Coxeter prvek - Coxeter element - Wikipedia

v matematika, Číslo coxeteru h je objednat a Coxeter prvek neredukovatelné Skupina coxeterů. Je pojmenován po H.S.M. Coxeter.^[1]

Definice

Tento článek předpokládá konečnou skupinu Coxeter. Pro nekonečné skupiny Coxeterů existuje více třídy konjugace Coxeterových prvků a mají nekonečný řád.

Existuje mnoho různých způsobů, jak definovat číslo Coxeteru h neredukovatelného kořenového systému.

A Coxeter prvek je produktem všech jednoduchých odrazů. Produkt závisí na pořadí, ve kterém jsou převzaty, ale různé objednávky produkují konjugované prvky, které mají stejné objednat.

Číslo coxeteru je pořadí všech Coxeterový prvek;.
Coxeterovo číslo je 2m/n, kde n je hodnost a m je počet odrazů. V krystalografickém případě m je poloviční počet kořeny; a 2 m+n je rozměr odpovídající polojednotky Lež algebra.
Pokud je nejvyšší kořen ∑m_iα_i pro jednoduché kořeny α_i, pak je číslo Coxeteru 1 + ∑m_i.
Coxeterovo číslo je nejvyšší stupeň fundamentálního invariantu skupiny Coxeter působící na polynomy.

Číslo Coxeteru pro každý typ Dynkin je uvedeno v následující tabulce:

Skupina coxeterů		Coxeter diagram	Dynkin diagram	Úvahy m=nh/2^[2]	Číslo coxeteru h	Duální coxeter číslo	Stupně základních invariantů
A_n	[3,3...,3]	...	...	n(n+1)/2	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B_n	[4,3...,3]	...	...	n²	2n	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2n
C_n	[4,3...,3]	...	...	n²	2n	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D_n	[3,3,..3^1,1]	...	...	n(n-1)	2n − 2	2n − 2	n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E₆	[3^2,2,1]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E₇	[3^3,2,1]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	[3^4,2,1]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F₄	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G₂	[6]			6	6	4	2, 6
H₃	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H₄	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
Já₂(p)	[p]		-	p	p		2, p

Základní invarianty jsou invarianty skupiny Coxeter působící na polynomy, které tvoří generátory polynomiální algebrawhose; jejich stupně jsou uvedeny v tabulce výše. Všimněte si, že pokud m je stupeň fundamentálního invariantu h + 2 − m.

Vlastní čísla prvku Coxeter jsou čísla E^{2πi(m − 1)/h} tak jako m prochází stupni základních invariantů. Protože to začíná na m = 2, mezi ně patří primitivní hth kořen jednoty, ζ_h = E^2πi/h, což je důležité v Coxeterovo letadlo níže.

Skupinová objednávka

Mezi řádem existují vztahy G skupiny Coxeter a číslo Coxeteru h:^[3]

[p]: 2 h / g_p = 1
[p, q]: 8 / g_{p, q} = 2 / p + 2 / q -1
[p, q, r]: 64 h / g_{p, q, r} = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
[p, q, r, s]: 16 / g_{p, q, r, s} = 8 / g_{p, q, r} + 8 / g_{q, r, s} + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / s +1
...

Příklad [3,3,5] má h= 30, tedy 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, takže g = 1920 * 15/2 = 960 * 15 = 14 400.

Coxeter prvky

Odlišné prvky Coxeteru odpovídají orientacím Coxeterova diagramu (tj. Dynkinovi toulce ): jednoduché odrazy odpovídající zdrojovým vrcholům se zapisují nejdříve, vrcholy po proudu později a poslední klesají. (Volba pořadí mezi nesousedícími vrcholy je irelevantní, protože odpovídají dojíždějícím odrazům.) Zvláštní volbou je střídavá orientace, ve které jsou jednoduché odrazy rozděleny do dvou sad nesousedících vrcholů a všechny hrany jsou orientovány z první do druhé sady.^[4] Střídavá orientace vytváří speciální Coxeterův prvek w uspokojující ${ displaystyle w ^ {h / 2} = w_ {0}}$ , kde w₀ je nejdelší prvek a předpokládáme číslo Coxetera h je sudý.

