Domněnka Elliott – Halberstam - Elliott–Halberstam conjecture

v teorie čísel, Domněnka Elliott – Halberstam je dohad o distribuci prvočísla v aritmetické průběhy. Má mnoho aplikací v teorie sít. Je pojmenován pro Peter D. T. A. Elliott a Heini Halberstam, který uvedl domněnku v roce 1968.^[1]

Uvedení domněnky vyžaduje určitou notaci. Nechat ${ displaystyle pi (x)}$, funkce počítání prvočísel, označte počet prvočísel menší nebo rovný ${ displaystyle x}$. Li ${ displaystyle q}$ je pozitivní celé číslo a ${ displaystyle a}$ je coprime na ${ displaystyle q}$, nechali jsme ${ displaystyle pi (x; q, a)}$ označte počet prvočísel menší nebo rovný ${ displaystyle x}$ které se rovnají ${ displaystyle a}$ modulo ${ displaystyle q}$. Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetických postupech pak nám to řekne

${ displaystyle pi (x; q, a) přibližně { frac { pi (x)} { varphi (q)}}}$

kde ${ displaystyle varphi}$ je Eulerova totientová funkce. Pokud pak definujeme chybovou funkci

${ displaystyle E (x; q) = max _ {{ text {gcd}} (a, q) = 1} vlevo | pi (x; q, a) - { frac { pi (x )} { varphi (q)}} vpravo |}$

kde maximum je převzato všemi ${ displaystyle a}$ coprime to ${ displaystyle q}$, pak je domněnka Elliott – Halberstam tvrzením pro každého ${ displaystyle theta <1}$ a ${ displaystyle A> 0}$ existuje konstanta ${ displaystyle C> 0}$ takhle

${ displaystyle sum _ {1 leq q leq x ^ { theta}} E (x; q) leq { frac {Cx} { log ^ {A} x}}}$

pro všechny ${ displaystyle x> 2}$.

Tato domněnka byla prokázána pro všechny ${ displaystyle theta <1/2}$ podle Enrico Bombieri^[2] a A. I. Vinogradov^[3] (dále jen Bombieri – Vinogradovova věta, někdy známý jednoduše jako „Bombieriho věta“); tento výsledek je již docela užitečný, protože je průměrnou formou zobecněná Riemannova hypotéza. Je známo, že domněnka selhává v koncovém bodě ${ displaystyle theta = 1}$.^[4]

Domněnka Elliott – Halberstam má několik důsledků. Jeden pozoruhodný je výsledek oznámený Dan Goldston, János Pintz, a Cem Yıldırım,^[5][6] což ukazuje (za předpokladu této domněnky), že existuje nekonečně mnoho párů prvočísel, které se liší maximálně 16. V listopadu 2013 James Maynard ukázal, že podle hypotézy Elliott – Halberstam lze ukázat existenci nekonečně mnoha párů po sobě jdoucích prvočísel, která se liší maximálně 12.^[7] V srpnu 2014 Polymath skupina ukázala, že předmět zobecněný domněnka Elliott – Halberstam, lze ukázat existenci nekonečně mnoha párů po sobě jdoucích prvočísel, která se liší maximálně o 6.^[8] Bez předpokladu jakékoli formy domněnky je nejnižší prokázaná hranice 246.

Viz také

• Barban – Davenport – Halberstamova věta
• Sexy prime
• Siegel – Walfiszova věta

Poznámky