Kvantová logická brána - Quantum logic gate - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Kvantová logická brána“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Února 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v kvantové výpočty a konkrétně kvantový obvod model výpočtu, a kvantová logická brána (nebo jednoduše kvantová brána) je základní kvantový obvod působí na malém počtu qubits. Jsou to stavební kameny kvantových obvodů, jako klasické logické brány jsou pro konvenční digitální obvody.

Na rozdíl od mnoha klasických logických bran jsou kvantové logické brány reverzibilní. Je však možné provádět klasické výpočty pouze za použití vratných bran. Například reverzibilní Toffoli brána může implementovat všechny booleovské funkce, často za cenu nutnosti použití ancilla bity. Brána Toffoli má přímý kvantový ekvivalent, což ukazuje, že kvantové obvody mohou provádět všechny operace prováděné klasickými obvody.

Zastoupení

Kvantová logická hradla jsou reprezentována unitární matice. Počet qubitů na vstupu a výstupu brány musí být stejný; brána, na kterou působí ${ displaystyle n}$ qubits je reprezentován a ${ displaystyle 2 ^ {n} krát 2 ^ {n}}$ unitární matice. Kvantové stavy, na které brány působí, jsou vektory ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ složité rozměry. Základní vektory jsou možné výsledky, jsou-li měřeny, a kvantový stav je lineární kombinací těchto výsledků. Nejběžnější kvantové brány fungují v prostorech jednoho nebo dvou qubitů, stejně jako běžná klasika logické brány pracovat na jednom nebo dvou bitech.

Kvantové stavy jsou obvykle reprezentovány „kety“ z matematické notace známé jako podprsenka.

Vektorová reprezentace jednoho qubitu je:

${ displaystyle | a rangle = v_ {0} | 0 rangle + v_ {1} | 1 rangle rightarrow { begin {bmatrix} v_ {0} v_ {1} end {bmatrix}}}$,

Tady, ${ displaystyle v_ {0}}$ a ${ displaystyle v_ {1}}$ jsou komplex amplitudy pravděpodobnosti qubit. Tyto hodnoty určují pravděpodobnost měření 0 nebo 1 při měření stavu qubitu. Vidět měření níže pro podrobnosti.

Hodnotu nula představuje ket ${ displaystyle | 0 rangle = { začátek {bmatrix} 1 0 konec {bmatrix}}}$, a hodnotu jedna představuje ket ${ displaystyle | 1 rangle = { začátek {bmatrix} 0 1 konec {bmatrix}}}$.

The tenzorový produkt (nebo produkt kronecker ) se používá ke kombinování kvantových stavů. Kombinovaný stav dvou qubitů je tenzorovým součinem dvou qubitů. Tenzorový produkt je označen symbolem ${ displaystyle otimes}$.

Vektorová reprezentace dvou qubitů je:

${ displaystyle | ab rangle = | a rangle otimes | b rangle = v_ {00} | 00 rangle + v_ {01} | 01 rangle + v_ {10} | 10 rangle + v_ {11} | 11 rangle rightarrow { begin {bmatrix} v_ {00} v_ {01} v_ {10} v_ {11} end {bmatrix}}}$,

Působení brány na určitý kvantový stav je zjištěno pomocí množení vektor ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ což představuje stav maticí ${ displaystyle U}$ představující bránu. Výsledkem je nový kvantový stav ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$

${ displaystyle U | psi _ {1} rangle = | psi _ {2} rangle}$

Pozoruhodné příklady

Hadamardova (H) brána

Hadamardova brána působí na jeden qubit. Mapuje základní stav ${ displaystyle | 0 rangle}$ na ${ displaystyle { frac {| 0 rangle + | 1 rangle} { sqrt {2}}}}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ na ${ displaystyle { frac {| 0 rangle - | 1 rangle} { sqrt {2}}}}$, což znamená, že měření bude mít stejnou pravděpodobnost, že se stane 1 nebo 0 (tj. vytvoří a superpozice ). Představuje rotaci ${ displaystyle pi}$ kolem osy ${ displaystyle ({ hat {x}} + { hat {z}}) / { sqrt {2}}}$ na Bloch koule. Ekvivalentně je to kombinace dvou rotací, ${ displaystyle pi}$ kolem osy Z, poté o ${ displaystyle pi / 2}$ kolem osy Y: ${ displaystyle R_ {y} ( pi / 2) R_ {z} ( pi) = iH}$. To je reprezentováno Hadamardova matice:

Obvodové znázornění Hadamardovy brány

${ displaystyle H = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}}}$.

Hadamardova brána je one-qubitová verze kvantová Fourierova transformace.

Od té doby ${ displaystyle HH ^ { dagger} = I}$ kde Já je matice identity, H je unitární matice (jako všechny ostatní kvantové logické brány).

Brána Pauli-X

Kvantové schéma zapojení brány NOT

Brána Pauli-X působí na jeden qubit. Jedná se o kvantový ekvivalent NENÍ brána pro klasické počítače (s ohledem na standardní základnu) ${ displaystyle | 0 rangle}$, ${ displaystyle | 1 rangle}$, který odlišuje Z-směr; v tom smyslu, že měření vlastní číslo +1 odpovídá klasické 1 /skutečný a -1 až 0 /Nepravdivé). Rovná se rotaci kolem osy X Bloch koule podle ${ displaystyle pi}$ radiány. Mapuje to ${ displaystyle | 0 rangle}$ na ${ displaystyle | 1 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ na ${ displaystyle | 0 rangle}$. Kvůli této povaze se někdy nazývá bit-flip. To je reprezentováno Pauli X matice:

${ displaystyle X = { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}}}$.

Pauli-Y brána

Brána Pauli-Y působí na jeden qubit. Rovná se rotaci kolem osy Y na Bloch koule podle ${ displaystyle pi}$ radiány. Mapuje to ${ displaystyle | 0 rangle}$ na ${ displaystyle i | 1 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ na ${ displaystyle -i | 0 rangle}$. To je reprezentováno Pauli Y matice:

${ displaystyle Y = { begin {bmatrix} 0 & -i i & 0 end {bmatrix}}}$.

