Pravidlo produktu - Product rule

Geometrické znázornění dokladu o pravidle produktu

v počet, produktové pravidlo je vzorec používaný k nalezení deriváty produktů dvou nebo více funkce. Může být uvedeno jako

${ displaystyle (f cdot g) '= f' cdot g + f cdot g '}$

nebo v Leibnizova notace

${ displaystyle { dfrac {d} {dx}} (u cdot v) = { dfrac {du} {dx}} cdot v + u cdot { dfrac {dv} {dx}}.}$

Pravidlo lze rozšířit nebo zobecnit na mnoho dalších situací, včetně produktů s více funkcemi, pravidla pro deriváty produktu vyššího řádu a do jiných kontextů.

Objev

Objev tohoto pravidla je připsán na Gottfried Leibniz, který to demonstroval pomocí diferenciály.^[1] (Nicméně J. M. Child, překladatel Leibnizových článků,^[2] tvrdí, že je to kvůli Isaac Barrow.) Zde je Leibnizův argument: Let u(X) a proti(X) být dva diferencovatelné funkce z X. Pak rozdíl uv je

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d (u cdot v) & {} = (u + du) cdot (v + dv) -u cdot v & {} = u cdot dv + v cdot du + du cdot dv. end {zarovnáno}}}$

Od termínu du·dv je "zanedbatelné" (ve srovnání s du a dv), Dospěl Leibniz k závěru, že

${ displaystyle d (u cdot v) = v cdot du + u cdot dv}$

a toto je skutečně diferenciální forma pravidla produktu. Dělíme-li diferenciem dx, získáváme

${ displaystyle { frac {d} {dx}} (u cdot v) = v cdot { frac {du} {dx}} + u cdot { frac {dv} {dx}}}$

do kterého lze také napsat Lagrangeova notace tak jako

${ displaystyle (u cdot v) '= v cdot u' + u cdot v '.}$

Příklady

• Předpokládejme, že chceme rozlišovat F(X) = X² hřích(X). Použitím pravidla produktu získá derivát F′(X) = 2X hřích(X) + X² cos (X) (od derivátu X² je 2X a derivát sinus funkce je kosinová funkce).
• Jedním zvláštním případem pravidla produktu je konstantní vícenásobné pravidlo, kde se uvádí: pokud C je číslo a F(X) je tedy rozlišitelná funkce srov(X) je také diferencovatelný a jeho derivát je (srov)′(X) = C F′(X). To vyplývá z pravidla produktu, protože derivace jakékoli konstanty je nula. To v kombinaci s pravidlem součtu pro deriváty ukazuje, že diferenciace je lineární.
• Pravidlo pro integrace po částech je odvozeno z pravidla produktu, stejně jako (slabá verze) pravidlo kvocientu. (Jedná se o „slabou“ verzi v tom, že neprokazuje, že kvocient je diferencovatelný, ale pouze říká, jaký je jeho derivát. -li je rozlišitelný.)

Důkazy

Důkaz factoringem (od prvních principů)

Nechat h(X) = F(X)G(X) a předpokládejme to F a G jsou každý rozlišitelný na X. Chceme to dokázat h je diferencovatelný v X a že jeho derivát, h′(X), darováno F′(X)G(X) + F(X)G′(X). Udělat toto, ${ displaystyle f (x) g (x + delta x) -f (x) g (x + delta x)}$ (což je nula, a tedy nemění hodnotu) se přidá do čitatele, aby umožnil jeho factoring, a poté se použijí vlastnosti limitů.

