Dohady Andricas - Andricas conjecture - Wikipedia

(a) Funkce ${ displaystyle A_ {n}}$ pro prvních 100 prvočísel.

(b) Funkce ${ displaystyle A_ {n}}$ za prvních 200 prvočísel.

(c) Funkce ${ displaystyle A_ {n}}$ za prvních 500 prvočísel.

Grafický důkaz pro Andricovu domněnku pro prvních (a) 100, (b) 200 a (c) 500 prvočísel. Předpokládá se, že funkce ${ displaystyle A_ {n}}$ je vždy menší než 1.

Andricova domněnka (pojmenoval podle Dorin Andrica ) je dohad týkající se mezery mezi prvočísla.^[1]

Domněnka tvrdí, že nerovnost

${ displaystyle { sqrt {p_ {n + 1}}} - { sqrt {p_ {n}}} <1}$

platí pro všechny ${ displaystyle n}$, kde ${ displaystyle p_ {n}}$ je nth prvočíslo. Li ${ displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n}}$ označuje nth hlavní mezera, pak lze Andriinu domněnku také přepsat jako

${ displaystyle g_ {n} <2 { sqrt {p_ {n}}} + 1.}$

Empirické důkazy

Imran Ghory použil údaje o největších hlavních mezerách k potvrzení domněnky ${ displaystyle n}$ až 1 3002 × 10¹⁶.^[2] Pomocí tabulky maximální mezery a výše uvedená nerovnost mezery může být potvrzovací hodnota vyčerpána rozšířena na 4 × 10¹⁸.

Diskrétní funkce ${ displaystyle A_ {n} = { sqrt {p_ {n + 1}}} - { sqrt {p_ {n}}}}$ je vynesen na obrázcích naproti. Značky vysoké vody pro ${ displaystyle A_ {n}}$ nastat pro n = 1, 2 a 4, s A₄ ≈ 0,670873 ..., přičemž mezi prvními 10 není větší hodnota⁵ připraví. Protože funkce Andrica klesá asymptoticky tak jako n zvyšuje, je zapotřebí hlavní mezera stále rostoucí velikosti, aby byl rozdíl velký jako n se zvětší. Zdá se tedy velmi pravděpodobné, že domněnka je pravdivá, i když to dosud nebylo prokázáno.

Zobecnění

Hodnota X v zobecněné Andricově domněnce pro prvních 100 prvočísel s domnělou hodnotou X_min označeno.

Jako zevšeobecnění Andricovy domněnky byla uvažována následující rovnice:

${ displaystyle p_ {n + 1} ^ {x} -p_ {n} ^ {x} = 1,}$

kde ${ displaystyle p_ {n}}$ je nth prime a X může být jakékoli kladné číslo.

Největší možné řešení pro X je snadno viditelný pro n= 1, když X_max = 1. Nejmenší řešení pro X se předpokládá, že bude X_min ≈ 0,567148 ... (sekvence A038458 v OEIS ) který se vyskytuje pro n = 30.

Tato domněnka byla také uvedena jako nerovnost, zobecněná domněnka Andrica:

${ displaystyle p_ {n + 1} ^ {x} -p_ {n} ^ {x} <1}$ pro ${ displaystyle x$

Viz také

• Cramérova domněnka
• Legendrova domněnka
• Firoozbakhtova domněnka

Odkazy a poznámky

• Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.

externí odkazy

• Andricovy dohady na PlanetMath
• Zobecněná domněnka Andrica na PlanetMath
• Weisstein, Eric W. „Andričin dohad“. MathWorld.