Skutečný souřadnicový prostor - Real coordinate space

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Skutečný souřadnicový prostor"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (duben 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Kartézská struktura produktu R² na Kartézské letadlo z objednané páry (X, y). Modré čáry označují souřadnicové osy, vodorovné zelené čáry jsou celé číslo y, vertikální azurové čáry jsou celé číslo X, ukazují se hnědo-oranžové čáry napůl celé číslo X nebo y, purpurová a její odstín ukazují násobky jedna desetina (nejlépe vidět pod zvětšením)

v matematika, a skutečný souřadnicový prostor z dimenze n, psaný Rⁿ (/.rˈɛn/ ar-EN ) nebo ℝⁿ, je souřadnicový prostor přes reálná čísla. To znamená, že se jedná o množinu n- n-tice reálných čísel (sekvence n reálná čísla). S komponentním sčítáním a skalárním násobením je to skutečný vektorový prostor.

Typicky Kartézské souřadnice prvků a Euklidovský prostor tvoří skutečný souřadnicový prostor. To vysvětluje název souřadnicový prostor a skutečnost, že geometrický termíny se často používají při práci s souřadnicovými prostory. Například, R² je letadlo.

Souřadnicové prostory jsou široce používány v geometrie a fyzika, protože jejich prvky umožňují lokalizovat body v euklidovských prostorech a počítat s nimi.

Definice a struktury

Pro všechny přirozené číslo n, soubor Rⁿ skládá se ze všeho n-n-tice z reálná čísla (R). Říká se tomu „n-dimenzionální skutečný prostor "nebo" skutečný n-prostor".

Prvek Rⁿ je tedy a n-tuple a je napsán

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$

kde každý X_i je skutečné číslo. Takže dovnitř počet proměnných, doména a funkce několika reálných proměnných a codomain skutečné vektorová hodnotná funkce jsou podmnožiny z Rⁿ pro některé n.

Skutečný n-space má několik dalších vlastností, zejména:

• S po částech sčítání a skalární násobení, to je skutečný vektorový prostor. Každý n-dimenzionální skutečný vektorový prostor je izomorfní k tomu.
• S Tečkovaný produkt (součet termínu součinem produktu komponent), jedná se o vnitřní produktový prostor. Každý n-dimenzionální skutečný vnitřní produktový prostor je pro něj izomorfní.
• Jako každý vnitřní produktový prostor je to a topologický prostor a topologický vektorový prostor.
• Je to Euklidovský prostor a skutečný afinní prostor a každý euklidovský nebo afinní prostor je s ním izomorfní.
• Je to analytické potrubí, a lze jej považovat za prototyp všech rozdělovače, protože, podle definice, potrubí je poblíž každého bodu izomorfní s otevřená podmnožina z Rⁿ.
• Je to algebraická rozmanitost a všechny skutečná algebraická rozmanitost je podmnožinou Rⁿ.

Tyto vlastnosti a struktury Rⁿ učinit z něj zásadní téměř ve všech oblastech matematiky a jejich aplikačních domén, jako je statistika, teorie pravděpodobnosti a mnoho částí fyzika.

Doména funkce několika proměnných

Libovolná funkce F(X₁, X₂, … , X_n) z n skutečné proměnné lze považovat za funkci na Rⁿ (tj. s Rⁿ jako jeho doména ). Využití skutečného n-prostor, místo několika proměnných uvažovaných samostatně, může zjednodušit notaci a navrhnout rozumné definice. Zvažte, protože n = 2, a složení funkce v následujícím tvaru:

${ displaystyle F (t) = f (g_ {1} (t), g_ {2} (t)),}$

kde funkce G₁ a G₂ jsou kontinuální. Li

∀X₁ ∈ R : F(X₁, ·) je spojitý (o X₂)

∀X₂ ∈ R : F(·, X₂) je spojitý (o X₁)

pak F nemusí být nutně kontinuální. Kontinuita je silnější podmínka: kontinuita F v přirozeném R² topologie (diskutováno níže ), také zvaný spojitost více proměnných, což je dostatečné pro kontinuitu skladby F.

