Prostě propojený prostor - Simply connected space - Wikipedia

v topologie, a topologický prostor je nazýván jednoduše připojeno (nebo 1 připojenonebo 1-jednoduše připojeno^[1]) Pokud to je spojeno s cestou a každá cesta mezi dvěma body může být nepřetržitě transformována (intuitivně pro vložené mezery, zůstat v prostoru) na jakoukoli jinou takovou cestu při zachování dvou dotyčných koncových bodů. The základní skupina topologického prostoru je indikátorem selhání prostoru, který má být jednoduše spojen: topologický prostor spojený s cestou je jednoduše připojen právě tehdy, když je jeho základní skupina triviální.

Definice a ekvivalentní formulace

Tento tvar představuje sadu, která není jednoduše spojena, protože jakoukoli smyčku, která obklopuje jednu nebo více děr, nelze uzavřít do bodu bez opuštění oblasti.

A topologický prostor X je nazýván jednoduše připojeno pokud je připojen k cestě a je zapojena libovolná smyčka X definován F : S¹ → X lze zkrátit do bodu: existuje souvislá mapa F : D² → X takhle F omezeno na S¹ je F. Tady, S¹ a D.² označuje jednotkový kruh a zavřeno jednotka disku v Euklidovské letadlo resp.

Ekvivalentní formulace je tato: X je jednoduše připojeno tehdy a jen tehdy, je-li spojeno s cestou a kdykoli p : [0,1] → X a q : [0,1] → X jsou dvě cesty (tj. spojité mapy) se stejným počátečním a koncovým bodem (p(0) = q(0) a p(1) = q(1)) p lze průběžně deformovat na q při zachování obou koncových bodů. Výslovně existuje a homotopy ${ displaystyle F: [0,1] krát [0,1] rightarrow X}$ takhle ${ displaystyle F (x, 0) = p (x)}$ a ${ displaystyle F (x, 1) = q (x)}$.

Topologický prostor X je jednoduše připojen právě tehdy, když X je spojen s cestou a základní skupina z X v každém bodě je triviální, tj. skládá se pouze z prvek identity. Podobně, X je jednoduše připojeno právě tehdy, když pro všechny body ${ displaystyle x, y v X}$, soubor morfismy ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { Pi (X)} (x, y)}$ v základní grupoid z X má pouze jeden prvek.^[2]

v komplexní analýza: otevřená podmnožina ${ displaystyle X subseteq mathbb {C}}$ je jednoduše připojen právě tehdy, když oba X a jeho doplněk v Riemannova koule jsou připojeny. Sada komplexních čísel s imaginární částí striktně větší než nula a menší než jedna poskytuje pěkný příklad neomezené, spojené, otevřené podmnožiny roviny, jejíž doplněk není spojen. Je to však jednoduše připojeno. Mohlo by také být třeba zdůraznit, že zmírnění požadavku, že X být připojen vede k zajímavému průzkumu otevřených podmnožin roviny s připojeným rozšířeným doplňkem. Například (ne nutně připojená) otevřená sada připojila rozšířený doplněk přesně, když jsou jednoduše připojeny všechny její připojené komponenty.

Neformální diskuse

Neformálně je objekt v našem prostoru jednoduše spojen, pokud se skládá z jednoho kusu a nemá žádné „díry“, které by jím prošly celou cestu. Například ani kobliha, ani šálek kávy (s rukojetí) nejsou jednoduše připojeny, ale je jednoduše připojena dutá gumová koule. Ve dvou dimenzích není kruh jednoduše spojen, ale disk a čára jsou. Prostory, které jsou připojeno ale nejsou jednoduše spojeny není jednoduše připojen nebo znásobené připojení.

A koule je jednoduše připojen, protože každá smyčka může být smrštěna (na povrchu) do bodu.

Definice vylučuje pouze Rukojeť - otvory ve tvaru. Koule (nebo ekvivalentně gumová koule s dutým středem) je jednoduše spojena, protože jakákoli smyčka na povrchu koule se může smrštit do bodu, i když má v dutém středu „otvor“. Silnější podmínka, že objekt nemá žádné díry žádný dimenze kontraktibilita.

Příklady

Torus není jednoduše spojený povrch. Ani jedna ze dvou zde zobrazených barevných smyček nemůže být smrštěna do bodu, aniž by opustila povrch. A pevný torus není také jednoduše spojeno, protože fialová smyčka se nemůže smršťovat do bodu, aniž by opustila těleso.

• The Euklidovské letadlo R² je jednoduše připojen, ale R² minus původ (0,0) není. Li n > 2, pak oba Rⁿ a Rⁿ minus původ jsou jednoduše spojeny.
• Analogicky: n-dimenzionální koule Sⁿ je jednoduše připojen právě tehdy, když n ≥ 2.
• Každý konvexní podmnožina z Rⁿ je jednoduše připojen.
• A torus, (eliptický) válec, Möbiusův proužek, projektivní rovina a Kleinova láhev nejsou jednoduše spojeny.
• Každý topologický vektorový prostor je jednoduše připojen; to zahrnuje Banachovy prostory a Hilbertovy prostory.
• Pro n ≥ 2, speciální ortogonální skupina TAK(n,R) není jednoduše připojen a speciální jednotná skupina SU (n) je jednoduše připojen.
• Jednobodové zhutnění R není jednoduše připojen (i když R je jednoduše připojen).
• The dlouhá čára L je jednoduše připojen, ale jeho zhutnění, prodloužená dlouhá linka L* není (protože není připojena ani cesta).

Vlastnosti

Plocha (dvourozměrná topologická potrubí ) je jednoduše připojen právě tehdy, když je připojen a jeho rod (počet rukojeti povrchu) je 0.

Univerzální kryt jakéhokoli (vhodného) prostoru X je jednoduše propojený prostor, který se mapuje na X přes a krycí mapa.

Li X a Y jsou ekvivalent homotopy a X je jednoduše připojen, pak také je Y.

Obraz jednoduše připojené sady pod spojitou funkcí nemusí být jednoduše připojen. Vezměme si například komplexní rovinu pod exponenciální mapou: obrázek je C - {0}, který není jednoduše propojen.

Pojem jednoduché propojenosti je v komplexní analýza z následujících důvodů:

• The Cauchyho integrální věta uvádí, že pokud U je jednoduše připojená otevřená podmnožina souboru složité letadlo C, a F : U → C je holomorfní funkce, pak F má primitivní F na Ua hodnota každého linka integrální v U s integrand F záleží pouze na koncových bodech u a proti cesty a lze jej vypočítat jako F(proti) - F(u). Integrál tedy nezávisí na konkrétní spojující cestě u a proti.
• The Riemannova věta o mapování uvádí, že každá neprázdná otevřená jednoduše připojená podmnožina C (až na C sám) je shodně ekvivalentní do jednotka disku.

Pojem jednoduché propojenosti je rovněž zásadní podmínkou v EU Poincarého domněnka.

Viz také

• Základní skupina - Matematická skupina tříd homotopy smyček v topologickém prostoru
• Deformace se stáhne
• n-připojený prostor
• Cesta spojená
• Jedinečný prostor

Reference

• Spanier, Edwin (prosinec 1994). Algebraická topologie. Springer. ISBN  0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Funkce jedné komplexní proměnné I.. Springer. ISBN  0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN  3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (leden 2001). Komplexní analýza. Springer. ISBN  0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (srpen 1983). Úvod do obecné topologie. Vydavatelé New Age. ISBN  0-85226-444-5.