Princip závodní dráhy - Racetrack principle - Wikipedia

v počet, princip závodní dráhy popisuje pohyb a růst dvou funkcí z hlediska jejich deriváty.

Tento princip je odvozen ze skutečnosti, že pokud kůň jménem Frank Fleetfeet běží vždy rychleji než kůň jménem Greg Gooseleg, pak pokud Frank a Greg zahájí závod ze stejného místa a ve stejnou dobu, pak Frank zvítězí. Stručně řečeno, kůň, který rychle začíná a rychle zůstává, vyhrává.

V symbolech:

-li ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> 0}$, a pokud ${ displaystyle f (0) = g (0)}$, pak ${ displaystyle f (x)> g (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> 0}$.

nebo nahrazením ≥ za> produkuje větu

-li ${ displaystyle f '(x) geq g' (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> 0}$, a pokud ${ displaystyle f (0) = g (0)}$, pak ${ displaystyle f (x) geq g (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x geq 0}$.

což lze dokázat podobným způsobem

Důkaz

Tento princip lze dokázat uvažováním funkce h (x) = f (x) - g (x). Pokud bychom měli vzít derivaci, všimli bychom si, že pro x> 0

${ displaystyle h '= f'-g'> 0.}$

Všimněte si také, že h (0) = 0. Kombinací těchto pozorování můžeme použít věta o střední hodnotě na intervalu [0, x] a dostat

${ displaystyle h '(x_ {0}) = { frac {h (x) -h (0)} {x-0}} = { frac {f (x) -g (x)} {x} }> 0.}$

Podle předpokladu ${ displaystyle x> 0}$, takže obě strany vynásobte ${ displaystyle x}$ dává f (x) - g (x)> 0. To znamená f (x)> g (x).

Zobecnění

Prohlášení o principu závodní dráhy lze mírně zobecnit následovně;

-li ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> a}$, a pokud ${ displaystyle f (a) = g (a)}$, pak ${ displaystyle f (x)> g (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> a}$.

jak je uvedeno výše, nahrazení ≥ za> produkuje větu

-li ${ displaystyle f '(x) geq g' (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> a}$, a pokud ${ displaystyle f (a) = g (a)}$, pak ${ displaystyle f (x) geq g (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> a}$.

Důkaz

Toto zobecnění lze prokázat z principu závodní dráhy následovně:

Zvažte funkce ${ displaystyle f_ {2} (x) = f (x-a)}$ a ${ displaystyle g_ {2} (x) = g (x-a)}$Vzhledem k tomu ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> a}$, a ${ displaystyle f (a) = g (a)}$,

${ displaystyle f_ {2} '(x)> g_ {2}' (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> 0}$, a ${ displaystyle f_ {2} (0) = g_ {2} (0)}$, což podle důkazu výše uvedeného principu závodní dráhy znamená ${ displaystyle f_ {2} (x)> g_ {2} (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> 0}$ tak ${ displaystyle f (x)> g (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x> a}$.

aplikace

Na prokázání a lemma je nutné ukázat, že exponenciální funkce roste rychleji než jakákoli funkce napájení. Požadované lemma je to

${ displaystyle e ^ {x}> x}$

pro všechna reálná x. To je zřejmé pro x <0, ale pro x> 0 je vyžadován princip závodního okruhu. Abychom zjistili, jak se používá, vezmeme v úvahu funkce

${ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$

a

${ displaystyle g (x) = x + 1.}$

Všimněte si, že f (0) = g (0) a to

${ displaystyle e ^ {x}> 1}$

protože exponenciální funkce se vždy zvyšuje (monotóní ) tak ${ displaystyle f '(x)> g' (x)}$. Tedy principem závodní dráhy f (x)> g (x). Tím pádem,

${ displaystyle e ^ {x}> x + 1> x}$

pro všechna x> 0.

Reference

• Deborah Hughes-Hallet a kol., Počet.