ilustraci:

${ displaystyle { begin {aligned} left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi & = { hat {A}} { hat {B}} psi - { hat {B}} { hat {A}} psi & = a (b psi) -b (a psi) & = 0. end {zarovnáno}}}$

Ukazuje, že měření A a B nezpůsobuje žádný posun stavu, tj. Počáteční a konečný stav jsou stejné (žádné rušení v důsledku měření). Předpokládejme, že měříme A, abychom získali hodnotu a. Poté změříme B, abychom dostali hodnotu b. Znovu změříme A. Stále dostáváme stejnou hodnotu a. Jasně stát (ψ) systému není zničen, a tak jsme schopni měřit A a B současně s nekonečnou přesností.

Pokud operátoři nedojíždějí:

${ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] psi neq 0,}$

nemohou být připraveny současně s libovolnou přesností, a existuje vztah nejistoty mezi pozorovatelnami,

${ displaystyle Delta A Delta B geq vlevo | { frac { langle [A, B] rangle} {2}} vpravo |}$

i kdyby ψ je vlastní funkce, kterou výše uvedený vztah platí. Pozoruhodné páry jsou vztahy nejistoty polohy a hybnosti a energie a času a úhlový moment (rotace, orbitální a celková) kolem libovolných dvou ortogonálních os (například L_X a L_ynebo s_y a s_z atd.).^[2]

Očekávané hodnoty operátorů na Ψ

The očekávaná hodnota (ekvivalentní průměrná nebo střední hodnota) je průměrné měření pozorovatelné částice v oblasti R. Hodnota očekávání ${ displaystyle langle { hat {A}} rangle}$ provozovatele ${ displaystyle { hat {A}}}$ se počítá z:^[3]

${ displaystyle langle { hat {A}} rangle = int _ {R} psi ^ {*} left ( mathbf {r} right) { hat {A}} psi left ( mathbf {r} right) mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} = langle psi | { hat {A}} | psi rangle.}$

To lze zobecnit na jakoukoli funkci F provozovatele:

${ displaystyle langle F ({ hat {A}}) rangle = int _ {R} psi ( mathbf {r}) ^ {*} left [F ({ hat {A}}) psi ( mathbf {r}) right] mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} = langle psi | F ({ hat {A}}) | psi rangle,}$

Příklad F je dvojnásobná akce A na ψ, tj. umocnit operátora nebo to udělat dvakrát:

${ displaystyle { begin {aligned} & F ({ hat {A}}) = { hat {A}} ^ {2} & Rightarrow langle { hat {A}} ^ {2} rangle = int _ {R} psi ^ {*} left ( mathbf {r} right) { hat {A}} ^ {2} psi left ( mathbf {r} right) mathrm {d} ^ {3} mathbf {r} = langle psi vert { hat {A}} ^ {2} vert psi rangle end {zarovnáno}} , !}$

Hermitovské operátory

Definice a Hermitovský operátor je:^[1]

${ displaystyle { hat {A}} = { hat {A}} ^ { dagger}}$

Z toho vyplývá, v notaci braket:

${ displaystyle langle phi _ {i} | { hat {A}} | phi _ {j} rangle = langle phi _ {j} | { hat {A}} | phi _ { i} rangle ^ {*}.}$

Mezi důležité vlastnosti hermitovských operátorů patří:

• skutečná vlastní čísla,
• vlastní vektory s různými vlastními hodnotami jsou ortogonální,
• vlastní vektory lze zvolit jako úplné ortonormální základ,

Operátoři maticové mechaniky

Operátor může být zapsán v maticové formě pro mapování jednoho základního vektoru na jiný. Protože operátory jsou lineární, matice je a lineární transformace (aka přechodová matice) mezi základnami. Každý základní prvek ${ displaystyle phi _ {j}}$ lze připojit k jinému,^[3] výrazem:

${ displaystyle A_ {ij} = langle phi _ {i} | { hat {A}} | phi _ {j} rangle,}$

což je maticový prvek:

${ displaystyle { hat {A}} = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1n} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nn} end {pmatrix}}}$

Další vlastností hermitovského operátoru je to, že vlastní funkce odpovídající různým vlastním hodnotám jsou ortogonální.^[1] V maticové formě umožňují operátoři najít skutečná vlastní čísla, odpovídající měřením. Ortogonalita umožňuje vhodnou základní sadu vektorů reprezentovat stav kvantového systému. Vlastní čísla operátoru se také vyhodnotí stejným způsobem jako u čtvercové matice, řešením charakteristický polynom:

${ displaystyle det left ({ hat {A}} - { hat {I}} right) = 0,}$

kde Já je n × n matice identity jako operátor odpovídá operátorovi identity. Pro diskrétní základ:

${ displaystyle { hat {I}} = součet _ {i} | phi _ {i} rangle langle phi _ {i} |}$

průběžně:

${ displaystyle { hat {I}} = int | phi rangle langle phi | d phi}$

Inverzní operátor

Non-singulární operátor ${ displaystyle { hat {A}}}$ má inverzní ${ displaystyle { hat {A}} ^ {- 1}}$ definován:

${ displaystyle { hat {A}} { hat {A}} ^ {- 1} = { hat {A}} ^ {- 1} { hat {A}} = { hat {I}} }$

Pokud operátor nemá žádnou inverzi, jedná se o singulární operátor. V konečně-dimenzionálním prostoru je operátor ne-singulární právě tehdy, pokud je jeho determinant nenulový:

${ displaystyle det ({ hat {A}}) neq 0}$

a proto je determinant pro singulární operátor nula.

