Polodiferencovatelnost - Semi-differentiability

v počet, pobočka matematika, pojmy jednostranná diferencovatelnost a polodiferencovatelnost a nemovitý -hodnota funkce F reálné proměnné jsou slabší než rozlišitelnost. Konkrétně funkce F se říká, že je správně rozlišitelné v určitém okamžiku A pokud, zhruba řečeno, a derivát lze definovat jako argument funkce X přesune do A zprava a vlevo rozlišitelné v A pokud lze derivát definovat jako X přesune do A zleva.

Jednorozměrný případ

Tato funkce nemá ve vyznačeném bodě derivaci, protože funkce není kontinuální tam. Má však ve všech bodech správnou derivaci s

{ displaystyle částečné _ {+} f (a)}

neustále rovna 0.

v matematika, a levá derivace a a pravý derivát jsou deriváty (rychlosti změny funkce) definované pro pohyb pouze v jednom směru (vlevo nebo vpravo, tj. na nižší nebo vyšší hodnoty) argumentem funkce.

Definice

Nechat F označuje funkci se skutečnou hodnotou definovanou v podmnožině Já reálných čísel.

Li $A \in Já$ je mezní bod z $Já \cap$ $[A,\infty)$ a jednostranný limit

{ displaystyle částečné _ {+} f (a): = lim _ { scriptstyle x na ^ {+} na vrcholu scriptstyle x v I} { frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

existuje tedy jako reálné číslo F je nazýván správně rozlišitelné v A a limit ∂₊F(A) se nazývá pravý derivát z F v A.

Li $A \in Já$ je mezní bod $Já \cap$ $(-\infty, A]$ a jednostranný limit

{ displaystyle částečné _ {-} f (a): = lim _ { scriptstyle x na a ^ {-} na vrcholu scriptstyle x v I} { frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

existuje tedy jako reálné číslo F je nazýván vlevo rozlišitelné v A a limit ∂_–F(A) se nazývá levá derivace z F v A.

Li $A \in Já$ je mezní bod $Já \cap$ $[A,\infty)$ a $Já \cap (-\infty, A]$ a pokud F je levý a pravý rozlišitelný na A, pak F je nazýván polodiferencovatelné v A.

Pokud jsou levý a pravý derivát stejné, pak mají stejnou hodnotu jako obvyklý („obousměrný“) derivát. Lze také definovat a symetrická derivace, což se rovná aritmetický průměr levého a pravého derivátu (pokud oba existují), takže symetrický derivát může existovat, když obvyklý derivát neexistuje.^[1]

Poznámky a příklady

Funkce je rozlišitelný opálení vnitřní bod A jeho doména právě když je částečně diferencovatelný na A a levá derivace se rovná pravé derivaci.
Příkladem částečně diferencovatelné funkce, která není diferencovatelná, je absolutní hodnota v A = 0.
Pokud je funkce v bodě částečně diferencovatelná A, znamená to, že je spojitý v A.
The funkce indikátoru 1_[0,∞) je správné rozlišitelné v každém reálném A, ale diskontinuální na nule (všimněte si, že tato funkce indikátoru není ponechána diferencovatelná na nule).

aplikace

Pokud je to skutečná hodnota, rozlišitelná funkce F, definované v intervalu Já reálné linie, má nulovou derivaci všude, pak je konstantní, jako aplikace věta o střední hodnotě ukazuje. Předpoklad diferencovatelnosti může být oslaben na kontinuitu a jednostrannou diferencovatelnost F. Verze pro pravé rozlišitelné funkce je uvedena níže, verze pro levé rozlišitelné funkce je analogická.

Teorém — Nechat F být skutečnou hodnotou, spojitá funkce, definované libovolně interval Já skutečné linie. Li F je správně diferencovatelné v každém bodě $A \in Já$ , což není supremum intervalu, a pokud je tato pravá derivace vždy nula, pak F je konstantní.