Pauli-Z (${ displaystyle R _ { pi}}$) brána

Brána Pauli-Z působí na jeden qubit. Rovná se rotaci kolem osy Z osy Bloch koule podle ${ displaystyle pi}$ radiány. Jde tedy o speciální případ a brána fázového posuvu (které jsou popsány v další podsekci) s ${ displaystyle phi = pi}$. Opouští základní stav ${ displaystyle | 0 rangle}$ beze změny a mapy ${ displaystyle | 1 rangle}$ na ${ displaystyle - | 1 rangle}$. Kvůli této povaze se někdy nazývá fázové převrácení. To je reprezentováno Pauli Matice Z:

${ displaystyle Z = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}}}$.

Pauliho matice jsou involutární

Čtverec Pauliho matice je matice identity.

${ displaystyle I ^ {2} = X ^ {2} = Y ^ {2} = Z ^ {2} = - iXYZ = I}$

Druhá odmocnina brány NOT (√NE)

Kvantové obvodové schéma brány s odmocninou NOT

Druhá odmocnina brány NOT (nebo druhá odmocnina Pauli-X, ${ displaystyle { sqrt {X}}}$) působí na jeden qubit. Mapuje základní stav ${ displaystyle | 0 rangle}$ na ${ displaystyle { frac {(1 + i) | 0 rangle + (1-i) | 1 rangle} {2}}}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ na ${ displaystyle { frac {(1-i) | 0 rangle + (1 + i) | 1 rangle} {2}}}$.

${ displaystyle { sqrt {X}} = { sqrt {NOT}} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 + i & 1-i 1-i & 1 + i end { bmatrix}}}$.

${ displaystyle X = ({ sqrt {NOT}}) ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}}}$.

Na druhou kořenovou bránu lze postavit pro všechny ostatní brány nalezením jednotkové matice, která, vynásobená sama sebou, získá bránu, kterou si přejete postavit druhou mocninu brány. Všechny racionální exponenty všech bran lze najít podobně.

Fázový posun (${ displaystyle R _ { phi}}$) brány

Jedná se o rodinu bran typu single-qubit, které mapují základní stavy ${ displaystyle | 0 rangle mapsto | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle mapsto e ^ {i phi} | 1 rangle}$. Pravděpodobnost měření a ${ displaystyle | 0 rangle}$ nebo ${ displaystyle | 1 rangle}$ se po použití této brány nezmění, ale upravuje fázi kvantového stavu. To je ekvivalentní trasování vodorovného kruhu (linie zeměpisné šířky) na Blochově sféře pomocí ${ displaystyle phi}$ radiány.

${ displaystyle R _ { phi} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {i phi} end {bmatrix}}}$

kde ${ displaystyle phi}$ je fázový posun. Některé běžné příklady jsou T brána kde ${ displaystyle phi = { frac { pi} {4}}}$, fázová brána (napsaná S, ačkoli S se někdy používá pro brány SWAP) kde ${ displaystyle phi = { frac { pi} {2}}}$ a brána Pauli-Z kde ${ displaystyle phi = pi}$.

Brány fázového posunu spolu souvisejí takto:

${ displaystyle Z = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {i pi} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}}}$

${ displaystyle S = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {i { frac { pi} {2}}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & i end { bmatrix}} = { sqrt {Z}}}$

${ displaystyle T = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & e ^ {i { frac { pi} {4}}} end {bmatrix}} = { sqrt {S}} = { sqrt [{ 4}] {Z}}}$

Libovolná brána s fázovým posuvem s jedním qubitem ${ displaystyle R _ { phi}}$ jsou nativně dostupné pro transmon kvantové procesory prostřednictvím časování mikrovlnných řídicích pulzů.^[1]

Řízený fázový posun

2kbitová brána s fázovým posuvem (někdy nazývaná CPHASE) je:

${ displaystyle CR _ { phi} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & e ^ {i phi} end {bmatrix}}}$

S ohledem na výpočetní základnu posouvá fázi s ${ displaystyle phi}$ pouze pokud jedná na stát ${ displaystyle | 11 rangle}$.

${ displaystyle | a, b rangle mapsto { begin {cases} | a, e ^ {i phi} b rangle & { mbox {for}} a = b = 1 | a, b rangle & { mbox {jinak.}} end {cases}}}$

Swap (SWAP) brána

Reprezentace obvodu brány SWAP

Výměnná brána zamění dva qubity. S ohledem na základ ${ displaystyle | 00 rangle}$, ${ displaystyle | 01 rangle}$, ${ displaystyle | 10 rangle}$, ${ displaystyle | 11 rangle}$, je reprezentován maticí:

${ displaystyle { mbox {SWAP}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$.

Druhá odmocnina Swap brány (√SWAP)

Obvodové znázornění ${ displaystyle { sqrt { mbox {SWAP}}}}$ brána

The ${ displaystyle { sqrt { mbox {SWAP}}}}$ gate provádí v polovině cesty dvoubitový swap. Je univerzální tak, že z libovolné brány mnoha qubitů lze postavit pouze ${ displaystyle { sqrt { mbox {SWAP}}}}$ a brány single qubit. The ${ displaystyle { sqrt { mbox {SWAP}}}}$ brána není, nicméně maximálně zapletená; k výrobě stavu Bell ze stavů produktu je zapotřebí více než jedna jeho aplikace. S ohledem na základ ${ displaystyle | 00 rangle}$, ${ displaystyle | 01 rangle}$, ${ displaystyle | 10 rangle}$, ${ displaystyle | 11 rangle}$, je reprezentován maticí:

${ displaystyle { sqrt { mbox {SWAP}}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & { frac {1} {2}} (1 + i) & { frac {1} {2} } (1-i) & 0 0 & { frac {1} {2}} (1-i) & { frac {1} {2}} (1 + i) & 0 0 & 0 & 0 & 1 end { bmatrix}}}$.

