Dvourozměrný kritický Isingův model - Two-dimensional critical Ising model

The dvourozměrný kritický Isingův model je kritický limit z Isingův model ve dvou rozměrech. Je to teorie dvourozměrného konformního pole jehož symetrická algebra je Virasoro algebra s centrálním nábojem ${ displaystyle c = { tfrac {1} {2}}}$. Korelační funkce operátorů odstřeďování a energie je popsáno v ${ displaystyle (4,3)}$ minimální model. Zatímco minimální model byl přesně vyřešen, řešení nepokrývá další pozorovatelné objekty, jako jsou konektivity klastrů.

Minimální model

Prostor stavů a ​​konformní dimenze

The KAC stůl z ${ displaystyle (4,3)}$ minimální model je:

${ displaystyle { begin {array} {c | ccc} 2 & { frac {1} {2}} & { frac {1} {16}} & 0 1 & 0 & { frac {1} {16}} & { frac {1} {2}} hline & 1 & 2 & 3 end {pole}}}$

To znamená, že prostor států je generován třemi primární stavy, které odpovídají třem primárním polím nebo operátorům:^[1]

${ displaystyle { begin {array} {cccc} hline { text {indexy tabulky Kac}} & { text {Dimension}} & { text {primární pole}} & { text {název}} hline (1,1) { text {or}} (3,2) & 0 & mathbf {1} & { text {Identity}} (2,1) { text {or}} (2, 2) & { frac {1} {16}} & sigma & { text {Spin}} (1,2) { text {or}} (3,1) & { frac {1} {2}} & epsilon & { text {Energy}} hline end {pole}}}$

Rozklad prostoru států na neredukovatelné reprezentace produktu levotočivých a pravotočivých algeber Virasoro je

${ displaystyle { mathcal {S}} = { mathcal {R}} _ {0} otimes { bar { mathcal {R}}} _ {0} oplus { mathcal {R}} _ { frac {1} {16}} otimes { bar { mathcal {R}}} _ { frac {1} {16}} oplus { mathcal {R}} _ { frac {1} { 2}} otimes { bar { mathcal {R}}} _ { frac {1} {2}}}$

kde ${ displaystyle { mathcal {R}} _ { Delta}}$ je neredukovatelné nejhmotnější zastoupení Virasoro algebry s konformní rozměr ${ displaystyle Delta}$Zejména model Ising je diagonální a jednotný.

Znaky a funkce oddílu

The postavy ze tří reprezentací Virasoroovy algebry, které se objevují v prostoru států, jsou^[1]

${ displaystyle { begin {aligned} chi _ {0} (q) & = { frac {1} { eta (q)}} sum _ {k in mathbb {Z}} left ( q ^ { frac {(24k + 1) ^ {2}} {48}} - q ^ { frac {(24k + 7) ^ {2}} {48}} right) = { frac {1 } {2 { sqrt { eta (q)}}}} left ({ sqrt { theta _ {3} (0 | q)}} + { sqrt { theta _ {4} (0 | q)}} right) chi _ { frac {1} {16}} (q) & = { frac {1} { eta (q)}} sum _ {k in mathbb {Z}} left (q ^ { frac {(24k + 2) ^ {2}} {48}} - q ^ { frac {(24k + 10) ^ {2}} {48}} right ) = { frac {1} {2 { sqrt { eta (q)}}}} left ({ sqrt { theta _ {3} (0 | q)}} - { sqrt { theta _ {4} (0 | q)}} right) chi _ { frac {1} {2}} (q) & = { frac {1} { eta (q)}} sum _ {k in mathbb {Z}} left (q ^ { frac {(24k + 5) ^ {2}} {48}} - q ^ { frac {(24k + 11) ^ {2} } {48}} right) = { frac {1} { sqrt {2 eta (q)}}} { sqrt { theta _ {2} (0 | q)}} end {zarovnáno} }}$

kde ${ displaystyle eta (q)}$ je Funkce Dedekind eta, a ${ displaystyle theta _ {i} (0 | q)}$ jsou theta funkce Nome ${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$, například ${ displaystyle theta _ {3} (0 | q) = součet _ {n in mathbb {Z}} q ^ { frac {n ^ {2}} {2}}}$.v modulární S-matice, tj. matice ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ takhle ${ displaystyle chi _ {i} (- { tfrac {1} { tau}}) = součet _ {j} { mathcal {S}} _ {ij} chi _ {j} ( tau )}$, je^[1]