${ displaystyle { begin {aligned} h '(x) & = lim _ { Delta x až 0} { frac {h (x + Delta x) -h (x)} { Delta x}} [5pt] & = lim _ { Delta x až 0} { frac {f (x + Delta x) g (x + Delta x) -f (x) g (x)} { Delta x }} [5pt] & = lim _ { Delta x až 0} { frac {f (x + Delta x) g (x + Delta x) -f (x) g (x + Delta x) + f (x) g (x + Delta x) -f (x) g (x)} { Delta x}} [5pt] & = lim _ { Delta x až 0} { frac { { big [} f (x + Delta x) -f (x) { big]} cdot g (x + Delta x) + f (x) cdot { big [} g (x + Delta x) -g (x) { big]}} { Delta x}} [5 bodů] & = lim _ { Delta x až 0} { frac {f (x + Delta x) -f (x )} { Delta x}} cdot underbrace { lim _ { Delta x až 0} g (x + Delta x)} _ { text {Viz poznámku níže.}} + Lim _ { Delta x to 0} f (x) cdot lim _ { Delta x to 0} { frac {g (x + Delta x) -g (x)} { Delta x}} [5 bodů ] & = f '(x) g (x) + f (x) g' (x). end {zarovnáno}}}$

Skutečnost, že

${ displaystyle lim _ { Delta x až 0} g (x + Delta x) = g (x)}$

je odvozeno z věty, která uvádí, že diferencovatelné funkce jsou spojité.

Krátký důkaz

Podle definice, pokud ${ displaystyle f, g: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ jsou diferencovatelné na ${ displaystyle x}$ pak můžeme psát

${ Displaystyle f (x + h) = f (x) + f '(x) h + psi _ {1} (h) qquad qquad g (x + h) = g (x) + g' (x ) h + psi _ {2} (h)}$

takhle ${ displaystyle lim _ {h až 0} { frac { psi _ {1} (h)} {h}} = lim _ {h až 0} { frac { psi _ {2} (h)} {h}} = 0,}$ také psaný ${ displaystyle psi _ {1}, psi _ {2} sim o (h)}$. Pak:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} fg (x + h) -fg (x) & = (f (x) + f '(x) h + psi _ {1} (h)) (g (x) + g '(x) h + psi _ {2} (h)) - fg (x) & = f (x) g (x) + f' (x) g (x) h + f (x) g '(x) h-fg (x) + { text {další termíny}} & = f' (x) g (x) h + f (x) g '(x) h + o (h) [12pt] end {zarovnáno}}}$

„Ostatní termíny“ se skládají z položek, jako jsou ${ displaystyle f (x) psi _ {2} (h), f '(x) g' (x) h ^ {2}}$ a ${ displaystyle hf '(x) psi _ {1} (h).}$ Není těžké ukázat, že jsou všechny ${ displaystyle o (h).}$ Dělení ${ displaystyle h}$ a vezmeme limit pro malé ${ displaystyle h}$ dává výsledek.

Čtvrtletní čtverce

Existuje použití důkazu násobení čtvrtiny čtverce který se opírá o řetězové pravidlo a na vlastnostech funkce čtvercového čtverce (zde zobrazeno jako q, tj. s ${ displaystyle q (x) = { tfrac {x ^ {2}} {4}}}$):

${ displaystyle f = q (u + v) -q (u-v),}$

Rozlišování obou stran:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f '& = q' (u + v) (u '+ v') - q '(uv) (u'-v') [4pt] & = left ( {1 over 2} (u + v) (u '+ v') right) - left ({1 over 2} (uv) (u'-v ') right) [4pt] & = {1 over 2} (uu '+ vu' + uv '+ vv') - {1 over 2} (uu'-vu'-uv '+ vv') [4pt] & = vu '+ uv ' [4pt] & = uv' + u'v end {zarovnáno}}}$

Řetězové pravidlo

Pravidlo produktu lze považovat za zvláštní případ řetězové pravidlo pro několik proměnných.