Řízené brány (CX CY CZ)

Reprezentace obvodu ovládané brány NOT

Řízené brány fungují na 2 nebo více qubitech, kde jeden nebo více qubitů funguje jako kontrola pro nějakou operaci. Například řízená NOT brána (nebo CNOT nebo CX) působí na 2 qubity a provádí operaci NOT na druhém qubitu, pouze když je první qubit ${ displaystyle | 1 rangle}$, a jinak ji ponechá beze změny. S ohledem na základ ${ displaystyle | 00 rangle}$, ${ displaystyle | 01 rangle}$, ${ displaystyle | 10 rangle}$, ${ displaystyle | 11 rangle}$, je reprezentován maticí:

${ displaystyle { mbox {CNOT}} = { mbox {CX}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}}$.

Bránu CNOT (nebo ovládanou Pauli-X) lze popsat jako bránu, která mapuje ${ displaystyle | a, b rangle}$ na ${ displaystyle | a, a oplus b rangle}$.

Obecněji, pokud U je brána, která pracuje na jednotlivých qubitech s maticovou reprezentací

${ displaystyle U = { begin {bmatrix} u_ {00} & u_ {01} u_ {10} & u_ {11} end {bmatrix}}}$,

pak brána s řízeným U je brána, která pracuje na dvou qubitech takovým způsobem, že první qubit slouží jako kontrola. Mapuje základní stavy následujícím způsobem.

Reprezentace obvodu řízeného-U brána

${ displaystyle | 00 rangle mapsto | 00 rangle}$

${ displaystyle | 01 rangle mapsto | 01 rangle}$

${ displaystyle | 10 rangle mapsto | 1 rangle otimes U | 0 rangle = | 1 rangle otimes left (u_ {00} | 0 rangle + u_ {10} | 1 rangle right) }$

${ displaystyle | 11 rangle mapsto | 1 rangle otimes U | 1 rangle = | 1 rangle otimes left (u_ {01} | 0 rangle + u_ {11} | 1 rangle right) }$

Matice představující kontrolované U je

${ displaystyle { mbox {C}} (U) = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & u_ {00} & u_ {01} 0 & 0 & u_ {10} & u_ {11} end {bmatrix}} }$.

řízené brány X, Y a Z

brána s řízeným X

brána s řízeným Y

brána s řízeným Z

Když U jeden z Pauliho matice, σ_X, σ_y, nebo σ_z, příslušné výrazy „kontrolované-X„,“ řízeno-Y„neboZ„jsou někdy používány.^[2] Někdy je to zkráceno pouze na CX, CY a CZ.

Brána Toffoli (CCNOT)

Reprezentace obvodu brány Toffoli

Brána Toffoli, pojmenovaná po Tommaso Toffoli; také nazývaná brána CCNOT nebo Deutsch ${ displaystyle D ( pi / 2)}$ brána; je 3-bitová brána, což je univerzální pro klasický výpočet, ale ne pro kvantový výpočet. Kvantová brána Toffoli je stejná brána definovaná pro 3 qubity. Pokud se omezíme pouze na přijímání vstupních qubitů, které jsou ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$, pak pokud jsou první dva bity ve stavu ${ displaystyle | 1 rangle}$ aplikuje Pauli-X (nebo NE) na třetí bit, jinak nic nedělá. Je to příklad řízené brány. Jelikož se jedná o kvantový analog klasické brány, je zcela specifikován její pravdivostní tabulkou. Brána Toffoli je univerzální v kombinaci s hadamardskou bránou s jedním qubitem.^[3]

Lze jej také popsat jako bránu, která mapuje ${ displaystyle | a, b, c rangle}$ na ${ displaystyle | a, b, c oplus ab rangle}$.

Brána Fredkin (CSWAP)

Obvodové znázornění brány Fredkin

Brána Fredkin (také brána CSWAP nebo CS), pojmenovaná po Edward Fredkin, je 3bitová brána, která provádí a kontrolované vyměnit. to je univerzální pro klasický výpočet. Má užitečnou vlastnost, že čísla 0 a 1 jsou zachována po celou dobu, což v model kulečníkové koule znamená stejný počet koulí na výstupu jako vstup.

Spojovací brána Ising (XX)

Brána Ising (nebo brána XX) je 2kbitová brána, která je nativně implementována v některých kvantových počítačích s zachycenými ionty.^[4][5] Je definován jako

${ displaystyle XX _ { phi} = cos ( phi) I otimes Ii sin ( phi) sigma _ {x} otimes sigma _ {x} = { begin {bmatrix} cos ( phi) & 0 & 0 & -i sin ( phi) 0 & cos ( phi) & - i sin ( phi) & 0 0 & -i sin ( phi) & cos ( phi) & 0 -i sin ( phi) & 0 & 0 & cos ( phi) end {bmatrix}}}$,

Spojovací brána Ising (YY)

${ displaystyle YY _ { phi} = { begin {bmatrix} cos ( phi) & 0 & 0 & i sin ( phi) 0 & cos ( phi) & - i sin ( phi) & 0 0 & -i sin ( phi) & cos ( phi) & 0 i sin ( phi) & 0 & 0 & cos ( phi) end {bmatrix}}}$,

Spojovací brána Ising (ZZ)

${ displaystyle ZZ _ { phi} = { begin {bmatrix} e ^ {i phi / 2} & 0 & 0 & 0 0 & e ^ {- i phi / 2} & 0 & 0 0 & 0 & e ^ {- i phi / 2} & 0 0 & 0 & 0 & e ^ {i phi / 2} end {bmatrix}}}$^[6],

Deutsch (${ displaystyle D _ { theta}}$) brána

Deutsch (nebo ${ displaystyle D _ { theta}}$) brána, pojmenovaná po fyzikovi David Deutsch je tříbitová brána. Je definován jako

${ displaystyle | a, b, c rangle mapsto { begin {cases} i cos ( theta) | a, b, c rangle + sin ( theta) | a, b, 1-c rangle & { mbox {for}} a = b = 1 | a, b, c rangle & { mbox {jinak.}} end {případy}}}$

Bohužel fungující německá brána zůstala mimo dosah kvůli nedostatku protokolu. Byl však navržen způsob realizace takového Deutsch brána s interakcí dipól-dipól v neutrálních atomech.

Univerzální kvantové brány

CNOT i ${ displaystyle { sqrt { mbox {SWAP}}}}$ jsou univerzální dvoubitové brány a lze je navzájem transformovat.