${ displaystyle { mathcal {S}} = { frac {1} {2}} left ({ begin {array} {ccc} 1 & 1 & { sqrt {2}} 1 & 1 & - { sqrt {2 }} { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} & 0 end {array}} right)}$

kde jsou pole uspořádána jako ${ displaystyle 1, sigma, epsilon}$.v modulární invariant funkce oddílu je

${ displaystyle Z (q) = levý | chi _ {0} (q) pravý | ^ {2} + levý | chi _ { frac {1} {16}} (q) pravý | ^ {2} + left | chi _ { frac {1} {2}} (q) right | ^ {2} = { frac {| theta _ {2} (0 | q) | + | theta _ {3} (0 | q) | + | theta _ {4} (0 | q) |} {2 | eta (q) |}}}$

Pravidla fúze a rozšiřování produktů operátorů

The pravidla fúze modelu jsou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {1} times mathbf {1} & = mathbf {1} mathbf {1} times sigma & = sigma mathbf {1} times epsilon & = epsilon sigma times sigma & = mathbf {1} + epsilon sigma times epsilon & = sigma epsilon times epsilon & = mathbf {1} end {zarovnáno}}}$

Pravidla fúze jsou podle ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ symetrie ${ displaystyle sigma to - sigma}$Konstanty tříbodové struktury jsou

${ displaystyle C _ { mathbf {1} mathbf {1} mathbf {1}} = C _ { mathbf {1} epsilon epsilon} = C _ { mathbf {1} sigma sigma} = 1 quad, quad C _ { sigma epsilon epsilon} = { frac {1} {2}}}$

Znát pravidla fúze a konstanty tříbodové struktury je možné například napsat rozšíření produktu operátoru

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sigma (z) sigma (0) & = | z | ^ {2 Delta _ { mathbf {1}} -4 Delta _ { sigma}} C _ { mathbf {1} sigma sigma} { Big (} mathbf {1} (0) + O (z) { Big)} + | z | ^ {2 Delta _ { epsilon} -4 Delta _ { sigma}} C _ { sigma sigma epsilon} { Big (} epsilon (0) + O (z) { Big)} & = | z | ^ {- { frac {1 } {4}}} { Big (} mathbf {1} (0) + O (z) { Big)} + { frac {1} {2}} | z | ^ { frac {3} {4}} { Big (} epsilon (0) + O (z) { Big)} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle Delta _ { mathbf {1}}, Delta _ { sigma}, Delta _ { epsilon}}$ jsou konformní rozměry primárních polí a vynechané výrazy ${ displaystyle O (z)}$ jsou příspěvky od potomská pole.

Korelační funkce na kouli

Libovolná jedno-, dvou- a tříbodová funkce primárních polí je určena konformní symetrií až po multiplikativní konstantu. Tato konstanta je nastavena na jednu pro jednobodové a dvoubodové funkce výběrem normalizace pole. Jedinými netriviálními dynamickými veličinami jsou tříbodové strukturní konstanty, které byly uvedeny výše v kontextu expanze produktu operátoru.

${ displaystyle left langle mathbf {1} (z_ {1}) right rangle = 1 , left langle sigma (z_ {1}) right rangle = 0 , left langle epsilon (z_ {1}) right rangle = 0}$

${ displaystyle left langle mathbf {1} (z_ {1}) mathbf {1} (z_ {2}) right rangle = 1 , left langle sigma (z_ {1}) sigma (z_ {2}) right rangle = | z_ {12} | ^ {- { frac {1} {4}}} , left langle epsilon (z_ {1}) epsilon (z_ {2}) right rangle = | z_ {12} | ^ {- 2}}$

s ${ displaystyle z_ {ij} = z_ {i} -z_ {j}}$.

