Bertrands předpokládá - Bertrands postulate - Wikipedia

v teorie čísel, Bertrandův postulát je teorém s uvedením, že pro všechny celé číslo ${ displaystyle n> 3}$, vždy existuje alespoň jeden prvočíslo ${ displaystyle p}$ s

${ displaystyle n$

Méně restriktivní formulace je: pro všechny ${ displaystyle n> 1}$ vždy je alespoň jeden prime ${ displaystyle p}$ takhle

${ displaystyle n$

Další formulace, kde ${ displaystyle p_ {n}}$ je ${ displaystyle n}$-th prime, je pro ${ displaystyle n geq 1}$

${ displaystyle p_ {n + 1} <2p_ {n}.}$^[1]

Toto prohlášení bylo poprvé domněnkou v roce 1845 Joseph Bertrand^[2] (1822–1900). Sám Bertrand ověřil své prohlášení pro všechna čísla v intervalu [2, 3 × 10⁶].Jeho domněnka byla úplně dokázal podle Čebyšev (1821–1894) v roce 1852^[3] a tak se postulát také nazývá Bertrandova-Čebyševova věta nebo Čebyševova věta. Čebyševovu větu lze také označit jako vztah s ${ displaystyle pi (x)}$, kde ${ displaystyle pi (x)}$ je funkce počítání prvočísel (počet prvočísel menší nebo roven ${ displaystyle x ,}$):

${ displaystyle pi (x) - pi ({ tfrac {x} {2}}) geq 1}$, pro všechny ${ displaystyle x geq 2}$.

Věta o prvočísle

The věta o prvočísle (PNT) znamená, že počet připraví až X je zhruba X/ ln (X), takže pokud vyměníme X s 2X pak vidíme počet prvočísel až 2X je asymptoticky dvojnásobný počet prvočísel až X (výrazy ln (2X) a ln (X) jsou asymptoticky ekvivalentní). Proto je počet prvočísel mezi n a 2n je zhruba n/ ln (n) když n je velký, a tak zejména existuje v tomto intervalu mnohem více prvočísel, než kolik zaručuje Bertrandův Postulate. Bertrandův postulát je tedy poměrně slabší než PNT. Ale PNT je hluboká věta, zatímco Bertrandův Postulate lze uvést lépe a snáze dokázat a také přesně tvrdí, co se stane pro malé hodnoty n. (Kromě toho byla Čebyševova věta prokázána před PNT, stejně jako historický zájem.)

Podobné a stále nevyřešené Legendrova domněnka ptá se, zda pro každého n > 1, je tu prvočíslo p, takový, že n² < p < (n + 1)². Znovu očekáváme, že mezi nimi nebude jen jedno, ale mnoho prvočísel n² a (n + 1)², ale v tomto případě PNT nepomůže: počet připraví až X² je asymptotický vůči X²/ ln (X²) zatímco počet připraví až (X + 1)² je asymptotický vůči (X + 1)²/ ln ((X + 1)²), který je asymptotický k odhadu připraví až X². Takže na rozdíl od předchozího případu X a 2X nedostaneme důkaz o Legendrových domněnkách ani pro všechny velké n. Odhady chyb na PNT nejsou (opravdu nemohou být) dostatečné k prokázání existence ani jednoho prvočísla v tomto intervalu.

Zobecnění

V roce 1919 Ramanujan (1887–1920) užíval vlastnosti Funkce gama dát jednodušší důkaz.^[4] Krátký příspěvek zahrnoval zevšeobecnění postulátu, ze kterého by později vzešel koncept Ramanujan připravuje. Došlo také k dalšímu zobecnění prvočísel Ramanujan; například existuje důkaz, že

${ displaystyle 2p_ {in}> p_ {i} { text {pro}} i> k { text {kde}} k = pi (p_ {k}) = pi (R_ {n}) , ,}$

s p_k the kth prime a R_n the nth Ramanujan prime.

Další zobecnění Bertrandova Postulátu byla získána pomocí elementárních metod. (V následujícím, n prochází množinou kladných celých čísel.) V roce 2006 M. El Bachraoui dokázal, že existuje prime mezi 2n a 3n.^[5] V roce 1973 Denis Hanson dokázal, že existuje prime mezi 3n a 4n.^[6] V roce 2011 navíc Andy Loo dokázal, že jako n má sklon k nekonečnu, počet prvočísel mezi 3n a 4n také jde do nekonečna, čímž zobecňuje výsledky Erdőse a Ramanujana (viz níže část Erdősových vět).^[7] První výsledek je získán elementárními metodami. Druhý je založen na analytických mezích pro faktoriál funkce.

Sylvestrova věta

Bertrandův postulát byl navržen pro aplikace permutační skupiny. Sylvester (1814–1897) zobecnil slabší výrok výrokem: produkt k po sobě jdoucí celá čísla větší než k je dělitelný o prvočíslo větší než k. Z toho vyplývá Bertrandův (slabší) postulát k = n, a vzhledem k k čísla n + 1, n + 2, až do n + k = 2n, kde n > 1. Podle zobecnění Sylvestera má jedno z těchto čísel hlavní faktor větší nežk. Protože všechna tato čísla jsou menší než 2 (k + 1), číslo s primárním faktorem větším nežk má pouze jeden primární faktor, a proto je primární. Všimněte si, že 2n není prvočíslo, a proto nyní víme, že existuje prvočíslop s n < p < 2n.

