Věta o střední hodnotě (dělené rozdíly) - Mean value theorem (divided differences) - Wikipedia

v matematická analýza, věta o střední hodnotě pro dělené rozdíly zobecňuje věta o střední hodnotě k vyšším derivátům.^[1]

Výrok věty

Pro všechny n + 1 párově odlišné body X₀, ..., X_n v doméně n- časově rozlišitelná funkce F existuje vnitřní bod

${ displaystyle xi in ( min {x_ {0}, tečky, x_ {n} }, max {x_ {0}, tečky, x_ {n} }) ,}$

Kde nth derivát F rovná se n ! krát nth dělený rozdíl v těchto bodech:

${ displaystyle f [x_ {0}, dots, x_ {n}] = { frac {f ^ {(n)} ( xi)} {n!}}.}$

Pro n = 1, to jsou dva funkční body, jeden získá jednoduchý věta o střední hodnotě.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle P}$ být Lagrangeův interpolační polynom pro F na X₀, ..., X_nPak to vyplývá z Newtonova forma z ${ displaystyle P}$ že nejvyšší termín z ${ displaystyle P}$ je ${ displaystyle f [x_ {0}, dots, x_ {n}] (x-x_ {n-1}) dots (x-x_ {1}) (x-x_ {0})}$.

Nechat ${ displaystyle g}$ být zbytek interpolace, definovaný ${ displaystyle g = f-P}$. Pak ${ displaystyle g}$ má ${ displaystyle n + 1}$ nuly: X₀, ..., X_n.Aplikováním Rolleova věta první ${ displaystyle g}$, pak na ${ displaystyle g '}$, a tak dále, dokud ${ displaystyle g ^ {(n-1)}}$, zjistíme, že ${ displaystyle g ^ {(n)}}$ má nulu ${ displaystyle xi}$. Tohle znamená tamto

${ displaystyle 0 = g ^ {(n)} ( xi) = f ^ {(n)} ( xi) -f [x_ {0}, tečky, x_ {n}] n!}$,

${ displaystyle f [x_ {0}, dots, x_ {n}] = { frac {f ^ {(n)} ( xi)} {n!}}.}$

Aplikace

Věta může být použita k zobecnění Stolarsky průměr na více než dvě proměnné.

Reference