${ displaystyle langle mathbf {1} sigma rangle = langle mathbf {1} epsilon rangle = langle sigma epsilon rangle = 0}$

${ displaystyle left langle mathbf {1} (z_ {1}) mathbf {1} (z_ {2}) mathbf {1} (z_ {3}) right rangle = 1 , left langle sigma (z_ {1}) sigma (z_ {2}) mathbf {1} (z_ {3}) right rangle = | z_ {12} | ^ {- { frac {1} {4}}} , left langle epsilon (z_ {1}) epsilon (z_ {2}) mathbf {1} (z_ {3}) right rangle = | z_ {12} | ^ {- 2}}$

${ displaystyle left langle sigma (z_ {1}) sigma (z_ {2}) epsilon (z_ {3}) right rangle = { frac {1} {2}} | z_ {12 } | ^ { frac {3} {4}} | z_ {13} | ^ {- 1} | z_ {23} | ^ {- 1}}$

${ displaystyle langle mathbf {1} mathbf {1} sigma rangle = langle mathbf {1} mathbf {1} epsilon rangle = langle mathbf {1} sigma epsilon rangle = langle sigma epsilon epsilon rangle = langle sigma sigma sigma rangle = langle epsilon epsilon epsilon rangle = 0}$

Tři netriviální čtyřbodové funkce jsou typu ${ displaystyle langle sigma ^ {4} rangle, langle sigma ^ {2} epsilon ^ {2} rangle, langle epsilon ^ {4} rangle}$. Pro čtyřbodovou funkci ${ displaystyle left langle prod _ {i = 1} ^ {4} V_ {i} (z_ {i}) right rangle}$, nechť ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {j} ^ {(s)}}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {j} ^ {(t)}}$ být kanálem s- a t Konformní bloky Virasoro, které odpovídají příspěvkům ${ displaystyle V_ {j} (z_ {2})}$ (a jeho potomci) v rozšíření produktu operátora ${ displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2})}$a ${ displaystyle V_ {j} (z_ {4})}$ (a jeho potomci) v rozšiřování produktu operátora ${ displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {4} (z_ {4})}$. Nechat ${ displaystyle x = { frac {z_ {12} z_ {34}} {z_ {13} z_ {24}}}}$ být křížový poměr.

V případě ${ displaystyle langle epsilon ^ {4} rangle}$, fúzní pravidla umožňují pouze jedno primární pole ve všech kanálech, konkrétně pole identity.^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} & langle epsilon ^ {4} rangle = left | { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(s)} right | ^ { 2} = left | { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(t)} right | ^ {2} & { mathcal {F}} _ { textbf {1 }} ^ {(s)} = { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(t)} = left [ prod _ {1 leq i$

V případě ${ displaystyle langle sigma ^ {2} epsilon ^ {2} rangle}$, pravidla fúze povolují pouze pole identity v kanálu s a pole rotace v kanálu t.^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} & langle sigma ^ {2} epsilon ^ {2} rangle = left | { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(s) } right | ^ {2} = C _ { sigma sigma epsilon} ^ {2} left | { mathcal {F}} _ { sigma} ^ {(t)} right | ^ {2} = { frac {1} {4}} left | { mathcal {F}} _ { sigma} ^ {(t)} right | ^ {2} & { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(s)} = { frac {1} {2}} { mathcal {F}} _ { sigma} ^ {(t)} = left [z_ {12} ^ { frac {1} {4}} z_ {34} ^ {- { frac {5} {8}}} vlevo (z_ {13} z_ {24} z_ {14} z_ {23} vpravo ) ^ {- { frac {3} {16}}} vpravo] { frac {1 - { frac {x} {2}}} {x ^ { frac {3} {8}} (1 -x) ^ { frac {5} {16}}}} { underset {(z_ {i}) = (x, 0, infty, 1)} {=}} { frac {1- { frac {x} {2}}} {x ^ { frac {1} {8}} (1-x) ^ { frac {1} {2}}}} end {zarovnáno}}}$

V případě ${ displaystyle langle sigma ^ {4} rangle}$, pravidla fúze umožňují dvě primární pole ve všech kanálech: pole identity a energetické pole.^[2] V tomto případě zapíšeme konformní bloky v případě ${ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}) = (x, 0, infty, 1)}$ pouze: obecný případ se získá vložením prefaktoru ${ displaystyle x ^ { frac {1} {24}} (1-x) ^ { frac {1} {24}} prod _ {1 leq i$a identifikace ${ displaystyle x}$ s křížovým poměrem.

