Stochastické objednávání - Stochastic ordering
v teorie pravděpodobnosti a statistika, a stochastický řád kvantifikuje koncept jednoho náhodná proměnná být „větší“ než jiný. To jsou obvykle dílčí objednávky, takže jedna náhodná proměnná nemusí být ani stochasticky větší než, menší než ani rovný jiné náhodné proměnné . Existuje mnoho různých objednávek, které mají různé aplikace.
Obvyklý stochastický řád
Skutečná náhodná proměnná je menší než náhodná proměnná v „obvyklém stochastickém pořadí“, pokud
kde označuje pravděpodobnost události, která se někdy označuje nebo . Pokud navíc pro některé , pak je stochasticky přísně menší než , někdy označován . v teorie rozhodování, za těchto okolností B se říká, že je stochasticky dominantní prvního řádu přes A.
Charakterizace
Následující pravidla popisují případy, kdy je jedna náhodná proměnná stochasticky menší nebo rovna jiné. Existuje také přísná verze některých z těchto pravidel.
- právě když pro všechny neklesající funkce , .
- Li je neklesající a pak
- Li je rostoucí funkce[je zapotřebí objasnění ] a a jsou nezávislé sady náhodných proměnných s pro každého , pak a zejména Navíc th statistika objednávek uspokojit .
- Pokud dvě sekvence náhodných proměnných a , s pro všechny každý konvergovat v distribuci, pak jejich limity splňují .
- Li , a jsou náhodné proměnné takové, že a pro všechny a takhle , pak .
Další vlastnosti
Li a pak (náhodné proměnné mají stejné rozdělení).
Stochastická dominance
Stochastická dominance[1] je stochastické uspořádání používané v teorie rozhodování. Je definováno několik „řádů“ stochastické dominance.
- Stochastická dominance nulového řádu spočívá v jednoduché nerovnosti: -li pro všechny přírodní stavy.
- Stochastická dominance prvního řádu je ekvivalentní obvyklému stochastickému řádu výše.
- Stochastická dominance vyššího řádu je definována jako integrály distribuční funkce.
- Stochastická dominance nižšího řádu znamená stochastickou dominanci vyššího řádu.
Mnohorozměrný stochastický řád
An -hodná náhodná proměnná je menší než -hodná náhodná proměnná v „obvyklém stochastickém pořadí“, pokud
Existují i jiné typy vícerozměrných stochastických řádů. Například horní a dolní orthantský řád, které jsou podobné obvyklému jednorozměrnému stochastickému řádu. se říká, že je menší než v horním orthant pořadí, pokud
a je menší než v nižším pořadí, pokud
Všechny tři typy objednávek mají také integrální reprezentace, což je pro konkrétní objednávku je menší než kdyby a jen kdyby pro všechny ve třídě funkcí .[2] se pak nazývá generátor příslušného řádu.
Další stochastické objednávky
Pořadí nebezpečnosti
The míra rizika nezáporné náhodné proměnné s absolutně spojitou distribuční funkcí a funkce hustoty je definován jako
Vzhledem ke dvěma nezáporným proměnným a s absolutně kontinuální distribucí a , a s funkcemi míry rizika a , respektive se říká, že je menší než v pořadí míry nebezpečnosti (označeno jako ) pokud
- pro všechny ,
nebo ekvivalentně, pokud
- klesá v .
Pořadí poměru pravděpodobnosti
Nechat a dvě spojité (nebo diskrétní) náhodné proměnné s hustotami (nebo diskrétními hustotami) a , respektive tak zvyšuje v přes spojení podpůr a ; v tomto případě, je menší než v pořadí poměru pravděpodobnosti ().
Průměrná zbytková životnost
Objednávky variability
Pokud mají dvě proměnné stejný průměr, lze je stále porovnávat podle toho, jak jsou „rozložena“ jejich rozdělení. To je v omezené míře zachyceno rozptyl, ale plněji řadou stochastických objednávek.[Citace je zapotřebí ]
Konvexní objednávka
Konvexní objednávka je speciální druh objednávky variability. Podle konvexního uspořádání je méně než jen a jen pro všechny konvexní , .
Pořadí Laplaceovy transformace
Pořadí Laplaceovy transformace porovnává jak velikost, tak variabilitu dvou náhodných proměnných. Podobně jako u konvexního řádu je pořadí Laplaceovy transformace stanoveno porovnáním očekávání funkce náhodné proměnné, kde je funkce ze speciální třídy: . Díky tomu je pořadí Laplaceovy transformace integrálním stochastickým řádem se sadou generátorů danou výše definovanou sadou funkcí kladné reálné číslo.
Realizovatelná monotónnost
Vzhledem k rodině rozdělení pravděpodobnosti na částečně objednaném prostoru indexováno pomocí (kde je další částečně uspořádaný prostor, lze definovat koncept úplné nebo realizovatelné monotónnosti. To znamená, že existuje skupina náhodných proměnných na stejném pravděpodobnostním prostoru, takže rozdělení je a téměř jistě kdykoli . Znamená to existenci monotónního spojka. Vidět[3]
Viz také
- Stochastická dominance
- Stochastický - význam pojmu
Reference
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- M. Shaked a J. G. Shanthikumar, Stochastické objednávky a jejich aplikaceAssociated Press, 1994.
- E. L. Lehmann. Objednané rodiny distribucí. Annals of Mathematical Statistics, 26:399–419, 1955.
- ^ https://www.mcgill.ca/files/economics/stochasticdominance.pdf
- ^ Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Srovnávací metody pro stochastické modely a rizika. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1, S. 2.
- ^ Stochastická monotónnost a realizovatelná monotónnost James Allen Fill a Motoya Machida, The Annals of Probability, sv. 29, č. 2 (duben, 2001), s. 938-978, publikoval: Ústav matematické statistiky, stabilní URL: https://www.jstor.org/stable/2691998