${ displaystyle {d (ab) nad dx} = { frac { částečné (ab)} { částečné a}} { frac {da} {dx}} + { frac { částečné (ab)} { partial b}} { frac {db} {dx}} = b { frac {da} {dx}} + a { frac {db} {dx}}.}$

Nestandardní analýza

Nechat u a proti být spojité funkce v Xa nechte dx, du a dv být nekonečně malá čísla v rámci nestandardní analýza, konkrétně hyperrealistická čísla. Pomocí st k označení standardní funkce dílu který se přidruží k a konečný hyperrealistické číslo, které je nekonečně blízko, to dává

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d (uv)} {dx}} & = operatorname {st} left ({ frac {(u + du) (v + dv) -uv} { dx}} right) [4pt] & = operatorname {st} left ({ frac {uv + u cdot dv + v cdot du + dv cdot du-uv} {dx}} right ) [4pt] & = operatorname {st} left ({ frac {u cdot dv + (v + dv) cdot du} {dx}} right) [4pt] & = u { frac {dv} {dx}} + v { frac {du} {dx}}. end {zarovnáno}}}$

To bylo v zásadě Leibniz je důkaz o zneužívání transcendentální zákon homogenity (místo standardní části výše).

Hladká nekonečně malá analýza

V kontextu přístupu Lawvere k nekonečně malým číslům, pojďme dx být nilsquare nekonečně malý. Pak du = u′ dx a dv = proti ′ dx, aby

${ displaystyle { begin {zarovnáno} d (uv) & = (u + du) (v + dv) -uv & = uv + u cdot dv + v cdot du + du cdot dv-uv & = u cdot dv + v cdot du + du cdot dv & = u cdot dv + v cdot du , ! end {zarovnáno}}}$

od té doby

${ displaystyle du , dv = u'v '(dx) ^ {2} = 0.}$

Zobecnění

Produkt více než dvou faktorů

Pravidlo produktu lze zobecnit na produkty více než dvou faktorů. Například máme tři faktory

${ displaystyle { frac {d (uvw)} {dx}} = { frac {du} {dx}} vw + u { frac {dv} {dx}} w + uv { frac {dw} { dx}}.}$

Pro kolekci funkcí ${ displaystyle f_ {1}, tečky, f_ {k}}$, my máme

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo [ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) vpravo] = součet _ {i = 1} ^ {k } left ( left ({ frac {d} {dx}} f_ {i} (x) right) prod _ {j neq i} f_ {j} (x) right) = left ( prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) right) left ( sum _ {i = 1} ^ {k} { frac {f '_ {i} (x) } {f_ {i} (x)}} vpravo).}$

Vyšší deriváty

Lze jej také zobecnit na obecné Leibnizovo pravidlo pro nth derivát produktu ze dvou faktorů, symbolickým rozšířením podle binomická věta:

${ displaystyle d ^ {n} (uv) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} cdot d ^ {(nk)} (u) cdot d ^ {(k) }(proti).}$

Aplikováno v konkrétním bodě X, výše uvedený vzorec dává:

${ displaystyle (uv) ^ {(n)} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} cdot u ^ {(nk)} (x) cdot v ^ {(k)} (x).}$

Dále pro nth derivace libovolného počtu faktorů:

${ displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} right) ^ {(n)} = sum _ {j_ {1} + j_ {2} + cdots + j_ {k} = n} {n vyberte j_ {1}, j_ {2}, ldots, j_ {k}} prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} ^ {(j_ {i })}.}$

Vyšší parciální derivace

Pro částečné derivace, my máme^[3]

${ displaystyle { částečné ^ {n} nad částečné x_ {1} , cdots , částečné x_ {n}} (uv) = součet _ {S} { částečné ^ {| S |} u over prod _ {i in S} částečné x_ {i}} cdot { částečné ^ {n- | S |} v over prod _ {i ne v S} částečné x_ { já}}}$

kde index S prochází všemi 2ⁿ podmnožiny z {1, ..., n}, a |S| je mohutnost z S. Například když n = 3,