Neformálně sada univerzální kvantové brány je libovolná sada bran, na kterou lze omezit jakoukoli operaci možnou na kvantovém počítači, to znamená, že jakoukoli jinou jednotnou operaci lze vyjádřit jako konečnou posloupnost bran ze sady. Technicky je to nemožné s ničím menším než nespočet množina bran, protože počet možných kvantových bran je nespočetný, zatímco počet konečných sekvencí z konečné množiny je počitatelný. Abychom tento problém vyřešili, požadujeme pouze to, aby každá kvantová operace mohla být aproximována posloupností bran z této konečné množiny. Navíc pro unitární na konstantním počtu qubitů, Věta Solovay – Kitaev zaručuje, že toho lze dosáhnout efektivně.

Běžnou sadou univerzálních bran je Clifford Sada brány + T, která se skládá z bran CNOT, H, S a T. (Samotná sada Clifford není univerzální a lze ji klasicky efektivně simulovat Gottesman-Knillova věta.)

Jednobranovou sadu univerzálních kvantových bran lze také formulovat pomocí tříkvittu Deutsch brána ${ displaystyle D ( theta)}$, který provádí transformaci^[7]

${ displaystyle | a, b, c rangle mapsto { begin {cases} i cos ( theta) | a, b, c rangle + sin ( theta) | a, b, 1-c rangle & { mbox {for}} a = b = 1 | a, b, c rangle & { mbox {jinak.}} end {případy}}}$

Univerzální logická brána pro reverzibilní klasické výpočty, Toffoli brána, je redukovatelný na Deutsch brána, ${ displaystyle D ({ begin {matrix} { frac { pi} {2}} end {matrix}})}$, což ukazuje, že všechny reverzibilní klasické logické operace lze provádět na univerzálním kvantovém počítači.

Existuje také jediná dvoubitová brána dostatečná pro univerzálnost, protože ji lze použít na jakékoli páry qubitů ${ displaystyle (k, k + 1) mod n}$ na obvodu šířky ${ displaystyle n}$.^[8]

Další sadu univerzálních kvantových bran tvoří brána Ising a brána fázového posuvu. Jedná se o soubor bran, které jsou nativně dostupné v některých kvantových počítačích s chycenými ionty.^[5]

Složení obvodu

Sériově kabelové brány

Dvě brány Y a X v sérii. Pořadí, ve kterém se na drátu objeví, je při jejich násobení obráceno.

Předpokládejme, že máme dvě brány A a B, na které obě působí ${ displaystyle n}$ qubits. Když je B položeno za A (sériový obvod), pak lze účinek dvou bran popsat jako jednu bránu C.

${ displaystyle C = B cdot A}$

Kde ${ displaystyle cdot}$ je obvyklé násobení matic. Výsledná brána C bude mít stejné rozměry jako A a B. Pořadí, ve kterém by se brány objevily v schématu zapojení, je při jejich násobení obráceno.^[9][10]

Například uvedení brány Pauli X. po brána Pauli Y, která působí na jeden qubit, lze popsat jako jednu kombinovanou bránu C:

${ displaystyle C = X cdot Y = { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} 0 & -i i & 0 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} i & 0 0 & -i end {bmatrix}}}$

Symbol produktu (${ displaystyle cdot}$) je často vynechán.

Paralelní brány

Dvě brány ${ displaystyle Y}$ a ${ displaystyle X}$ paralelně je ekvivalentní bráně ${ displaystyle Y otimes X}$

The tenzorový produkt (nebo produkt kronecker ) dvou kvantových bran je brána, která se rovná dvěma branám paralelně.^[11][12]

Pokud, jako na obrázku, kombinujeme bránu Pauli-Y s bránou Pauli-X paralelně, pak to lze zapsat jako:

${ displaystyle C = Y otimes X = { begin {bmatrix} 0 & -i i & 0 end {bmatrix}} otimes { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} & - i { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} i { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} & 0 { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i 0 & 0 & -i & 0 0 & i & 0 & 0 i & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$

Jak Pauli-X, tak Pauli-Y brána působí na jeden qubit. Výsledná brána ${ displaystyle C}$ jednat na dva qubits.

Hadamardova transformace

Brána ${ displaystyle H_ {2} = H otimes H}$ je Hadamardova brána (${ displaystyle H}$) aplikován paralelně na 2 qubits. Může být napsán jako:

${ displaystyle H_ {2} = H otimes H = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} otimes { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 end {bmatrix}}}$

Tato „dvoukbitová paralelní Hadamardova brána“ bude při použití například na dvoukbitový nulový vektor (${ displaystyle | 00 rangle}$), vytvoří kvantový stav, který má stejnou pravděpodobnost, že bude pozorován v některém ze čtyř možných výsledků; 00, 01, 10 a 11. Tuto operaci můžeme napsat jako:

${ displaystyle H_ {2} | 00 rangle = { frac {1} {2}} { začátek {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 0 0 0 end {bmatrix}} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 1 1 1 end {bmatrix}} = { frac {1} {2}} | 00 rangle + { frac {1} {2}} | 01 rangle + { frac {1} {2 }} | 10 rangle + { frac {1} {2}} | 11 rangle = { frac {| 00 rangle + | 01 rangle + | 10 rangle + | 11 rangle} {2}} }$

Zde je amplituda pro každý měřitelný stav ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$. Pravděpodobnost pozorování jakéhokoli stavu je druhou mocninou absolutní hodnoty amplitudy měřitelných stavů, což ve výše uvedeném příkladu znamená, že existuje jeden ze čtyř, který sledujeme kterýkoli z jednotlivých čtyř případů. Vidět měření pro detaily.

${ displaystyle H_ {2}}$ provádí Hadamardova transformace na dvou qubitech. Podobně brána ${ displaystyle underbrace {H otimes H otimes dots otimes H} _ {n { text {times}}} = bigotimes _ {1} ^ {n} H = H ^ { otimes n} = H_ {n}}$ provádí Hadamardovu transformaci na a Registrovat z ${ displaystyle n}$ qubits.