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (duben 2013)

Vektorový prostor

Souřadnicový prostor Rⁿ tvoří n-dimenzionální vektorový prostor přes pole reálných čísel s přidáním struktury linearita, a je často stále označován Rⁿ. Operace na Rⁿ jako vektorový prostor jsou obvykle definovány

${ displaystyle mathbf {x} + mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, ldots, x_ {n} + y_ {n})}$

${ displaystyle alpha mathbf {x} = ( alpha x_ {1}, alpha x_ {2}, ldots, alpha x_ {n}).}$

The nulový vektor je dána

${ displaystyle mathbf {0} = (0,0, ldots, 0)}$

a aditivní inverzní vektoru X je dána

${ displaystyle - mathbf {x} = (- x_ {1}, - x_ {2}, ldots, -x_ {n}).}$

Tato struktura je důležitá, protože každá n-dimenzionální skutečný vektorový prostor je izomorfní s vektorovým prostorem Rⁿ.

Maticová notace

Standardně matice notace, každý prvek Rⁿ se obvykle píše jako vektor sloupce

${ displaystyle mathbf {x} = { začátek {bmatrix} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {bmatrix}}}$

a někdy jako řádek vektor:

${ displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} end {bmatrix}}.}$

Souřadnicový prostor Rⁿ pak lze interpretovat jako prostor všech n × 1 vektory sloupců nebo vše 1 × n řádkové vektory s běžnými maticovými operacemi sčítání a skalární násobení.

Lineární transformace z Rⁿ na R^m pak lze zapsat jako m × n matice, které působí na prvky Rⁿ přes vlevo, odjet násobení (když prvky Rⁿ jsou sloupcové vektory) a na prvky R^m pomocí pravého násobení (pokud jsou řádkovými vektory). Vzorec pro násobení vlevo, speciální případ násobení matic, je:

${ displaystyle (A { mathbf {x}}) _ {k} = součet limity _ {l = 1} ^ {n} A_ {kl} x_ {l}}$

Jakákoli lineární transformace je a spojitá funkce (vidět níže ). Matice také definuje otevřít mapu z Rⁿ na R^m jen a jen pokud hodnost matice rovná se m.

Standardní základ

Souřadnicový prostor Rⁿ přichází se standardním základem:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {e} _ {1} & = (1,0, ldots, 0) mathbf {e} _ {2} & = (0,1, ldots , 0) & {} vdots mathbf {e} _ {n} & = (0,0, ldots, 1) end {zarovnáno}}}$

Chcete-li vidět, že se jedná o základ, nezapomeňte, že v Libovolný vektor Rⁿ lze napsat jednoznačně ve formě

${ displaystyle mathbf {x} = součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} mathbf {e} _ {i}.}$

Geometrické vlastnosti a použití

Orientace

Skutečnost, že reálná čísla, na rozdíl od mnoha jiných pole, tvoří objednané pole výnosy orientační struktura na Rⁿ. Žádný plný stupeň lineární mapa Rⁿ sám o sobě zachovává nebo obrací orientaci prostoru v závislosti na podepsat z určující jeho matice. Pokud jeden permutuje souřadnice (nebo jinými slovy prvky základny), výsledná orientace bude záviset na parita permutace.

Difeomorfismy z Rⁿ nebo domény v něm, aby se vyhnuli nule Jacobian, jsou také klasifikovány pro zachování orientace a obrácení orientace. Má to důležité důsledky pro teorii diferenciální formy, jehož aplikace zahrnují elektrodynamika.

Dalším projevem této struktury je, že bodový odraz v Rⁿ má různé vlastnosti v závislosti na vyrovnanost n. Dokonce i n zachovává orientaci, zatímco pro liché n je obrácen (viz také nesprávná rotace ).

Afinní prostor

Rⁿ chápán jako afinní prostor je stejný prostor, kde Rⁿ jako vektorový prostor činy podle překlady. Naopak je třeba vektor chápat jako „rozdíl mezi dvěma body “, obvykle ilustrovaný režií úsečka spojující dva body. Rozdíl říká, že neexistuje kanonický výběr místa, kde původ by měl jít v afinitě n-prostor, protože jej lze přeložit kdekoli.

Konvexnost

The n-simplex (viz níže ) je standardní konvexní množina, která se mapuje na každý mnohostěn, a je průsečíkem normy (n + 1) afinní hyperplán (standardní afinní prostor) a standard (n + 1) orthant (standardní kužel).

