Domněnky Polignacs - Polignacs conjecture - Wikipedia

v teorie čísel, Polignacova domněnka byl vyroben uživatelem Alphonse de Polignac v roce 1849 a uvádí:^[1]

Pro všechny pozitivní sudé číslo n, je jich nekonečně mnoho hlavní mezery velikosti n. Jinými slovy: Existuje nekonečně mnoho případů dvou po sobě jdoucích prvočísla s rozdílem n.^[2]

Ačkoli domněnka dosud nebyla prokázána ani vyvrácena pro jakoukoli danou hodnotu nV roce 2013 došlo k významnému průlomu Zhang Yitang kdo dokázal, že jich je nekonečně mnoho hlavní mezery velikosti n pro určitou hodnotu n < 70,000,000.^[3][4] Později téhož roku James Maynard oznámil související průlom, který dokázal, že existuje nekonečně mnoho hlavních mezer nějaké velikosti menší nebo rovné 600.^[5] Ke dni 14. dubna 2014, rok po Zhangově oznámení, uvádí Polymath project wiki, n byla snížena na 246.^[6] Dále za předpokladu, že Domněnka Elliott – Halberstam a jeho zobecněné podobě to uvádí projekt Polymath projektu wiki n byla snížena na 12, respektive 6.^[7]

Pro n = 2, to je dvojče hlavní domněnka. Pro n = 4, říká se, že jich je nekonečně mnoho bratranec připraví (p, p + 4). Pro n = 6, říká se, že jich je nekonečně mnoho sexy prvočísla (p, p + 6) bez prime mezi p ap + 6.

Dicksonova domněnka zevšeobecňuje Polignacovu domněnku tak, aby pokryla všechna hlavní konstelace.

Domnělá hustota

Nechat ${ displaystyle pi _ {n} (x)}$ dokonce n být počet hlavních mezer velikosti n níže X.

První Hardy – domněnka Littlewood říká, že asymptotická hustota má formu

${ displaystyle pi _ {n} (x) sim 2C_ {n} { frac {x} {( ln x) ^ {2}}} sim 2C_ {n} int _ {2} ^ { x} {dt over ( ln t) ^ {2}}}$

kde C_n je funkce n, a ${ displaystyle sim}$ znamená, že kvocient dvou výrazů má sklony k 1 jako X blíží se nekonečnu.^[8]

C₂ je dvojitá primární konstanta

${ displaystyle C_ {2} = prod _ {p geq 3} { frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} přibližně 0,660161815846869573927812110014 tečky}$

kde produkt přesahuje všechna prvočísla p ≥ 3.

C_n je C₂ vynásobené číslem, které závisí na lichých prvočíselných faktorech q z n:

${ displaystyle C_ {n} = C_ {2} prod _ {q | n} { frac {q-1} {q-2}}.}$

Například, C₄ = C₂ a C₆ = 2C₂. Dvojčata mají stejnou domnělou hustotu jako sestřenice a poloviční než sexy.

Všimněte si, že každý lichý primární faktor q z n zvyšuje domnělou hustotu ve srovnání s dvojčaty o dvojnásobek ${ displaystyle { tfrac {q-1} {q-2}}}$. A heuristický argument následuje. Opírá se o několik neprokázaných předpokladů, takže závěr zůstává dohadem. Šance na náhodný lichý prime q dělení A nebo A + 2 v náhodném „potenciálním“ dvojčeti hlavních párů je ${ displaystyle { tfrac {2} {q}}}$, od té doby q dělí 1 z q čísla z A na A + q - 1. Nyní předpokládejme q rozděluje n a zvažte potenciální primární pár (A, A + n). q rozděluje A + n kdyby a jen kdyby q rozděluje Aa šance na to je ${ displaystyle { tfrac {1} {q}}}$. Šance na (A, A + n) bez faktoru q, děleno šancí, že (A, A + 2) neobsahuje q, pak se stane ${ displaystyle { tfrac {q-1} {q}}}$ děleno ${ displaystyle { tfrac {q-2} {q}}}$. To se rovná ${ displaystyle { tfrac {q-1} {q-2}}}$ který se přenáší na domnělou primární hustotu. V případě n = 6, argument se zjednoduší na: If A je náhodné číslo, pak 3 má šanci 2/3 dělení A nebo A + 2, ale pouze šance 1/3 dělení A a A + 6, takže druhá dvojice se předpokládá dvakrát tak pravděpodobně, že budou oba hlavní.

Poznámky

Reference

• Alphonse de Polignac, Znovu načte premiéry sur les nombres. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Weisstein, Eric W. „domněnka de Polignac“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „dohad k-Tuple“. MathWorld.