Tabulka operátorů QM

Operátory používané v kvantové mechanice jsou shromážděny v tabulce níže (viz například^[1][4]). Tučné vektory s háčkem nejsou jednotkové vektory, jsou to 3-vektorové operátory; všechny tři prostorové komponenty dohromady.

Provozovatel (běžné jméno)	Kartézská složka	Obecná definice	Jednotka SI	Dimenze
Pozice	${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat {x}} = x { hat {y}} = y { hat {z}} = z end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle mathbf { hat {r}} = mathbf {r} , !}$	m	[L]
Hybnost	Všeobecné ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat {p}} _ {x} & = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}} { hat {p}} _ { y} & = - i hbar { frac { částečné} { částečné y}} { hat {p}} _ {z} & = - i hbar { frac { částečné} { částečné z}} end {zarovnáno}}}$	Všeobecné ${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla , !}$	J s m−1 = N s	[M] [L] [T]−1
	Elektromagnetické pole ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat {p}} _ {x} = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}} - qA_ {x} { hat {p }} _ {y} = - i hbar { frac { částečné} { částečné y}} - qA_ {y} { hat {p}} _ {z} = - i hbar { frac { částečné} { částečné z}} - qA_ {z} konec {zarovnáno}}}$	Elektromagnetické pole (použití kinetická hybnost, A = vektorový potenciál) ${ displaystyle { begin {aligned} mathbf { hat {p}} & = mathbf { hat {P}} -q mathbf {A} & = - i hbar nabla -q mathbf {A} konec {zarovnáno}} , !}$	J s m−1 = N s	[M] [L] [T]−1
Kinetická energie	Překlad ${ displaystyle { begin {aligned} { hat {T}} _ {x} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné x ^ {2}}} { hat {T}} _ {y} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { částečné ^ {2} } { částečné y ^ {2}}} { hat {T}} _ {z} & = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac { částečné ^ { 2}} { částečné z ^ {2}}} konec {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat {T}} & = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} & = { frac {(-i hbar nabla) cdot (-i hbar nabla)} {2m}} & = { frac {- hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} end {zarovnáno}} , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	Elektromagnetické pole ${ displaystyle { begin {aligned} { hat {T}} _ {x} & = { frac {1} {2m}} left (-i hbar { frac { částečné} { částečné x }} - qA_ {x} right) ^ {2} { hat {T}} _ {y} & = { frac {1} {2m}} left (-i hbar { frac { částečné} { částečné y}} - qA_ {y} pravé) ^ {2} { hat {T}} _ {z} & = { frac {1} {2m}} vlevo (- i hbar { frac { částečné} { částečné z}} - qA_ {z} pravé) ^ {2} end {zarovnané}} , !}$	Elektromagnetické pole (A = vektorový potenciál ) ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat {T}} & = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} & = { frac {1} {2m}} (- i hbar nabla -q mathbf {A}) cdot (-i hbar nabla -q mathbf {A}) & = { frac {1} {2m}} (- i hbar nabla -q mathbf {A}) ^ {2} end {zarovnáno}} , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	Rotace (Já = moment setrvačnosti ) ${ displaystyle { begin {aligned} { hat {T}} _ {xx} & = { frac {{ hat {J}} _ {x} ^ {2}} {2I_ {xx}}} { hat {T}} _ {yy} & = { frac {{ hat {J}} _ {y} ^ {2}} {2I_ {yy}}} { hat {T}} _ {zz} & = { frac {{ hat {J}} _ {z} ^ {2}} {2I_ {zz}}} konec {zarovnáno}} , !}$	Otáčení ${ displaystyle { hat {T}} = { frac { mathbf { hat {J}} cdot mathbf { hat {J}}} {2I}} , !}$[Citace je zapotřebí ]	J	[M] [L]2 [T]−2
Potenciální energie	N / A	${ displaystyle { hat {V}} = V left ( mathbf {r}, t right) = V , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Celkový energie	N / A	Časově závislý potenciál: ${ displaystyle { hat {E}} = i hbar { frac { částečné} { částečné t}} , !}$ Časově nezávislé: ${ displaystyle { hat {E}} = E , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Hamiltonian		${ displaystyle { begin {aligned} { hat {H}} & = { hat {T}} + { hat {V}} & = { frac { mathbf { hat {p}} cdot mathbf { hat {p}}} {2m}} + V & = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V end {zarovnáno }} , !}$	J	[M] [L]2 [T]−2
Operátor momentu hybnosti	${ displaystyle { begin {aligned} { hat {L}} _ {x} & = - i hbar left (y { částečné přes částečné z} -z { částečné přes částečné y} right) { hat {L}} _ {y} & = - i hbar left (z { částečné nad částečné x} -x { částečné nad částečné z} vpravo) { hat {L}} _ {z} & = - i hbar vlevo (x { částečné nad částečné y} -y { částečné nad částečné x} vpravo) konec {zarovnáno} }}$	${ displaystyle mathbf { hat {L}} = mathbf {r} times -i hbar nabla}$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Roztočit moment hybnosti	${ displaystyle { begin {aligned} { hat {S}} _ {x} = { hbar nad 2} sigma _ {x} { hat {S}} _ {y} = { hbar over 2} sigma _ {y} { hat {S}} _ {z} = { hbar nad 2} sigma _ {z} end {zarovnáno}}}$ kde ${ displaystyle sigma _ {x} = { začátek {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 konec {pmatrix}}}$ ${ displaystyle sigma _ {y} = { začátek {pmatrix} 0 & -i i & 0 konec {pmatrix}}}$ ${ displaystyle sigma _ {z} = { začátek {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 konec {pmatrix}}}$ jsou pauli matice pro spin-½ částice.	${ displaystyle mathbf { hat {S}} = { hbar nad 2} { boldsymbol { sigma}} , !}$ kde σ je vektor, jehož komponenty jsou matice pauli.	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Celková moment hybnosti	${ displaystyle { begin {aligned} { hat {J}} _ {x} & = { hat {L}} _ {x} + { hat {S}} _ {x} { hat {J}} _ {y} & = { hat {L}} _ {y} + { hat {S}} _ {y} { hat {J}} _ {z} & = { klobouk {L}} _ {z} + { hat {S}} _ {z} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf { hat {J}} & = mathbf { hat {L}} + mathbf { hat {S}} & = - i hbar mathbf { r} times nabla + { frac { hbar} {2}} { boldsymbol { sigma}} end {zarovnáno}}}$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
Přechodový dipólový moment (elektrický)	${ displaystyle { begin {aligned} { hat {d}} _ {x} & = q { hat {x}} { hat {d}} _ {y} & = q { hat { y}} { hat {d}} _ {z} & = q { hat {z}} end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle mathbf { hat {d}} = q mathbf { hat {r}}}$	Cm	[I] [T] [L]