Při použití v registru ${ displaystyle n}$ qubits všechny inicializovány na ${ displaystyle | 0 rangle}$Hadamardova transformace staví kvantový registr do superpozice se stejnou pravděpodobností, že bude měřena v kterémkoli z nich ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ možné stavy:

${ displaystyle bigotimes _ {0} ^ {n-1} H bigotimes _ {0} ^ {n-1} | 0 rangle = { frac {1} { sqrt {2 ^ {n}}} } { begin {bmatrix} 1 1 vdots 1 end {bmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2 ^ {n}}}} { Big (} | 0 rangle + | 1 rangle + dots + | 2 ^ {n} -1 rangle { Big)} = { frac {1} { sqrt {2 ^ {n}}}}} součet _ {i = 0} ^ {2 ^ {n} -1} | i rangle}$

Tento stát je jednotná superpozice a je generován jako první krok v některých vyhledávacích algoritmech, například v amplitudová amplifikace a odhad fáze.

Měření tento stav má za následek a náhodné číslo mezi ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 2 ^ {n} -1 rangle}$. Jak náhodné je číslo, závisí na věrnost logických bran. Pokud není měřeno, jedná se o kvantový stav se stejnou amplitudou pravděpodobnosti ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2 ^ {n}}}}}$ pro každý z možných stavů.

Hadamardova transformace působí na registr ${ displaystyle | psi rangle}$ s ${ displaystyle n}$ qubits takový, že ${ displaystyle | psi rangle = bigotimes _ {i = 0} ^ {n-1} | psi _ {i} rangle}$ jak následuje:

${ displaystyle bigotimes _ {0} ^ {n-1} H | psi rangle = bigotimes _ {i = 0} ^ {n-1} { frac {| 0 rangle + (- 1) ^ { psi _ {i}} | 1 rangle} { sqrt {2}}} = { frac {1} { sqrt {2 ^ {n}}}} bigotimes _ {i = 0} ^ { n-1} { Big (} | 0 rangle + (- 1) ^ { psi _ {i}} | 1 rangle { Big)} = H | psi _ {0} rangle otimes H | psi _ {1} rangle otimes cdots otimes H | psi _ {n-1} rangle}$

Aplikace na zapletené státy

Pokud se na dva nebo více qubitů pohlíží jako na jeden kvantový stav, tento kombinovaný stav se rovná tenzorovému produktu základních qubitů. Libovolný stav, který lze zapsat jako tenzorový produkt ze základních subsystémů, se nazývá oddělitelné stavy. Na druhou stranu, zapletený stav je jakýkoli stav, který nelze faktorizovat tenzorem, nebo jinými slovy: Zapletený stav nelze zapsat jako tenzorový součin jeho stavů qubits stavů. Zvláštní pozornost je třeba věnovat aplikaci brány na konstituční qubits, které tvoří zapletené stavy.

Pokud máme sadu N qubits, které jsou zapletené a chceme použít kvantovou bránu na M matice identity takže se jejich tenzorový produkt stane bránou, která působí na N qubits. Matice identity (${ displaystyle I}$) je reprezentace brány, která mapuje každý stav k sobě (tj. nedělá vůbec nic). V schématu zapojení se identifikační brána nebo matice objeví jako pouhý drát.

Příklad uvedený v textu. Hadamardova brána ${ displaystyle H}$ jednat pouze na 1 qubit, ale ${ displaystyle | psi rangle}$ je zapletený kvantový stav, který překlenuje 2 qubity. V našem příkladu ${ displaystyle | psi rangle = { frac {| 00 rangle + | 11 rangle} { sqrt {2}}}}$

Například Hadamardova brána (${ displaystyle H}$) působí na jeden qubit, ale pokud jej například nakrmíme prvním ze dvou qubits, které tvoří zapletený Stav Bell ${ displaystyle { frac {| 00 rangle + | 11 rangle} { sqrt {2}}}}$, nemůžeme tuto operaci snadno napsat. Musíme rozšířit Hadamardovu bránu ${ displaystyle H}$ s bránou identity ${ displaystyle I}$ abychom mohli působit na kvantové stavy, které se rozprostírají dva qubits:

${ displaystyle K = H otimes I = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} otimes { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 end {bmatrix} }}$

Brána ${ displaystyle K}$ nyní lze použít na jakýkoli stav dvou qubitů, zapletený nebo jinak. Brána ${ displaystyle K}$ ponechá druhý qubit nedotčený a použije Hadamardovu transformaci na první qubit. Pokud se v našem příkladu použije na stav Bell, můžeme to napsat jako:

${ displaystyle K { frac {| 00 rangle + | 11 rangle} { sqrt {2}}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 end {bmatrix}} { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 0 0 1 end { bmatrix}} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 1 1 - 1 end {bmatrix}} = { frac {| 00 rangle + | 01 rangle + | 10 rangle - | 11 rangle} {2}}}$

The časová složitost pro množení dva ${ displaystyle n krát n}$-matrice je minimálně ${ displaystyle Omega (n ^ {2} log (n))}$^[13], pokud používáte klasický stroj. Protože velikost brány, která funguje dál ${ displaystyle q}$ qubits je ${ displaystyle 2 ^ {q} krát 2 ^ {q}}$ to znamená, že čas pro simulaci kroku v kvantovém obvodu (pomocí vynásobení bran), který pracuje na generických zapletených stavech, je ${ displaystyle Omega ({2 ^ {q}} ^ {2} protokol ({2 ^ {q}}))}}$. Z tohoto důvodu se předpokládá, že je nepoddajný simulovat velké zapletené kvantové systémy pomocí klasických počítačů. The Cliffordské brány je příkladem sady bran, které však lze efektivně simulovat na klasických počítačích.

Unitární inverze bran

Příklad: Jednotková inverze produktu Hadamard-CNOT. Tři brány ${ displaystyle H}$, ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle CNOT}$ jsou jejich vlastní jednotná inverze.

Protože všechny kvantové logické brány jsou reverzibilní, jakékoli složení více bran je také reverzibilní. Všechny produkty a tenzorové produkty unitární matice jsou také jednotné matice. To znamená, že je možné vytvořit inverzní funkci všech algoritmů a funkcí, pokud obsahují pouze brány.

