Funkce hmotnosti - Weight function

A váhová funkce je matematické zařízení používané při provádění součtu, integrálu nebo průměru, aby některé prvky získaly větší váhu nebo vliv na výsledek než jiné prvky ve stejné sadě. Výsledkem této aplikace váhové funkce je a vážený součet nebo vážený průměr. Funkce hmotnosti se často vyskytují v statistika a analýza, a úzce souvisí s konceptem a opatření. Funkce hmotnosti lze použít v diskrétním i kontinuálním nastavení. Mohou být použity ke konstrukci systémů počtu nazývaných „vážený počet“^[1] a „meta-kalkul“.^[2]

Diskrétní váhy

Obecná definice

V diskrétním nastavení funkce hmotnosti ${ displaystyle scriptstyle w dvojtečka A až { mathbb {R}} ^ {+}}$ je pozitivní funkce definovaná na a oddělený soubor ${ displaystyle A}$, což je obvykle konečný nebo počitatelný. Funkce hmotnosti ${ displaystyle w (a): = 1}$ odpovídá nevážený situace, ve které mají všechny prvky stejnou váhu. Tuto váhu lze potom aplikovat na různé koncepty.

Pokud je funkce ${ displaystyle scriptstyle f tračník A až { mathbb {R}}}$ je nemovitý -hodnota funkce, pak nevážený součet z ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle A}$ je definován jako

${ displaystyle sum _ {a v A} f (a);}$

ale vzhledem k váhová funkce ${ displaystyle scriptstyle w dvojtečka A až { mathbb {R}} ^ {+}}$, vážený součet nebo kónická kombinace je definován jako

${ displaystyle sum _ {a v A} f (a) w (a).}$

Jedna běžná aplikace vážených částek vzniká v numerická integrace.

Li B je konečný podmnožina A, jeden může nahradit nevážený mohutnost | B | z B podle vážená mohutnost

${ displaystyle sum _ {a v B} w (a).}$

Li A je konečný neprázdná sada, lze nahradit neváženou znamenat nebo průměrný

${ displaystyle { frac {1} {| A |}} součet _ {a v A} f (a)}$

podle Vážený průměr nebo vážený průměr

${ displaystyle { frac { součet _ {a v A} f (a) w (a)} { součet _ {a v A} w (a)}}.}$

V tomto případě pouze relativní váhy jsou relevantní.

Statistika

Vážené prostředky se běžně používají v statistika kompenzovat přítomnost zaujatost. Pro množství ${ displaystyle f}$ měřeno několik nezávislých časů ${ displaystyle f_ {i}}$ s rozptyl ${ displaystyle scriptstyle sigma _ {i} ^ {2}}$, nejlepší odhad signálu se získá zprůměrováním všech měření s hmotností ${ displaystyle scriptstyle w_ {i} = { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}}$a výsledná odchylka je menší než každé z nezávislých měření ${ displaystyle scriptstyle sigma ^ {2} = 1 / součet w_ {i}}$. The maximální pravděpodobnost metoda váží rozdíl mezi fit a daty pomocí stejných vah ${ displaystyle w_ {i}}$.

The očekávaná hodnota náhodné proměnné je vážený průměr možných hodnot, které může nabývat, přičemž váhy jsou příslušné pravděpodobnosti. Obecněji je očekávaná hodnota funkce náhodné proměnné pravděpodobnostně vážený průměr hodnot, které funkce přebírá pro každou možnou hodnotu náhodné proměnné.

v regrese ve kterém závislá proměnná Předpokládá se, že je ovlivněna aktuálními i zpožděnými (minulými) hodnotami nezávislé proměnné, a distribuované zpoždění funkce se odhaduje, přičemž tato funkce je váženým průměrem aktuálních a různých zpožděných nezávislých hodnot proměnných. Podobně, a model s klouzavým průměrem určuje vyvíjející se proměnnou jako vážený průměr aktuální a různé zpožděné hodnoty náhodné proměnné.

Mechanika

Terminologie váhová funkce vzniká z mechanika: pokud má někdo sbírku ${ displaystyle n}$ objekty na a páka, s váhami ${ displaystyle scriptstyle w_ {1}, ldots, w_ {n}}$ (kde hmotnost je nyní interpretován ve fyzickém smyslu) a umístění:${ displaystyle scriptstyle { boldsymbol {x}} _ {1}, dotsc, { boldsymbol {x}} _ {n}}$, pak bude páka v rovnováze, pokud opěra páky je na těžiště

${ displaystyle { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} { boldsymbol {x}} _ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i}}},}$

což je také vážený průměr pozic ${ displaystyle scriptstyle { boldsymbol {x}} _ {i}}$.

Kontinuální závaží

V nepřetržitém nastavení je váha kladná opatření jako ${ displaystyle w (x) , dx}$ na některých doména ${ displaystyle Omega}$, což je obvykle a podmnožina a Euklidovský prostor ${ displaystyle scriptstyle { mathbb {R}} ^ {n}}$, například ${ displaystyle Omega}$ může být interval ${ displaystyle [a, b]}$. Tady ${ displaystyle dx}$ je Lebesgueovo opatření a ${ displaystyle scriptstyle w colon Omega to mathbb {R} ^ {+}}$ je nezáporný měřitelný funkce. V této souvislosti váhová funkce ${ displaystyle w (x)}$ se někdy označuje jako a hustota.

Obecná definice

Li ${ displaystyle f colon Omega to { mathbb {R}}}$ je nemovitý -hodnota funkce, pak nevážený integrální

${ displaystyle int _ { Omega} f (x) dx}$

lze zobecnit na vážený integrál

${ displaystyle int _ { Omega} f (x) w (x) , dx}$

Všimněte si, že jeden může vyžadovat ${ displaystyle f}$ být naprosto integrovatelný s ohledem na hmotnost ${ displaystyle w (x) , dx}$ aby tento integrál byl konečný.

Vážený objem

Li E je podmnožinou ${ displaystyle Omega}$, pak objem objem (E) z E lze zobecnit na vážený objem

${ displaystyle int _ {E} w (x) dx,}$

Vážený průměr

Li ${ displaystyle Omega}$ má konečný nenulový vážený objem, pak můžeme nahradit nevážený průměrný

${ displaystyle { frac {1} { mathrm {vol} ( Omega)}} int _ { Omega} f (x) dx}$

podle vážený průměr

${ displaystyle { frac { int _ { Omega} f (x) w (x) dx} { int _ { Omega} w (x) dx}}}$

Bilineární forma

Li ${ displaystyle f colon Omega to { mathbb {R}}}$ a ${ displaystyle g colon Omega to { mathbb {R}}}$ jsou dvě funkce, jedna může zobecnit nevážené bilineární forma

${ displaystyle langle f, g rangle: = int _ { Omega} f (x) g (x) dx}$

do vážené bilineární formy

${ displaystyle langle f, g rangle: = int _ { Omega} f (x) g (x) w (x) dx.}$

Viz záznam na ortogonální polynomy pro příklady váženého ortogonální funkce.

Viz také

• Centrum hmoty
• Numerická integrace
• Ortogonalita
• Vážený průměr
• Jádro (statistika)
• Opatření (matematika)
• Riemann – Stieltjesův integrál

Reference