Důkaz —

Pro důkaz rozporem Předpokládejme, že existují $A < b$ v Já takhle $F (A) \neq F (b)$ . Pak

{ displaystyle varepsilon: = { frac {| f (b) -f (a) |} {2 (b-a)}}> 0.}

Definovat C jako infimum ze všech těch X v intervalu $(A, b]$ pro které rozdílový kvocient z F překračuje ε v absolutní hodnotě, tj.

{ displaystyle c = inf {, x in (a, b] mid | f (x) -f (a) |> varepsilon (x-a) , }.}

Kvůli kontinuitě F, z toho vyplývá, že $C < b$ a $| F (C) - F (A) | = ε (C - A)$ . V C správný derivát F je nula podle předpokladu, proto existuje d v intervalu $(C, b]$ s $| F (X) - F (C) | \leq ε (X - C)$ pro všechny X v $(C, d]$ . Proto, tím nerovnost trojúhelníku,

{ displaystyle | f (x) -f (a) | leq | f (x) -f (c) | + | f (c) -f (a) | leq varepsilon (x-a)}

pro všechny X v $[C, d)$ , což je v rozporu s definicí C.

Diferenciální operátoři jednající doleva nebo doprava

Dalším běžným použitím je popis derivátů považovaných za binární operátory v infixová notace, ve kterém mají být deriváty použity buď vlevo, nebo vpravo operandy. To je užitečné například při definování zobecnění Poissonova závorka. Pro dvojici funkcí f a g jsou levý a pravý derivát definovány jako

{ displaystyle f { stackrel { leftarrow} { částečné}} _ {x} g = { frac { částečné f} { částečné x}} cdot g}

{ displaystyle f { stackrel { rightarrow} { částečné}} _ {x} g = f cdot { frac { částečné g} { částečné x}}.}

v braketová notace, operátor derivace může fungovat na pravém operandu jako regulární derivace nebo na levé straně jako negativní derivát.^[2]

Vyšší rozměrný případ

Tuto výše uvedenou definici lze zobecnit na funkce se skutečnou hodnotou F definované na podmnožinách Rⁿ pomocí slabší verze směrový derivát. Nechat A být vnitřním bodem domény F. Pak F je nazýván polodiferencovatelné na místě A pokud pro každý směr u ∈ Rⁿ omezení

{ displaystyle částečné _ {u} f (a) = lim _ {h až 0 ^ {+}} { frac {f (a + h , u) -f (a)} {h}} }

existuje jako reálné číslo.

Polodiferencovatelnost je tak slabší než Diferencovatelnost gateaux, pro které jeden přijme výše uvedený limit h → 0 bez omezení h pouze na kladné hodnoty.

Například funkce ${ displaystyle f (x, y) = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ je polodiferencovatelný v ${ displaystyle (0,0)}$ , ale ne tam diferencovatelné Gateaux.

(Všimněte si, že toto zobecnění není ekvivalentní původní definici pro n = 1 protože koncept jednostranných mezních bodů je nahrazen silnějším konceptem vnitřních bodů.)

Vlastnosti

Žádný konvexní funkce na konvexní otevřená podmnožina z Rⁿ je polodiferencovatelný.
Zatímco každá polodiferencovatelná funkce jedné proměnné je spojitá; to již neplatí pro několik proměnných.

Zobecnění

Místo funkcí se skutečnou hodnotou lze uvažovat o funkcích, které berou hodnoty Rⁿ nebo v Banachův prostor.

Viz také

Reference

^ Peter R. Mercer (2014). Více kalkulů jedné proměnné. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
^ Dirac, Paul (1982) [1930]. Principy kvantové mechaniky. USA: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

Preda, V .; Chiţescu, I. (1999). „Kvalifikace omezení v problémech optimalizace multiobjektiv: semidiferencovatelný případ“. J. Optim. Teorie Appl. 100 (2): 417–433. doi:10.1023 / A: 1021794505701.

[Mercer2014-1] Peter R. Mercer (2014). Více kalkulů jedné proměnné. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[2] Dirac, Paul (1982) [1930]. Principy kvantové mechaniky. USA: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

[1]

[2]