Inicializace, měření, I / O a spontánní dekoherence jsou vedlejší efekty v kvantových počítačích. Brány však jsou čistě funkční a bijektivní.

Pokud je funkce ${ displaystyle F}$ je produktem ${ displaystyle m}$ brány (${ displaystyle F = A_ {1} cdot A_ {2} cdot ... cdot A_ {m}}$), unitární inverzní funkce, ${ displaystyle F ^ { dagger}}$, lze postavit:

Protože ${ displaystyle (UV) ^ { dagger} = V ^ { dagger} U ^ { dagger}}$ máme po rekurzivní aplikaci na sebe

${ displaystyle F ^ { dagger} = left ( prod _ {0$

Podobně, pokud je funkce ${ displaystyle G}$ skládá se ze dvou bran ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ tedy paralelně ${ displaystyle G = A otimes B}$ a ${ displaystyle G ^ { dagger} = (A otimes B) ^ { dagger} = A ^ { dagger} otimes B ^ { dagger}}$

Dýka (${ displaystyle dýka}$) označuje komplexní konjugát z přemístit. Také se tomu říká Hermitian adjoint.

Brány, které jsou jejich vlastními jednotnými inverzemi, se nazývají Hermitian nebo operátoři s vlastním nastavením. Některé základní brány, jako je Hadamard (H) a Pauli brány (I, X, Y, Z) jsou hermitovské operátory, zatímco jiné jako brány fázového posuvu (S, T) a brány Ising (XX, YY, ZZ) nejsou. Brány, které nejsou Hermitian, se někdy nazývají šikmo-poustevník nebo adjoint operátoři.

Od té doby ${ displaystyle F}$ je unitární matice, ${ displaystyle F ^ { dagger} F = FF ^ { dagger} = I}$ a ${ displaystyle F ^ { dagger} = F ^ {- 1}}$

Například algoritmus pro sčítání může být v některých situacích použit k odčítání, pokud je „spuštěn obráceně“, jako jeho jednotná inverze. The inverzní kvantová Fourierova transformace je unitární inverzní. Lze použít i unitární inverze uncomputation. Programovací jazyky pro kvantové počítače, jako např Microsoft je Q #^[14] a Bernhard Ömer je QCL obsahují inverzi funkcí jako programovací koncepty.

Měření

Reprezentace měření obvodu. Dva řádky na pravé straně představují klasický bit a jediný řádek na levé straně představuje qubit.

Měření (někdy nazývané pozorování) je nevratný, a proto nejde o kvantovou bránu, protože přiřazuje pozorovanou proměnnou k jedné hodnotě. Měření trvá kvantový stav a promítá jej do jednoho z základní vektory, s pravděpodobností rovnou čtverci hloubky vektoru ( norma nebo modul ) podél tohoto základního vektoru. Tohle je stochastický nevratná operace, protože nastavuje kvantový stav rovný základnímu vektoru, který představuje měřený stav (stav se „zhroutí“ na určitou jedinou hodnotu). Proč a jak, nebo i když tomu tak je, se říká problém měření.

Pravděpodobnost měření hodnoty pomocí amplituda pravděpodobnosti ${ displaystyle phi}$ je ${ displaystyle 1 geq | phi | ^ {2} geq 0}$, kde ${ displaystyle | cdot |}$ je modul.

Měření jednoho qubitu, jehož kvantový stav je reprezentován vektorem ${ displaystyle a | 0 rangle + b | 1 rangle = { begin {bmatrix} a b end {bmatrix}}}$, bude mít za následek ${ displaystyle | 0 rangle}$ s pravděpodobností ${ displaystyle | a | ^ {2}}$a v ${ displaystyle | 1 rangle}$ s pravděpodobností ${ displaystyle | b | ^ {2}}$.

Například měření qubitu s kvantovým stavem ${ displaystyle { frac {| 0 rangle -i | 1 rangle} { sqrt {2}}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 -i end {bmatrix}}}$ získá se stejnou pravděpodobností ${ displaystyle | 0 rangle}$ nebo ${ displaystyle | 1 rangle}$.

Pro jeden qubit máme jednotkovou sféru ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$ s kvantovým stavem ${ displaystyle a | 0 rangle + b | 1 rangle}$ takhle ${ displaystyle | a | ^ {2} + | b | ^ {2} = 1}$. Stát lze přepsat jako ${ displaystyle | cos theta | ^ {2} + | sin theta | ^ {2} = 1}$, nebo ${ displaystyle | a | ^ {2} = cos ^ {2} theta}$ a ${ displaystyle | b | ^ {2} = sin ^ {2} theta}$.
Poznámka: ${ displaystyle | a | ^ {2}}$ je pravděpodobnost měření ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | b | ^ {2}}$ je pravděpodobnost měření ${ displaystyle | 1 rangle}$.

Kvantový stav ${ displaystyle | Psi rangle}$ to se klene ${ displaystyle n}$ qubits lze psát jako vektor v ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ komplex rozměry: ${ displaystyle | Psi rangle in mathbb {C} ^ {2 ^ {n}}}$. Je to proto, že tenzorový produkt ${ displaystyle n}$ qubits je vektor v ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ rozměry. Tímto způsobem, a Registrovat z ${ displaystyle n}$ qubits lze měřit na ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ odlišné státy, podobné tomu, jak registr ${ displaystyle n}$ klasický bity může držet ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ odlišné státy. Na rozdíl od bitů klasických počítačů mohou mít kvantové stavy nenulové pravděpodobnostní amplitudy ve více měřitelných hodnotách současně. Tomu se říká superpozice.