Ve skutečném vektorovém prostoru, jako je Rⁿ, lze definovat konvexní kužel, který obsahuje vše nezáporné lineární kombinace jeho vektorů. Odpovídajícím konceptem v afinním prostoru je a konvexní sada, což umožňuje pouze konvexní kombinace (nezáporné lineární kombinace, jejichž součet je 1).

V jazyce univerzální algebra, vektorový prostor je algebra nad univerzálním vektorovým prostorem R^∞ konečných posloupností koeficientů, odpovídajících konečným součtům vektorů, zatímco afinní prostor je algebra nad univerzální afinní nadrovinou v tomto prostoru (konečných sekvencí se sčítáním 1), kužel je algebra nad univerzálem orthant (konečných posloupností nezáporných čísel) a konvexní množina je algebra nad univerzálií simplexní (konečných posloupností nezáporných čísel se sčítáním 1). To geometrizuje axiomy ve smyslu „součtů s (možnými) omezeními souřadnic“.

Další koncept z konvexní analýzy je a konvexní funkce z Rⁿ na reálná čísla, která je definována pomocí nerovnost mezi jeho hodnotou na konvexní kombinaci bodů a součet hodnot v těchto bodech se stejnými koeficienty.

Euklidovský prostor

The Tečkovaný produkt

${ displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + cdots + x_ {n} y_ {n}}$

definuje norma |X| = √X ⋅ X na vektorovém prostoru Rⁿ. Pokud má každý vektor své Euklidovská norma, pak pro jakýkoli pár bodů vzdálenost

${ displaystyle d ( mathbf {x}, mathbf {y}) = | mathbf {x} - mathbf {y} | = { sqrt { součet _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}}$

je definován, poskytuje metrický prostor struktura zapnuta Rⁿ kromě své afinní struktury.

Pokud jde o strukturu vektorového prostoru, předpokládá se, že v ní existuje tečkový součin a euklidovská vzdálenost Rⁿ bez zvláštního vysvětlení. Skutečné n-prostor a euklidovský n-prostor jsou odlišné objekty, přesně řečeno. Jakýkoli euklidovský n-prostor má souřadnicový systém kde tečkový součin a euklidovská vzdálenost mají tvar zobrazený výše, tzv Kartézský. Ale existují mnoho Kartézské souřadné systémy na euklidovském prostoru.

Naopak výše uvedený vzorec pro euklidovskou metriku definuje Standard Euklidovská struktura zapnuta Rⁿ, ale není to jediný možný. Vlastně jakékoli kladně definitivní kvadratická forma q definuje vlastní „vzdálenost“ √q(X − y), ale v tom smyslu se příliš neliší od euklidovského

${ displaystyle existuje C_ {1}> 0, existuje C_ {2}> 0, forall mathbf {x}, mathbf {y} in mathbb {R} ^ {n}: C_ { 1} d ( mathbf {x}, mathbf {y}) leq { sqrt {q ( mathbf {x} - mathbf {y})}} leq C_ {2} d ( mathbf {x }, mathbf {y}).}$

Taková změna metriky zachovává některé její vlastnosti, například vlastnost bytí a kompletní metrický prostor To také znamená, že jakákoli lineární transformace celé řady Rⁿ, nebo jeho afinní transformace, nezvětšuje vzdálenosti více než některými pevnými C₂, a nedělá vzdálenosti menší než 1 ∕ C₁ krát, pevný konečný počet krát menší.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Výše uvedená ekvivalence metrických funkcí zůstává v platnosti, pokud √q(X − y) je nahrazen M(X − y), kde M je jakékoli konvexní pozitivní homogenní funkce stupně 1, tj. a vektorová norma (vidět Minkowského vzdálenost užitečné příklady). Kvůli této skutečnosti je jakákoli „přirozená“ metrika Rⁿ se nijak zvlášť neliší od euklidovské metriky, Rⁿ se ne vždy odlišuje od euklidovce n-prostor i v profesionálních matematických pracích.

V algebraické a diferenciální geometrii

Ačkoli definice a potrubí nevyžaduje, aby jeho modelový prostor byl Rⁿ, tato volba je nejběžnější a téměř exkluzivní diferenciální geometrie.

Na druhou stranu, Whitneyho věty o vložení uveďte, že jakýkoli skutečný rozlišitelný m-rozměrné potrubí může být vložený do R^2m.

