Legendrova domněnka - Legendres conjecture - Wikipedia

Legendrova domněnka, navrhl Adrien-Marie Legendre, uvádí, že existuje prvočíslo mezi n² a (n + 1)² pro každého kladné celé číslo n. The dohad je jedním z Landauovy problémy (1912) o prvočíslech; od roku 2020^{[Aktualizace]}, domněnka nebyla ani prokázána, ani vyvrácena.

Nevyřešený problém v matematice:

Existuje vždy alespoň jedno prvočíslo mezi n² a (n + 1)²?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

Prime mezery

Legendrova domněnka je jednou z rodiny výsledků a domněnek souvisejících s hlavní mezery, tj. na mezeru mezi prvočísly.

Graf počtu prvočísel mezi n² a (n + 1)² OEIS: A014085

The věta o prvočísle naznačuje, že skutečný počet prvočísel mezi n² a (n + 1)² (OEIS: A014085) je asymptotické na n/ ln (n). Protože toto číslo je velké pro velké n, to dodává důvěryhodnost Legendrovu domněnku.

Je-li Legendrova domněnka pravdivá, platí mezera mezi jakýmkoli prvočíslem p a další největší prime by byl vždy maximálně v řádu ${ displaystyle { sqrt {p}}}$ ;^[A] v velká O notace, mezery jsou ${ displaystyle O ({ sqrt {p}})}$ . Dva silnější domněnky, Andricova domněnka a Oppermannova domněnka, oba také naznačují, že mezery mají stejnou velikost.

Harald Cramér domnělý že mezery jsou vždy mnohem menší, řádově ${ displaystyle ( log p) ^ {2}}$ . Pokud je Cramérova domněnka pravdivá, následovala by Legendreova domněnka pro všechny dostatečně velké n. Cramér rovněž prokázal, že Riemannova hypotéza znamená slabší vazbu ${ displaystyle O ({ sqrt {p}} log p)}$ na velikosti největších hlavních mezer.^[1]

Protiklad blízko 10¹⁸ by vyžadovalo hlavní mezeru padesát milionůkrát větší než průměrná mezera.

Legendrova domněnka naznačuje, že v každé polovině revoluce lze najít alespoň jedno prvočíslo Ulam spirála.

Částečné výsledky

Vyplývá to z výsledku Ingham to pro všechny dostatečně velké ${ displaystyle n}$ , je mezi nimi po sobě jdoucí kostky ${ displaystyle n ^ {3}}$ a ${ displaystyle (n + 1) ^ {3}}$ .^[2]

Baker, Harman a Pintz dokázal, že v intervalu je prvočíslo ${ displaystyle [x, , x + O (x ^ {21/40})]}$ pro všechny velké ${ displaystyle x}$ .^[3]

Tabulka maximálních hlavních mezer ukazuje, že domněnka platí minimálně ${ displaystyle n ^ {2} = 4 cdot 10 ^ {18}}$ , význam ${ displaystyle n = 2 cdot 10 ^ {9}}$ .^[4]

Viz také

Poznámky a odkazy

^ a To je důsledek skutečnosti, že rozdíl mezi dvěma po sobě následujícími čtverci je v řádu jejich odmocnin.

^ Stewart, Iane (2013), Vize nekonečna: Velké matematické problémy, Základní knihy, str. 164, ISBN 9780465022403.
^ OEIS: A060199
^ Baker, R. C .; Harman, G .; Pintz, J. (2001). „Rozdíl mezi po sobě následujícími prvočísly, II“ (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. 83 (3): 532–562. doi:10.1112 / plms / 83.3.532.
^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014), „Empirické ověření sudé Goldbachovy domněnky a výpočet hlavních mezer do ${ displaystyle 4 cdot 10 ^ {18}}$ ", Matematika výpočtu, 83 (288): 2033–2060, doi:10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1, PAN 3194140.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Legendrova domněnka“. MathWorld.
Hashimoto, Tsutomu (2008). „O jistém vztahu mezi Legendrovým dohadem a Bertrandovým postulátem“. arXiv:0807.3690.
Mitra, Adway; Paul, Goutam; Sarkar, Ushnish (2009). "Některé dohady o počtu prvočísel v určitých intervalech". arXiv:0906.0104.
Paz, německy (2013). „Na dohady Legendre, Brocard, Andirca a Oppermann“. arXiv:1310.1323.

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Stewart, Iane (2013), Vize nekonečna: Velké matematické problémy, Základní knihy, str. 164, ISBN 9780465022403.

[2] OEIS: A060199

[baker-3] Baker, R. C .; Harman, G .; Pintz, J. (2001). „Rozdíl mezi po sobě následujícími prvočísly, II“ (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society. 83 (3): 532–562. doi:10.1112 / plms / 83.3.532.

[4] Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014), „Empirické ověření sudé Goldbachovy domněnky a výpočet hlavních mezer do ${ displaystyle 4 cdot 10 ^ {18}}$ ", Matematika výpočtu, 83 (288): 2033–2060, doi:10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1, PAN 3194140.

[A]

[1]

[2]

[3]

[4]