Součet všech pravděpodobností pro všechny výsledky se musí vždy rovnat ${ displaystyle 1}$. Další způsob, jak to říct, je, že Pythagorova věta zobecnit na ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2 ^ {n}}}$ má všechny kvantové stavy ${ displaystyle | Psi rangle}$ s ${ displaystyle n}$ qubits musí uspokojit ${ displaystyle 1 = součet _ {x = 0} ^ {2 ^ {n} -1} | a_ {x} | ^ {2}}$, kde ${ displaystyle a_ {x}}$ je amplituda pravděpodobnosti pro měřitelný stav ${ displaystyle | x rangle}$. Geometrická interpretace toho je možná hodnotový prostor kvantového stavu ${ displaystyle | Psi rangle}$ s ${ displaystyle n}$ qubits je povrch a jednotková koule v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2 ^ {n}}}$ a to unitární transformace (tj. kvantová logická hradla), které se na něj vztahují, jsou rotace na kouli. Měření je pak pravděpodobnostní projekce neboli stín bodů na povrchu tohoto komplex koule na základní vektory které překlenují prostor (a označí výsledky).

V mnoha případech je prostor reprezentován jako a Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ spíše než nějaké konkrétní ${ displaystyle 2 ^ {n}}$-rozměrný komplexní prostor. Počet dimenzí (definovaných základními vektory, a tedy i možné výsledky měření) pak operandy často implikují, například jako požadovaný státní prostor pro řešení a problém. v Groverův algoritmus, Lov pojmenoval tuto základní vektorovou sadu "databáze".

Výběr základních vektorů proti měření kvantového stavu ovlivní výsledek měření.^[15] Vidět Von Neumannova entropie pro detaily. V tomto článku vždy používáme výpočetní základ, což znamená, že jsme označili ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ základní vektory an ${ displaystyle n}$- qubit Registrovat ${ displaystyle | 0 rangle, | 1 rangle, | 2 rangle, cdots, | 2 ^ {n} -1 rangle}$, nebo použijte binární reprezentace ${ displaystyle | 0_ {10} rangle = | 0 tečky 00_ {2} rangle, | 1_ {10} rangle = | 0 tečky 01_ {2} rangle, | 2_ {10} rangle = | 0 dots 10_ {2} rangle, cdots, | 2 ^ {n} -1 rangle = | 111 dots 1_ {2} rangle}$.

V kvantové výpočetní doméně se obecně předpokládá, že základní vektory tvoří ortonormální základ.

Příklad použití alternativní měřící základny je v BB84 šifra.

Vliv měření na zapletené stavy

Brána Hadamard-CNOT, která při zadání vstupu ${ displaystyle | 00 rangle}$ vyrábí a Stav Bell.

Pokud dva kvantové stavy (tj. qubits nebo registry ) jsou zapletený (což znamená, že jejich kombinovaný stav nelze vyjádřit jako a tenzorový produkt ), měření jednoho registru ovlivňuje nebo odhaluje stav druhého registru také částečným nebo úplným sbalením jeho stavu. Tento efekt lze použít pro výpočet a používá se v mnoha algoritmech.

Kombinace Hadamard-CNOT působí na nulový stav následovně:

${ displaystyle CNOT (H otimes I) | 00 rangle = { Bigg (} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}} { Big (} { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}} otimes { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} { Big )} { Bigg)} { begin {bmatrix} 1 0 0 0 end {bmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 0 0 1 end {bmatrix}} = { frac {| 00 rangle + | 11 rangle} { sqrt {2}}}}$

Stav Bell v textu je ${ displaystyle | Psi rangle = a | 00 rangle + b | 01 rangle + c | 10 rangle + d | 11 rangle}$ kde ${ displaystyle a = d = { frac {1} { sqrt {2}}}}$ a ${ displaystyle b = c = 0}$. Proto jej lze popsat komplex letadlo překlenuta základní vektory ${ displaystyle | 00 rangle}$ a ${ displaystyle | 11 rangle}$, jako na obrázku. The jednotková koule (v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$), které představují možné hodnotový prostor systému 2 qubit protíná rovinu a ${ displaystyle | Psi rangle}$ leží na povrchu koulí jednotky. Protože ${ displaystyle | a | ^ {2} = | d | ^ {2} = 1/2}$, je stejná pravděpodobnost měření tohoto stavu na ${ displaystyle | 00 rangle}$ nebo ${ displaystyle | 11 rangle}$a nulová pravděpodobnost měření na ${ displaystyle | 01 rangle}$ nebo ${ displaystyle | 10 rangle}$.

Tento výsledný stav je Stav Bell ${ displaystyle { frac {| 00 rangle + | 11 rangle} { sqrt {2}}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 0 0 1 end {bmatrix}}}$. Nelze jej popsat jako tenzorový produkt dvou qubitů. Neexistuje žádné řešení pro

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} otimes { begin {bmatrix} w z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} xw xz yw yz end {bmatrix}} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {bmatrix} 1 0 0 1 end {bmatrix}}}$

protože například ${ displaystyle w}$ musí být nenulová i nula v případě ${ displaystyle xw}$ a ${ displaystyle yw}$.

Kvantový stav rozpětí dva qubits. Tomu se říká zapletení. Měření jednoho ze dvou qubitů, které tvoří tento stav Bell, bude mít za následek, že druhý qubit logicky musí mít stejnou hodnotu, oba musí být stejné: Buď bude nalezen ve stavu ${ displaystyle | 00 rangle}$nebo ve státě ${ displaystyle | 11 rangle}$. Měříme-li například jeden z qubitů ${ displaystyle | 1 rangle}$, pak musí být i druhý qubit ${ displaystyle | 1 rangle}$, protože jejich kombinovaný stav stal se ${ displaystyle | 11 rangle}$. Měření jednoho z qubitů sbalí celý kvantový stav, který překlenuje dva qubity.

The GHZ stát je podobný zapletený kvantový stav, který zahrnuje tři nebo více qubitů.

K tomuto typu přiřazení hodnoty dochází okamžitě na jakoukoli vzdálenost a toto bylo od roku 2018 experimentálně ověřeno QUESS na vzdálenosti až 1200 kilometrů.^[16][17][18] Že se zdá, že k jevu dochází okamžitě, na rozdíl od času, který by trvalo projetí vzdálenosti oddělující qubity rychlostí světla, se nazývá Paradox EPR, and it is an open question in physics how to resolve this. Originally it was solved by giving up the assumption of local realism, ale jiné interpretace have also emerged. Pro více informací viz Bell testovací experimenty. The no-communication theorem proves that this phenomena cannot be used for faster-than-light communication of classical information.