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (duben 2013)

Jiná vystoupení

Další uvažované struktury Rⁿ zahrnují jednu z a pseudoeuklidovský prostor, symplektická struktura (dokonce n), a kontaktní struktura (zvláštní n). Všechny tyto struktury, i když je lze definovat způsobem bez souřadnic, připouštějí v souřadnicích standardní (a přiměřeně jednoduché) formuláře.

Rⁿ je také skutečným vektorovým podprostorem Cⁿ což je neměnné komplexní konjugace; viz také komplexifikace.

Polytopes in Rⁿ

Existují tři rodiny polytopes které mají jednoduché reprezentace v Rⁿ mezery, pro všechny n, a lze jej použít k vizualizaci libovolného afinního souřadnicového systému ve skutečném prostředí n-prostor. Vrcholy a hyperkrychle mít souřadnice (X₁, X₂, … , X_n) kde každý X_k přebírá jednu z pouhých dvou hodnot, obvykle 0 nebo 1. Mohou však být zvolena libovolná dvě čísla místo 0 a 1, například −1 a 1. An n-hypercube lze považovat za kartézský součin n identické intervaly (tak jako jednotkový interval [0,1]) na skutečné lince. Jako n-dimenzionální podmnožinu lze popsat pomocí a systém 2n nerovnosti:

${ displaystyle displaystyle { begin {matrix} 0 leq x_ {1} leq 1 vdots 0 leq x_ {n} leq 1 end {matrix}}}$ (pro [0,1])

${ displaystyle displaystyle { begin {matrix} | x_ {1} | leq 1 vdots | x_ {n} | leq 1 end {matrix}}}$ (pro [−1,1])

Každý vrchol křížový mnohostěn pro některé má k, X_k souřadnice rovná ±1 a všechny ostatní souřadnice rovné 0 (takové, že je to kth standardní základní vektor až do podepsat ). Tohle je duální polytop hyperkrychle. Jako n-dimenzionální podmnožinu lze popsat jedinou nerovností, která používá absolutní hodnota úkon:

${ displaystyle sum limity _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | leq 1 ,,}$

ale to lze vyjádřit systémem 2ⁿ lineární nerovnosti.

Třetí mnohostěn s jednoduše vyčíslitelnými souřadnicemi je standardní simplex, jehož vrcholy jsou n standardní základní vektory a původ (0, 0, … , 0). Jako n-dimenzionální podmnožina je popsána systémem n + 1 lineární nerovnosti:

${ displaystyle { begin {matrix} 0 leq x_ {1} vdots 0 leq x_ {n} součet limity _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} leq 1 end {matrix}}}$

Výměna všech „≤“ za „<“ dává interiéry těchto polytopů.

Topologické vlastnosti

The topologická struktura z Rⁿ (volala standardní topologie, Euklidovská topologienebo obvyklá topologie) lze získat nejen z kartézského součinu. Je také totožný s přírodní topologie vyvolané Euklidovská metrika diskutovaná výše: sada je otevřeno v euklidovské topologii kdyby a jen kdyby obsahuje otevřený míč kolem každého z jeho bodů. Taky, Rⁿ je lineární topologický prostor (vidět kontinuita lineárních map výše) a existuje pouze jedna možná (netriviální) topologie kompatibilní s jeho lineární strukturou. Protože existuje mnoho otevřených lineárních map z Rⁿ pro sebe, které nejsou izometrie, může být mnoho euklidovských struktur Rⁿ které odpovídají stejné topologii. Ve skutečnosti to moc nezávisí ani na lineární struktuře: existuje mnoho nelineárních difeomorfismy (a další homeomorfismy) z Rⁿ na sebe nebo na jeho části, jako je euklidovská otevřená koule nebo vnitřek hyperkrychle ).

Rⁿ má topologická dimenze nDůležitým výsledkem topologie Rⁿ, to není zdaleka povrchní, je Brouwer je invariance domény. Jakákoli podmnožina Rⁿ (s jeho topologie podprostoru ) to je homeomorfní do jiné otevřené podskupiny Rⁿ je sám otevřený. Okamžitým důsledkem toho je to R^m není homeomorfní na Rⁿ -li m ≠ n - intuitivně „zjevný“ výsledek, který je nicméně obtížné prokázat.