Erdőovy věty

V roce 1932 Erdős (1913–1996) také publikovali jednodušší použití důkazu binomické koeficienty a Čebyševova funkce ϑ, definováno jako:

${ displaystyle vartheta (x) = součet _ {p = 2} ^ {x} ln (p)}$

kde p ≤ X běží přes prvočísla. Vidět důkaz Bertrandova postulátu pro podrobnosti.^[8]

Erdős v roce 1934 dokázal, že pro každé kladné celé číslo k, existuje přirozené číslo N takové, že pro všechny n > N, existují alespoň k prvočísla mezi n a 2n. Ekvivalentní prohlášení bylo prokázáno v roce 1919 Ramanujanem (viz Ramanujan prime ).

Lepší výsledky

Z věty o prvočísle vyplývá, že pro jakýkoli reálný ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady je ${ displaystyle n_ {0}> 0}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n> n_ {0}}$ je tu prime ${ displaystyle p}$ takhle ${ displaystyle n$

. Lze například ukázat, že

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { pi ((1+ varepsilon) n) - pi (n)} {n / log n}} = varepsilon,}$

což z toho vyplývá ${ displaystyle pi ((1+ varepsilon) n) - pi (n)}$ jde do nekonečna (a zejména je větší než 1 pro dostatečně velký ${ displaystyle n}$).^[9]

Byly také prokázány neasymptotické meze. V roce 1952 to Jitsuro Nagura dokázal ${ displaystyle n geq 25}$ vždy je mezi nimi prvočíslo ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle left (1 + { frac {1} {5}} right) n}$.^[10]

V roce 1976 Lowell Schoenfeld ukázal, že pro ${ displaystyle n geq 2010760}$, vždy je tu prime ${ displaystyle p}$ v otevřeném intervalu ${ displaystyle n$

.^[11]

Ve své disertační práci z roku 1998 Pierre Dusart vylepšil výše uvedený výsledek a ukázal, že pro ${ displaystyle k geq 463}$, ${ displaystyle p_ {k + 1} leq left (1 + { frac {1} {2 ln ^ {2} {p_ {k}}}} right) p_ {k}}$, a zejména pro ${ displaystyle x geq 3275}$, existuje prime ${ displaystyle p}$ v intervalu ${ displaystyle x$

.^[12]

V roce 2010 to Pierre Dusart dokázal ${ displaystyle x geq 396738}$ existuje alespoň jeden prime ${ displaystyle p}$ v intervalu ${ displaystyle x$

.^[13]

V roce 2016 Pierre Dusart zlepšil svůj výsledek z roku 2010 a ukázal (Proposition 5.4), že pokud ${ displaystyle x geq 89693}$, existuje alespoň jeden prime ${ displaystyle p}$ v intervalu ${ displaystyle x$

.^[14] Ukazuje také (Dodatek 5,5), že pro ${ displaystyle x geq 468991632}$, existuje alespoň jeden prime ${ displaystyle p}$ v intervalu ${ displaystyle x$

.

Baker, Harman a Pintz prokázali, že v intervalu je prvočíslo ${ displaystyle [x-x ^ {. 525}, , x]}$ pro všechny dostatečně velké ${ displaystyle x}$.^[15]

Důsledky

• Posloupnost prvočísel, spolu s 1, je a kompletní sekvence; jakékoli kladné celé číslo lze zapsat jako součet prvočísel (a 1), přičemž každé z nich lze použít nejvýše jednou.
• Jediný harmonické číslo to je celé číslo je číslo 1.^[16]

Viz také

• Oppermannova domněnka

Poznámky

Bibliografie

• P. Erdős (1934). „Věta o Sylvestrovi a Schurovi“. Journal of the London Mathematical Society. 9 (4): 282–288. doi:10.1112 / jlms / s1-9.4.282.
• Jitsuro Nagura (1952). „V intervalu obsahujícím alespoň jedno prvočíslo“. Proc. Japan Acad. 28 (4): 177–181. doi:10,3792 / pja / 1195570997.
• Chris Caldwell, Bertrandův postulát na Prime Stránky glosář.
• H. Ricardo (2005). „Goldbachova domněnka implikuje Bertrandův postulát“. Amer. Matematika. Měsíční. 112: 492.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge trakty v pokročilé matematice. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. str. 49. ISBN  978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009). „Ramanujan připraví a Bertrandův postulát“. Amer. Matematika. Měsíční. 116 (7): 630–635. arXiv:0907.5232. doi:10.4169 / 193009709x458609.

externí odkazy

• Sondow, Jonathane & Weisstein, Eric W. „Bertrandův postulát“. MathWorld.
• Důkaz slabé verze v Systém Mizar: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Bertrandův postulát - Důkaz slabé verze na www.dimostriamogoldbach.it/cs/

tento článek potřebuje další nebo konkrétnější Kategorie. Prosím pomoci podle přidávání kategorií aby to mohlo být uvedeno u podobných článků. (Dubna 2019)