Bez ztráty obecnosti - Without loss of generality

"WLOG" přeadresuje tady. Rozhlasová stanice viz WLOG (FM).

Bez ztráty obecnosti (často zkráceně na WOLOG, WLOG[1] nebo w.l.o.g.; méně často se uvádí jako bez ztráty obecnosti nebo bez ztráty obecnosti) je často používaný výraz v matematika. Termín se používá k označení předpokladu, že následující je zvolen libovolně, což zužuje předpoklad na konkrétní případ, ale neovlivňuje obecně platnost důkazu. Někteří dokazují i ​​ostatní případy symetrie - nebo jiná rovnocennost nebo podobnost.[2][3] Výsledkem je, že jakmile je pro konkrétní případ předložen důkaz, je triviální přizpůsobit jej tak, aby prokázal závěr ve všech ostatních případech.

V mnoha scénářích je použití „beze ztráty obecnosti“ umožněno přítomností symetrie. Například pokud nějaká vlastnost P(X,y) z reálná čísla je známo, že je symetrický v X a ya sice to P(X,y) je ekvivalentní s P(y,X), poté k prokázání toho P(X,y) platí pro všechny X a y, lze předpokládat „bez ztráty obecnosti“ X ≤ y. V tomto předpokladu nedochází ke ztrátě obecnosti, protože tomu tak bylo jednou X ≤ y ⇒ P(X,y) bylo prokázáno, na druhý případ navazuje y ≤ X ⇒[4] P(y,X) ⇒[5] P(X,y), čímž to ukazuje P(X,y) platí pro všechny případy.

Na druhou stranu, pokud takovou symetrii (nebo jinou formu ekvivalence) nelze určit, pak je použití „bez ztráty obecnosti“ nesprávné a může představovat instanci důkaz příkladem - logický klam prokazování nároku prokázáním nereprezentativního příkladu.[6][3]

Příklad

Zvažte následující teorém (což je případ princip pigeonhole ):

Pokud jsou tři objekty malovány buď červeně nebo modře, pak musí existovat alespoň dva objekty stejné barvy.

Důkaz:

Bez ztráty obecnosti předpokládejme, že první objekt je červený. Pokud je některý z dalších dvou objektů červený, jsme hotovi; pokud ne, pak další dva objekty musí být oba modré a my jsme stále hotovi.

Zde si všimněte, že výše uvedený argument funguje, protože přesně stejné úvahy by mohly být použity, pokud by byl vytvořen alternativní předpoklad, a sice, že první objekt je modrý. Výsledkem je v tomto případě použití výrazu „bez ztráty obecnosti“.

Viz také

Reference

  1. ^ "Bez ztráty obecnosti". Umění řešení problémů. Citováno 2019-10-21.
  2. ^ Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D .; Zhang, Ping (2008), Matematické důkazy / Přechod k pokročilé matematice (2. vyd.), Pearson / Addison Wesley, str. 80–81, ISBN  0-321-39053-9
  3. ^ A b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - bez ztráty obecnosti“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-10-21.
  4. ^ z právě prokázané implikace záměnou X a y
  5. ^ symetrií P
  6. ^ „Acyklická nerovnost ve třech proměnných“. www.cut-the-knot.org. Citováno 2019-10-21.

externí odkazy