Přes rozdíl v topologické dimenzi a na rozdíl od naivního vnímání je možné mapovat méně dimenzionální^{[je zapotřebí objasnění ]} skutečný prostor nepřetržitě a překvapivě na Rⁿ. Kontinuální (i když ne hladký) křivka vyplňování prostoru (obrázek R¹) je možné.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Příklady

Prázdný vektor sloupce, jediný prvek R0

R1

n ≤ 1

Případy 0 ≤ n ≤ 1 nenabízet nic nového: R¹ je skutečná linie, zatímco R⁰ (prostor obsahující vektor prázdného sloupce) je a jedináček, chápáno jako nulový vektorový prostor. Je však užitečné zahrnout je jako triviální případy teorií, které popisují různé n.

n = 2

Jak hyperkrychle, tak křížové polytopy R² jsou čtverce, ale souřadnice vrcholů jsou uspořádány odlišně

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (duben 2013)

n = 3

Krychle (hyperkrychle) a osmistěn (křížový polytop) z R³. Souřadnice nejsou zobrazeny

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (duben 2013)

n = 4

R⁴ lze představit pomocí skutečnosti, že 16 bodů (X₁, X₂, X₃, X₄), kde každý X_k je buď 0 nebo 1, jsou vrcholy a tesseract (na obrázku), 4-hyperkrychle (viz výše ).

První hlavní použití R⁴ je vesmírný čas model: tři prostorové souřadnice plus jedna temporální. To je obvykle spojeno s teorie relativity, ačkoli od té doby byly pro tyto modely použity čtyři rozměry Galilei. Volba teorie však vede k odlišné struktuře: v Galileova relativita the t souřadnice je privilegovaná, ale v einsteinovské relativitě tomu tak není. Uvádí se speciální relativita Minkowského prostor. Obecná relativita používá zakřivené prostory, které lze považovat za R⁴ s zakřivená metrika pro nejpraktičtější účely. Žádná z těchto struktur neposkytuje (kladně definitivní) metrický na R⁴.

Euklidovský R⁴ také přitahuje pozornost matematiků, například kvůli jeho vztahu k čtveřice, 4-dimenzionální skutečná algebra oni sami. Vidět rotace v 4-dimenzionálním euklidovském prostoru pro nějaké informace.

V diferenciální geometrii n = 4 je jediný případ, kdy Rⁿ připouští nestandard diferenciální struktura: viz exotický R.⁴.

Normy zapnuty Rⁿ

Dalo by se definovat mnoho norem na vektorový prostor Rⁿ. Některé běžné příklady jsou

• the p-norma, definován ${ displaystyle || { textbf {x}} || _ {p}: = { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p }}}}$ pro všechny ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ Rⁿ kde ${ displaystyle p}$ je kladné celé číslo. Pouzdro ${ displaystyle p = 2}$ je velmi důležité, protože je to přesně to Euklidovská norma.
• the ${ displaystyle infty}$-norm nebo maximální norma, definován ${ displaystyle || { textbf {x}} || _ { infty}: = max {x_ {1}, dots, x_ {n} }}$ pro všechny ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ Rⁿ. To je limit všech p-normy: ${ displaystyle || { textbf {x}} || _ { infty} = lim limity _ {p až infty} { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p}}}}$.

Opravdu překvapivý a užitečný výsledek je, že každá norma je definována dále Rⁿ je ekvivalent. To znamená pro dvě libovolné normy ${ displaystyle || cdot ||}$ a ${ displaystyle || cdot || ^ { prime}}$ na Rⁿ vždy můžete najít kladná reálná čísla ${ displaystyle alpha, beta> 0}$, takový, že

${ displaystyle alpha cdot || { textbf {x}} || leq || { textbf {x}} || ^ { prime} leq beta cdot || { textbf {x} } ||}$ pro všechny ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ Rⁿ.

To definuje vztah ekvivalence na souboru všech norem na Rⁿ. S tímto výsledkem můžete zkontrolovat, zda je posloupnost vektorů v Rⁿ konverguje s ${ displaystyle || cdot ||}$ právě tehdy, když konverguje s ${ displaystyle || cdot || ^ { prime}}$.