Příklady použití kvantových operátorů

Postup extrakce informací z vlnové funkce je následující. Zvažte hybnost p částice jako příklad. Operátor hybnosti na základě polohy v jedné dimenzi je:

${ displaystyle { hat {p}} = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}}}$

Nechat to působit ψ získáváme:

${ displaystyle { hat {p}} psi = -i hbar { frac { částečné} { částečné x}} psi,}$

-li ψ je vlastní funkce ${ displaystyle { hat {p}}}$, pak vlastní hodnota hybnosti p je hodnota hybnosti částice, zjištěná:

${ displaystyle -i hbar { frac { částečné} { částečné x}} psi = p psi.}$

Pro tři dimenze používá hybný operátor nabla operátor, aby se stal:

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla.}$

V kartézských souřadnicích (pomocí standardních kartézských základních vektorů E_X, E_y, E_z) toto lze napsat;

${ displaystyle mathbf {e} _ { mathrm {x}} { hat {p}} _ {x} + mathbf {e} _ { mathrm {y}} { hat {p}} _ { y} + mathbf {e} _ { mathrm {z}} { hat {p}} _ {z} = - i hbar left ( mathbf {e} _ { mathrm {x}} { frac { částečné} { částečné x}} + mathbf {e} _ { mathrm {y}} { frac { částečné} { částečné y}} + mathbf {e} _ { mathrm {z }} { frac { částečné} { částečné z}} vpravo),}$

to je:

${ displaystyle { hat {p}} _ {x} = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}}, quad { hat {p}} _ {y} = - i hbar { frac { částečné} { částečné y}}, quad { hat {p}} _ {z} = - i hbar { frac { částečné} { částečné z}} , ! }$

Proces hledání vlastních čísel je stejný. Protože se jedná o vektorovou a operátorovou rovnici, pokud ψ je vlastní funkce, pak každá složka operátoru hybnosti bude mít vlastní hodnotu odpovídající této složce hybnosti. Herectví ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ na ψ získává:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { hat {p}} _ {x} psi & = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}} psi = p_ {x} psi { hat {p}} _ {y} psi & = - i hbar { frac { částečné} { částečné y}} psi = p_ {y} psi { hat {p }} _ {z} psi & = - i hbar { frac { částečné} { částečné z}} psi = p_ {z} psi konec {zarovnáno}} , !}$

Viz také

Reference