Oblouk (geometrie) - Arc (geometry)

A kruhový sektor je zeleně zastíněno. Jeho zakřivená hranice délky L je kruhový oblouk.

v Euklidovská geometrie, an oblouk (symbol: ⌒) je připojeno podmnožina a rozlišitelný křivka. Oblouky řádky se nazývají segmenty nebo paprsky, podle toho, zda jsou ohraničené nebo ne. Běžným zakřiveným příkladem je oblouk a kruh, nazvaný a kruhový oblouk. V koule (nebo a sféroid ), oblouk a velký kruh (nebo a velká elipsa ) se nazývá a velký oblouk.

Každá dvojice odlišných bodů v kruhu určuje dva oblouky. Pokud dva body nejsou přímo proti sobě, jeden z těchto oblouků, menší oblouk, vůle ležet pod úhel ve středu kruhu, který je menší než π radiány (180 stupňů) a druhý oblouk, hlavní oblouk, bude mít úhel větší než π radiány.

Kruhové oblouky

Délka oblouku kruhu

Délka (přesněji délka oblouku ) oblouku kruhu s poloměrem r a podříznutí úhlu θ (měřeno v radiánech) se středem kruhu - tj středový úhel - je

${ displaystyle L = theta r.}$

To je proto, že

${ displaystyle { frac {L} { mathrm {obvod}}} = { frac { theta} {2 pi}}.}$

Střídání v obvodu

${ displaystyle { frac {L} {2 pi r}} = { frac { theta} {2 pi}},}$

a s α je stejný úhel měřený ve stupních, protože θ = α/180π, délka oblouku se rovná

${ displaystyle L = { frac { alfa pi r} {180}}.}$

Praktickým způsobem, jak určit délku oblouku v kruhu, je vykreslit dvě úsečky od koncových bodů oblouku ke středu kružnice, změřit úhel, kde se tyto dvě úsečky setkávají se středem, a poté pro L vyřešit křížové vynásobení výroku :

míra úhel ve stupních / 360 ° = L/obvod.

Například pokud je míra úhlu 60 stupňů a obvod je 24 palců, pak

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {60} {360}} & = { frac {L} {24}} 360L & = 1440 L & = 4. end {aligned}}}$

Je tomu tak proto, že obvod kruhu a stupně kruhu, kterých je vždy 360, jsou přímo úměrné.

Horní polovinu kruhu lze parametrizovat jako

${ displaystyle y = { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Pak délka oblouku od ${ displaystyle x = a}$ na ${ displaystyle x = b}$ je

${ displaystyle L = r { Big [} arcsin left ({ frac {x} {r}} right) { Big]} _ {a} ^ {b}.}$

Oblouková oblast

Plocha sektoru tvořená obloukem a středem kruhu (ohraničená obloukem a dvěma poloměry nakreslenými k jeho koncovým bodům) je

${ displaystyle A = { frac {r ^ {2} theta} {2}}.}$

Oblast A má stejný podíl jako oblast kruhu jako úhel θ do plného kruhu:

${ displaystyle { frac {A} { pi r ^ {2}}} = { frac { theta} {2 pi}}.}$

Můžeme to zrušit π na obou stranách:

${ displaystyle { frac {A} {r ^ {2}}} = { frac { theta} {2}}.}$

Vynásobením obou stran číslem r², dostaneme konečný výsledek:

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} r ^ {2} theta.}$

Pomocí převodu popsaného výše zjistíme, že plocha sektoru pro středový úhel měřená ve stupních je

${ displaystyle A = { frac { alpha} {360}} pi r ^ {2}.}$

Oblast segmentu oblouku

Plocha tvaru ohraničená obloukem a přímkou ​​mezi jeho dvěma koncovými body je

${ displaystyle { frac {1} {2}} r ^ {2} left ( theta - sin { theta} right).}$

Chcete-li získat oblast obloukový segment, musíme od této oblasti odečíst plochu trojúhelníku určenou středem kruhu a dvěma koncovými body oblouku ${ displaystyle A}$. Vidět Kruhový segment pro detaily.

Poloměr oblouku

Produkt z úsečky AP a PB se rovná součinu úseček CP a PD. Pokud má oblouk šířku AB a výšku CP, pak průměr kruhu ${ displaystyle CD = { frac {AP cdot PB} {CP}} + CP}$

Za použití věta o protínajících se akordech (také známý jako síla bodu nebo tečna tečny sečny) je možné vypočítat poloměr r kruhu vzhledem k výšce H a šířka Ž oblouku:

Zvažte akord se stejnými koncovými body jako oblouk. Jeho kolmá přímka je dalším akordem, což je průměr kruhu. Délka prvního akordu je Ž, a je rozdělena půlící částí na dvě stejné poloviny, každá s délkou Ž/2. Celková délka průměru je 2r, a je rozdělen na dvě části prvním akordem. Délka jedné části je sagitta oblouku, Ha druhá část je zbytek průměru o délce 2r − H. Aplikováním věty o protínajících se akordech na tyto dva akordy vznikne

${ displaystyle H (2r-H) = left ({ frac {W} {2}} right) ^ {2},}$

odkud

${ displaystyle 2r-H = { frac {W ^ {2}} {4H}},}$

tak

${ displaystyle r = { frac {W ^ {2}} {8H}} + { frac {H} {2}}.}$

Parabolické oblouky

Viz také

• Biarc
• Kruhový oblouk graf
• Poledníkový oblouk
• Obvod
• Obvod

Reference

externí odkazy

• Obsah stránek Math Open Reference Circle
• Stránka Math Open Reference na kruhových obloucích S interaktivní animací
• Stránka Math Open Reference na poloměru kruhového oblouku nebo segmentu S interaktivní animací
• Weisstein, Eric W. "Oblouk". MathWorld.