Zde je náčrt toho, jak může vypadat důkaz tohoto výsledku:

Kvůli vztah ekvivalence stačí ukázat, že každá norma na Rⁿ je ekvivalentní s Euklidovská norma ${ displaystyle || cdot || _ {2}}$. Nechat ${ displaystyle || cdot ||}$ být libovolnou normou Rⁿ. Důkaz je rozdělen do dvou kroků:

• Ukazujeme, že existuje a ${ displaystyle beta> 0}$, takový, že ${ displaystyle || { textbf {x}} || leq beta cdot || { textbf {x}} || _ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ Rⁿ. V tomto kroku využijete skutečnost, že každý ${ displaystyle { textbf {x}} = (x_ {1}, tečky, x_ {n}) in}$ Rⁿ lze reprezentovat jako lineární kombinaci standardu základ: ${ displaystyle { textbf {x}} = součet _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} cdot x_ {i}}$. Pak s Cauchy – Schwarzova nerovnost ${ displaystyle || { textbf {x}} || = left | left | sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} cdot x_ {i} right | right | leq sum _ {i = 1} ^ {n} || e_ {i} || cdot | x_ {i} | leq { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} || e_ {i} || ^ {2}}} cdot { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}} = beta cdot || { textbf {x}} || _ {2}}$, kde ${ displaystyle beta: = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} || e_ {i} || ^ {2}}}}$.
• Nyní musíme najít ${ displaystyle alpha> 0}$, takový, že ${ displaystyle alpha cdot || { textbf {x}} || _ {2} leq || { textbf {x}} ||}$ pro všechny ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ Rⁿ. Předpokládejme, že nic takového neexistuje ${ displaystyle alpha}$. Pak existuje pro každého ${ displaystyle k in mathbb {N}}$ A ${ displaystyle { textbf {x}} _ {k} in}$ Rⁿ, takový, že ${ displaystyle || { textbf {x}} _ {k} || _ {2}> k cdot || { textbf {x}} _ {k} ||}$. Definujte druhou sekvenci ${ displaystyle ({ tilde { textbf {x}}} _ {k}) _ {k in mathbb {N}}}$ podle ${ displaystyle { tilde { textbf {x}}} _ {k}: = { frac {{ textbf {x}} _ {k}} {|| { textbf {x}} _ {k} || _ {2}}}}$. Tato posloupnost je omezená, protože ${ displaystyle || { tilde { textbf {x}}} _ {k} || _ {2} = 1}$. Takže kvůli Bolzano – Weierstrassova věta existuje konvergentní subsekvence ${ displaystyle ({ tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}}) _ {j in mathbb {N}}}$ s limitem ${ displaystyle { textbf {a}} in}$ Rⁿ. Teď to ukazujeme ${ displaystyle || { textbf {a}} || _ {2} = 1}$ ale ${ displaystyle { textbf {a}} = { textbf {0}}}$, což je rozpor. to je ${ displaystyle || { textbf {a}} || leq || { textbf {a}} - { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || + || { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || leq beta cdot || { textbf {a}} - { tilde { textbf {x}}} _ {k_ { j}} || _ {2} + { frac {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} ||} {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} || _ {2}}} { přesahující {j to infty} { to}} 0}$, protože ${ displaystyle || { textbf {a}} - { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || až 0}$ a ${ displaystyle 0 leq { frac {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} ||} {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} || _ { 2}}} <{ frac {1} {k_ {j}}}}$, tak ${ displaystyle { frac {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} ||} {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} || _ {2}} } až 0}$. Z toho vyplývá ${ displaystyle || { textbf {a}} || = 0}$, tak ${ displaystyle { textbf {a}} = { textbf {0}}}$. Na druhou stranu ${ displaystyle || { textbf {a}} || _ {2} = 1}$, protože ${ displaystyle || { textbf {a}} || _ {2} = || lim limits _ {j to infty} { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j} } || _ {2} = lim limits _ {j to infty} || { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || _ {2} = 1}$. To nikdy nemůže být pravda, takže předpoklad byl falešný a existuje takový ${ displaystyle alpha> 0}$.

Viz také

• Exponenciální objekt, pro teoretické vysvětlení zápisu horního indexu
• Skutečný projektivní prostor

Poznámky pod čarou

Reference

• Kelley, John L. (1975). Obecná topologie. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90125-6.
• Munkres, James (1999). Topologie. Prentice-Hall. ISBN  0-13-181629-2.