Izotropní kvadratická forma - Isotropic quadratic form

V matematice, a kvadratická forma přes pole F se říká, že je izotropní pokud existuje nenulový vektor, na kterém se formulář vyhodnotí jako nula. Jinak je kvadratická forma anizotropní. Přesněji řečeno, pokud q je kvadratická forma na a vektorový prostor PROTI přes F, pak nenulový vektor proti v PROTI se říká, že je izotropní -li q(proti) = 0. Kvadratická forma je izotropní právě tehdy, pokud existuje nenulový izotropní vektor (nebo nulový vektor ) pro tuto kvadratickou formu.

Předpokládejme to (PROTI, q) je kvadratický prostor a Ž je podprostor. Pak Ž se nazývá izotropní podprostor z PROTI -li nějaký vektor v něm je izotropní, a zcela izotropní podprostor -li Všechno vektory v něm jsou izotropní a anizotropní podprostor pokud to neobsahuje žádný (nenulové) izotropní vektory. The index izotropie kvadratického prostoru je maximum rozměrů zcela izotropních podprostorů.^[1]

Kvadratická forma q na konečně-dimenzionální nemovitý vektorový prostor PROTI je anizotropní, právě když q je určitá forma:

buď q je pozitivní určitý, tj. q(proti) > 0 pro všechny nenulové proti v PROTI ;
nebo q je negativní určitý, tj. q(proti) < 0 pro všechny nenulové proti v PROTI.

Obecněji řečeno, pokud je kvadratická forma nedegenerovaná a má podpis (A, b), pak jeho index izotropie je minimum A a b. Důležitý příklad izotropní formy nad reálemi se vyskytuje v pseudoeuklidovský prostor.

Hyperbolické letadlo

Nechat F být oborem charakteristický ne 2 a PROTI = F². Pokud vezmeme v úvahu obecný prvek (X, y) z PROTI, pak kvadratické formy q = xy a r = X² − y² jsou ekvivalentní, protože existuje lineární transformace na PROTI to dělá q vypadat jako ra naopak. Zřejmě, (PROTI, q) a (PROTI, r) jsou izotropní. Tento příklad se nazývá hyperbolická rovina v teorii kvadratické formy. Běžná instance má F = reálná čísla v jakém případě {X ∈ PROTI : q(X) = nenulová konstanta} a {X ∈ PROTI : r(X) = nenulová konstanta} jsou hyperboly. Zejména, {X ∈ PROTI : r(X) = 1} je jednotka hyperbola. Zápis ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ byl použit Milnorem a Husemollerem^[1]^:9 pro hyperbolickou rovinu jako znaky podmínek dvojrozměrný polynom r jsou vystaveny.

Afinní hyperbolická rovina byla popsána Emil Artin jako kvadratický prostor se základem {M, N} uspokojující M² = N² = 0, NM = 1, kde produkty představují kvadratickou formu.^[2]

Skrz polarizační identita kvadratická forma souvisí s a symetrická bilineární forma B(u, proti) = 1/4(q(u + proti) − q(u − proti)).

Dva vektory u a proti jsou ortogonální když B(u, proti) = 0. V případě hyperbolické roviny, např u a proti jsou hyperbolicko-ortogonální.

Rozdělit kvadratický prostor

Prostor kvadratické formy je rozdělit (nebo metabolické) pokud existuje podprostor, který se rovná jeho vlastnímu ortogonální doplněk; ekvivalentně se index izotropie rovná polovině dimenze.^[1]^:57 Hyperbolická rovina je příkladem a nad polem charakteristiky, které se nerovná 2, je každý dělený prostor přímým součtem hyperbolických rovin.^[1]^:12,3

Vztah s klasifikací kvadratických forem

Z hlediska klasifikace kvadratických forem jsou anizotropní prostory základními stavebními kameny pro kvadratické prostory libovolných rozměrů. Pro obecné pole F, klasifikace anizotropních kvadratických forem je netriviální problém. Naproti tomu s izotropními formami se obvykle manipuluje mnohem snáze. Podle Wittova věta o rozkladu, každý vnitřní produktový prostor nad polem je ortogonální přímý součet děleného prostoru a anizotropního prostoru.^[1]^:56

Teorie pole

Li F je algebraicky uzavřeno pole, například pole komplexní čísla, a (PROTI, q) je kvadratický prostor dimenze alespoň dvě, pak je izotropní.
Li F je konečné pole a (PROTI, q) je kvadratický prostor dimenze nejméně tři, pak je izotropní (je to důsledek Chevalleyova varovná věta ).
Li F je pole Q_p z p-adická čísla a (PROTI, q) je kvadratický prostor dimenze nejméně pět, pak je izotropní.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symetrické bilineární formuláře. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
^ Emil Artin (1957) Geometrická algebra, strana 119

Pete L. Clark, Kapitola I: Kvadratické formy: Wittova teorie z University of Miami v Coral Gables, Florida.
Tsit Yuen Lam (1973) Algebraická teorie kvadratických forem, §1.3 Hyperbolická rovina a hyperbolické prostory, W. A. Benjamin.
Tsit Yuen Lam (2005) Úvod do kvadratických forem nad poli, Americká matematická společnost ISBN 0-8218-1095-2 .
O'Meara, O.T. (1963). Úvod do kvadratických forem. Springer-Verlag. str. 94 §42D Izotropie. ISBN 3-540-66564-1.
Serre, Jean-Pierre (2000) [1973]. Kurz aritmetiky. Postgraduální texty z matematiky: Klasika v matematice. 7 (dotisk 3. ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 1034.11003.

[MH-1] A ^b ^C ^d ^E Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symetrické bilineární formuláře. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

[2] Emil Artin (1957) Geometrická algebra, strana 119

[1]

[2]