Measurement on registers with pairwise entangled qubits

The effect of a unitary transform F on a register A that is in a superposition of ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ states and pairwise entangled with the register B. Here, ${ displaystyle n}$ is 3 (each register has 3 qubits).

Vezměte si Registrovat A s ${ displaystyle n}$ qubits all initialized to ${ displaystyle | 0 rangle}$, and feed it through a parallel Hadamard gate ${displaystyle igotimes _{1}^{n}H}$. Register A will then enter the state ${displaystyle {frac {1}{sqrt {2^{n}}}}sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k angle }$ that have equal probability of when measured to be in any of its ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ možné stavy; ${ displaystyle | 0 rangle}$ na ${displaystyle |2^{n}-1 angle }$. Take a second register B, also with ${ displaystyle n}$ qubits initialized to ${ displaystyle | 0 rangle}$ and pairwise CNOT its qubits with the qubits in register A, such that for each ${ displaystyle p}$ the qubits ${displaystyle A_{p}}$ a ${ displaystyle B_ {p}}$ forms the state ${displaystyle |A_{p}B_{p} angle ={frac {|00 angle +|11 angle }{sqrt {2}}}}$

If we now measure the qubits in register A, then register B will be found to contain the same value as A. If we however instead apply a quantum logic gate ${ displaystyle F}$ on A and then measure, then ${displaystyle |A angle =F|B angle iff F^{dagger }|A angle =|B angle }$, kde ${displaystyle F^{dagger }}$ je unitary inverse z ${ displaystyle F}$.

Because of how unitary inverses of gates akt, ${displaystyle F^{dagger }|A angle =F^{-1}(|A angle )=|B angle }$. For example, say ${displaystyle F(x)=x+3{pmod {2^{n}}}}$, pak ${displaystyle |B angle =|A-3{pmod {2^{n}}} angle }$.

The equality will hold no matter in which order measurement is performed (on the registers A or B), assuming that ${ displaystyle F}$ has finished evaluation. Measurement can even be randomly and concurrently interleaved qubit by qubit, since the measurements assignment of one qubit will limit the possible value-space from the other entangled qubits.

Even though the equalities holds, the probabilities for measuring the possible outcomes may change as a result of applying ${ displaystyle F}$, as may be the intent in a quantum search algorithm.

This effect of value-sharing via entanglement is used in Shorův algoritmus, phase estimation a v quantum counting. Za použití Fourierova transformace to amplify the probability amplitudes of the solution states for some problém is a generic method known as "Fourier fishing ". Viz také amplitude amplification.

Logic function synthesis

Unitary transformations that are not available in the set of gates natively available at the quantum computer (the primitive gates) can be synthesised, or approximated, by combining the available primitive gates in a obvod. One way to do this is to factorize the matrix that encodes the unitary transformation into a product of tensor products (i.e. series and parallel combinations) of the available primitive gates. The skupina U(2^q) je skupina symetrie for the gates that act on ${ displaystyle q}$ qubits. The Věta Solovay – Kitaev shows that given a sufficient set of primitive gates, there exist an efficient approximate for any gate. Factorization is then the problém of finding a path in U(2^q) z generating set of primitive gates. For large number of qubits this direct approach to solving the problem is intractable for classical computers.^[19]

Unitary transformations (functions) that only consist of gates can themselves be fully described as matrices, just like the primitive gates. If a function ${ displaystyle F}$ is a unitary transformation that map ${ displaystyle n}$ qubits from ${ displaystyle | psi rangle}$ na ${displaystyle |F(psi ) angle }$, then the matrix that represents this transformation have the size ${displaystyle 2^{n} imes 2^{n}}$. For example, a function that act on a "qubyte" (a register of 8 qubits) would be described as a matrix with ${displaystyle 2^{8} imes 2^{8}=256 imes 256}$ elementy.

Because the gates unitární nature, all functions must be reverzibilní and always be bijektivní mappings of input to output. There must always exist a function ${displaystyle F^{-1}}$ takhle ${displaystyle F^{-1}(F(|psi angle ))=|psi angle }$. Functions that are not invertible can be made invertible by adding ancilla qubits to the input or the output, or both. For example, when implementing a boolean function whose number of input and output qubits are not the same, ancilla qubits must be used as "padding". The ancilla qubits can then either be nepočítaný or left untouched. Measuring or otherwise collapsing the quantum state of an ancilla qubit (for example by re-initializing the value of it, or by its spontaneous dekoherence ) that have not been uncomputed may result in errors^[20][21], as their state may be entangled with the qubits that are still being used in computations.

Logically irreversible operations, for example addition modulo ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ ze dvou ${ displaystyle n}$-qubit registers a and b, ${displaystyle F(a,b)=a+b{pmod {2^{n}}}}$, can be made logically reversible by adding information to the output, so that the input can be computed from the output (i.e. there exist a function ${displaystyle F^{-1}}$). In our example, this can be done by passing on one of the input registers to the output: ${displaystyle F(|a angle otimes |b angle )=|a+b{pmod {2^{n}}} angle otimes |a angle }$. The output can then be used to compute the input (i.e. given the output ${ displaystyle a + b}$ a ${ displaystyle a}$, we can easily find the input; ${ displaystyle a}$ is given and ${displaystyle (a+b)-a=b}$) and the function is made bijective.

Všechno boolean algebraic expressions can be encoded as unitary transforms (quantum logic gates), for example by using combinations of the Pauli-X, CNOT and Toffoli gates. These gates are funkčně kompletní in the boolean logic domain.

There are many unitary transforms available in the libraries of Q #, QCL, Qiskit, a další quantum programming jazyky. It also appears in the literature.^[22][23]

Například, ${displaystyle inc(|x angle )=|x+1{pmod {2^{x_{length}}}} angle }$, kde ${displaystyle x_{length}}$ is the number of qubits that constitutes ${ displaystyle x}$, is implemented as the following in QCL^[24][25]:

The generated circuit, when ${displaystyle x_{length}=4}$.
Symbol ${ displaystyle oplus}$ označuje xor a ${ displaystyle land}$ označuje a, and comes from the boolean representation of controlled Pauli-X when applied to states that are in the computational basis.