Pro ${ displaystyle A_ {n-1} cong S_ {n}}$ , symetrická skupina na n prvky, Coxeterovy prvky jsou jisté n-cycles: produkt jednoduchých odrazů ${ displaystyle (1,2) (2,3) cdots (n {-} 1 , n)}$ je prvek Coxeter ${ displaystyle (1,2,3, tečky, n)}$ .^[5] Pro n sudý prvek Coxeter se střídavou orientací je:

{ displaystyle (1,2) (3,4) cdots (2,3) (4,5) cdots = (2,4,6, ldots, n {-} 2, n, n {-} 1, n {-} 3, ldots, 5,3,1).}

Existují ${ displaystyle 2 ^ {n-2}}$ výrazné prvky Coxeteru mezi ${ displaystyle (n {-} 1)!}$ n-cykly.

The dihedrální skupina Dih_p je generován dvěma odrazy, které tvoří úhel ${ displaystyle 2 pi / 2p}$ , a jejich produkt je tedy rotací o ${ displaystyle 2 pi / p}$ .

Coxeterovo letadlo

Projekce E₈ kořenový systém do Coxeterovy roviny, ukazující 30násobnou symetrii.

Pro daný prvek Coxeter w, existuje jedinečné letadlo P na kterých w působí rotací o 2π /h. Tomu se říká Coxeterovo letadlo^[6] a je rovinou, na které P má vlastní čísla E^2πi/h a E^−2πi/h = E^{2πi(h−1)/h}.^[7] Tato rovina byla poprvé systematicky studována v (Coxeter 1948 ),^[8] a následně použit v (Steinberg 1959 ) poskytnout jednotné důkazy o vlastnostech Coxeterových prvků.^[8]

Coxeterova rovina se často používá k kreslení diagramů výškových polytopů a kořenových systémů - vrcholy a hrany polytopu nebo kořeny (a některé hrany spojující tyto) jsou ortogonálně promítnuté na Coxeterovu rovinu, čímž se získá a Petrie polygon s h-násobná rotační symetrie.^[9] Pro kořenové systémy, žádné kořenové mapy na nulu, což odpovídá prvku Coxeter, který neopravuje žádný kořen nebo spíše osu (nemá vlastní hodnotu 1 nebo -1), takže projekce oběžných drah pod w formulář h- skládaná kruhová uspořádání^[9] a tam je prázdný střed, jako v E.₈ diagram vpravo nahoře. U polytopů může být vrchol mapován na nulu, jak je znázorněno níže. Projekce do Coxeterovy roviny jsou zobrazeny níže pro Platonické pevné látky.

Ve třech rozměrech je symetrie a pravidelný mnohostěn, {p, q}, s jedním označeným Petrieho polygonem, definovaným jako složený ze 3 odrazů, má rotoinverze symetrie S._h, [2⁺, h⁺], objednat h. Přidáním zrcadla lze symetrii zdvojnásobit na protismatickou symetrii, D._hd, [2⁺, h], objednávka 2h. V ortogonální 2D projekci se to stane dihedrální symetrie, Dih_h, [h], objednávka 2h.

Skupina coxeterů	A₃ T_d	B₃ Ó_h		H₃ Já_h
Pravidelný mnohostěn	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Symetrie	S₄, [2⁺,4⁺], (2×) D_2d, [2⁺,4], (2*2)	S₆, [2⁺,6⁺], (3×) D_3d, [2⁺,6], (2*3)		S₁₀, [2⁺,10⁺], (5×) D_{5 d}, [2⁺,10], (2*5)
Coxeterovo letadlo symetrie	Dih₄, [4], (*4•)	Dih₆, [6], (*6•)		Dih₁₀, [10], (*10•)
Petrieho polygony platonických pevných látek, které vykazují čtyřnásobnou, šestinásobnou a desetinásobnou symetrii.

Ve čtyřech rozměrech je symetrie a běžný polychoron, {p, q, r}, s jedním směrovaným Petrie polygonem označeným je a dvojitá rotace, definovaný jako složený ze 4 odrazů se symetrií +¹/_h[C_h× C._h]^[10] (John H. Conway ), (C._2h/C₁;C_2h/C₁) (#1', Patrick du Val (1964)^[11]), objednat h.

Skupina coxeterů	A₄	B₄		F₄	H₄
Pravidelný polychoron	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Symetrie	+¹/₅[C₅× C.₅]	+¹/₈[C₈× C.₈]		+¹/₁₂[C₁₂× C.₁₂]	+¹/₃₀[C₃₀× C.₃₀]
Coxeterovo letadlo symetrie	Dih₅, [5], (*5•)	Dih₈, [8], (*8•)		Dih₁₂, [12], (*12•)	Dih₃₀, [30], (*30•)
Petrieho polygony pravidelných 4D pevných látek, které vykazují 5násobnou, 8násobnou, 12násobnou a 30násobnou symetrii.