${ displaystyle { begin {aligned} & { částečné ^ {3} nad částečné x_ {1} , částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} (uv) [6pt] = {} & u cdot { částečné ^ {3} v nad částečné x_ {1} , částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} + { částečné u nad částečné x_ { 1}} cdot { částečné ^ {2} v nad částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} + { částečné u nad částečné x_ {2}} cdot { částečné ^ {2} v přes částečné x_ {1} , částečné x_ {3}} + { částečné u nad částečné x_ {3}} cdot { částečné ^ {2} v přes částečné x_ {1} , částečné x_ {2}} [6 bodů] & + { částečné ^ {2} u nad částečné x_ {1} , částečné x_ {2}} cdot { částečné v přes částečné x_ {3}} + { částečné ^ {2} u přes částečné x_ {1} , částečné x_ {3}} cdot { částečné v přes částečné x_ {2}} + { částečné ^ {2} u nad částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} cdot { částečné v nad částečné x_ {1}} + { částečné ^ {3} u přes částečné x_ {1} , částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} cdot v. end {zarovnáno}}}$

Banachův prostor

Předpokládat X, Y, a Z jsou Banachovy prostory (který zahrnuje Euklidovský prostor ) a B : X × Y → Z je kontinuální bilineární operátor. Pak B je diferencovatelný a jeho derivace v bodě (X,y) v X × Y je lineární mapa D_(X,y)B : X × Y → Z dána

${ displaystyle (D _ { doleva (x, y pravá)} , B) levá (u, v pravá) = B levá (u, y pravá) + B levá (x, v pravá ) qquad forall (u, v) v X krát Y.}$

Derivace v abstraktní algebře

v abstraktní algebra, pravidlo produktu je zvyklé definovat co se nazývá a derivace, ne naopak.

Ve vektorovém počtu

Pravidlo produktu se rozšiřuje na skalární násobení, tečkované výrobky, a křížové výrobky vektorových funkcí.^[4]

Pro skalární násobení:${ displaystyle (f cdot mathbf {g}) '= f' cdot mathbf {g} + f cdot mathbf {g} '}$

Pro dot produkty:${ displaystyle ( mathbf {f} cdot mathbf {g}) '= mathbf {f}' cdot mathbf {g} + mathbf {f} cdot mathbf {g} '}$

U křížových produktů:${ displaystyle ( mathbf {f} times mathbf {g}) '= mathbf {f}' times mathbf {g} + mathbf {f} times mathbf {g} '}$

Existují také analogy pro jiné analogy derivátu: pokud F a G jsou skalární pole, pak existuje pravidlo produktu s spád:

$${ displaystyle nabla (f cdot g) = nabla f cdot g + f cdot nabla g}$$

Aplikace

Mezi použití pravidla produktu je důkaz, že

${ displaystyle {d over dx} x ^ {n} = nx ^ {n-1}}$

když n je kladné celé číslo (toto pravidlo platí, i když n není kladné nebo není celé číslo, ale jeho důkaz se musí spoléhat na jiné metody). Důkaz je matematická indukce na exponentu n. Li n = 0 tedy Xⁿ je konstantní a nx^n − 1 = 0. Pravidlo v takovém případě platí, protože derivace konstantní funkce je 0. Pokud pravidlo platí pro libovolného konkrétního exponenta n, pak pro další hodnotu, n + 1, máme

${ displaystyle { begin {aligned} {d over dx} x ^ {n + 1} & {} = {d over dx} left (x ^ {n} cdot x right) [12 bodů ] & {} = x {d over dx} x ^ {n} + x ^ {n} {d over dx} x qquad { mbox {(zde se používá pravidlo produktu)}} [12 bodů ] & {} = x left (nx ^ {n-1} right) + x ^ {n} cdot 1 qquad { mbox {(zde je použita indukční hypotéza)}} [12pt] & {} = (n + 1) x ^ {n}. end {zarovnáno}}}$

Pokud tedy platí tvrzení pro n, platí to také pron + 1, a proto pro všechny přirozené n.

Reference