V pěti rozměrech je symetrie a běžný 5-mnohostěn, {p, q, r, s}, s označeným jedním Petrie polygonem, je reprezentován složením 5 odrazů.

Skupina coxeterů	A₅	B₅		D₅
Pravidelný polyteron	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	h {4,3,3,3}
Coxeterovo letadlo symetrie	Dih₆, [6], (*6•)	Dih₁₀, [10], (*10•)		Dih₈, [8], (*8•)

V rozměrech 6 až 8 existují 3 výjimečné skupiny Coxeterů, jeden uniformní polytop z každé dimenze představuje kořeny E._n Výjimečné lži. Coxeterovy prvky jsou 12, 18 a 30.

E_n skupiny
Skupina coxeterů	E6	E7	E8
Graf	1₂₂	2₃₁	4₂₁
Coxeterovo letadlo symetrie	Dih₁₂, [12], (*12•)	Dih₁₈, [18], (*18•)	Dih₃₀, [30], (*30•)

Viz také

Nejdelší prvek skupiny Coxeter

Poznámky

^ Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), Coxeter Legacy: Úvahy a projekce, AMS Bookstore, str. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
^ Coxeter, Pravidelné polytopy, §12.6 Počet odrazů, rovnice 12,61
^ Pravidelné polytopy, str. 233
^ George Lusztig, Úvod do kvantových skupin, Birkhauser (2010)
^ (Humphreys 1992, str. 75 )
^ Coxeterovy roviny Archivováno 10.02.2018 na Wayback Machine a Více coxeterů Archivováno 21. 08. 2017 na Wayback Machine John Stembridge
^ (Humphreys 1992, Sekce 3.17, „Akce v letadle“, s. 76–78 )
^ ^A ^b (Čtení 2010, str. 2)
^ ^A ^b (Stembridge 2007 )
^ Na čtveřicích a oktonionech, 2003, John Horton Conway a Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
^ Patrick Du Val, Homografie, čtveřice a rotaceOxfordské matematické monografie, Clarendon Press, Oxford, 1964.

Reference

Coxeter, H. S. M. (1948), Pravidelné Polytopes, Methuen and Co.
Steinberg, R. (červen 1959), „Skupiny konečných odrazů“, Transakce Americké matematické společnosti, 91 (3): 493–504, doi:10.1090 / S0002-9947-1959-0106428-2, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993261
Hiller, Howard Geometrie Coxeterových skupin. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv + 213 pp. ISBN 0-273-08517-4
Humphreys, James E. (1992), Reflexní skupiny a skupiny coxeterů, Cambridge University Press, s. 74–76 (oddíl 3.16, Coxeter prvky), ISBN 978-0-521-43613-7
Stembridge, John (9. dubna 2007), Coxeterovy roviny, archivovány z originál 10. února 2018, vyvoláno 21. dubna 2010
Stekolshchik, R. (2008), Poznámky k transformacím coxeteru a korespondenci McKaySpringer Monografie z matematiky, doi:10.1007/978-3-540-77398-3, ISBN 978-3-540-77398-6
Reading, Nathan (2010), „Nepříčné oddíly, klastry a coxeterová rovina“, Seminář Lotharingien de Combinatoire, B63b: 32
Bernšteĭn, I. N .; Gelʹfand, I. M .; Ponomarev, V. A., „Coxeterovy funktory a Gabrielova věta“ (rusky), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), č. 2 (170), 19–33. Překlad na webových stránkách Bernsteina.

[1] Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), Coxeter Legacy: Úvahy a projekce, AMS Bookstore, str. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1

[2] Coxeter, Pravidelné polytopy, §12.6 Počet odrazů, rovnice 12,61

[3] Pravidelné polytopy, str. 233

[4] George Lusztig, Úvod do kvantových skupin, Birkhauser (2010)

[5] (Humphreys 1992, str. 75 )

[6] Coxeterovy roviny Archivováno 10.02.2018 na Wayback Machine a Více coxeterů Archivováno 21. 08. 2017 na Wayback Machine John Stembridge

[7] (Humphreys 1992, Sekce 3.17, „Akce v letadle“, s. 76–78 )

[readp2-8] A ^b (Čtení 2010, str. 2)

[stem2007-9] A ^b (Stembridge 2007 )

[10] Na čtveřicích a oktonionech, 2003, John Horton Conway a Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5

[11] Patrick Du Val, Homografie, čtveřice a rotaceOxfordské matematické monografie, Clarendon Press, Oxford, 1964.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]