${ displaystyle { begin {aligned} langle sigma ^ {4} rangle & = left | { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(s)} right | ^ { 2} + { frac {1} {4}} left | { mathcal {F}} _ { epsilon} ^ {(s)} right | ^ {2} = left | { mathcal {F }} _ { textbf {1}} ^ {(t)} vpravo | ^ {2} + { frac {1} {4}} vlevo | { mathcal {F}} _ { epsilon} ^ {(t)} vpravo | ^ {2} & = { frac {| 1 + { sqrt {x}} | + | 1 - { sqrt {x}} |} {2 | x | ^ { frac {1} {4}} | 1-x | ^ { frac {1} {4}}}} { podmnožina {x in (0,1)} {=}} { frac {1} {| x | ^ { frac {1} {4}} | 1-x | ^ { frac {1} {4}}}} end {zarovnáno}}}$

V případě ${ displaystyle langle sigma ^ {4} rangle}$, konformní bloky jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} & { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(s)} = { frac { sqrt { frac {1 + { sqrt {1- x}}} {2}}} {x ^ { frac {1} {8}} (1-x) ^ { frac {1} {8}}}} , ; ; { mathcal { F}} _ { epsilon} ^ {(s)} = { frac { sqrt {2-2 { sqrt {1-x}}}} {x ^ { frac {1} {8}} ( 1-x) ^ { frac {1} {8}}}} & { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(t)} = { frac {{ mathcal { F}} _ { textbf {1}} ^ {(s)}} { sqrt {2}}} + { frac {{ mathcal {F}} _ { epsilon} ^ {(s)}} {2 { sqrt {2}}}} = { frac { sqrt { frac {1 + { sqrt {x}}} {2}}} {x ^ { frac {1} {8}} (1-x) ^ { frac {1} {8}}}} , ; ; { mathcal {F}} _ { epsilon} ^ {(t)} = { sqrt {2}} { mathcal {F}} _ { textbf {1}} ^ {(s)} - { frac {{ mathcal {F}} _ { epsilon} ^ {(s)}} { sqrt {2 }}} = { frac { sqrt {2-2 { sqrt {x}}}} {x ^ { frac {1} {8}} (1-x) ^ { frac {1} {8 }}}} end {zarovnáno}}}$

Z reprezentace modelu z hlediska Dirac fermions, je možné vypočítat korelační funkce libovolného počtu operátorů rotace nebo energie:^[1]

${ displaystyle left langle prod _ {i = 1} ^ {2n} epsilon (z_ {i}) right rangle ^ {2} = left | det left ({ frac {1} {z_ {ij}}} vpravo) _ {1 leq i neq j leq 2n} vpravo | ^ {2}}$

${ displaystyle left langle prod _ {i = 1} ^ {2n} sigma (z_ {i}) right rangle ^ {2} = { frac {1} {2 ^ {n}}} sum _ { begin {array} {c} epsilon _ {i} = pm 1 sum _ {i = 1} ^ {2n} epsilon _ {i} = 0 end {pole}} prod _ {1 leq i$

Tyto vzorce mají zobecnění korelačních funkcí na torusu, které zahrnují theta funkce.^[1]

Jiné pozorovatelné

Provozovatel poruchy

Dvojrozměrný Isingův model je k sobě mapován dualitou vysoké a nízké teploty. Obrázek operátora odstřeďování ${ displaystyle sigma}$ pod touto dualitou je provozovatel poruchy ${ displaystyle mu}$, který má stejné levé a pravé konformní rozměry ${ displaystyle ( Delta _ { mu}, { bar { Delta}} _ { mu}) = ( Delta _ { sigma}, { bar { Delta}} _ { sigma}) = ({ tfrac {1} {16}}, { tfrac {1} {16}})}$. Přestože operátor poruchy nepatří k minimálnímu modelu, lze přesně vypočítat například korelační funkce zahrnující operátora poruchy^[1]

${ displaystyle left langle sigma (z_ {1}) mu (z_ {2}) sigma (z_ {3}) mu (z_ {4}) pravý rangle ^ {2} = { frac {1} {2}} { sqrt { frac {| z_ {13} z_ {24} |} {| z_ {12} z_ {34} z_ {23} z_ {14} |}}} { Velké (} | x | + | 1-x | -1 { Velké)}}$

zatímco

${ displaystyle left langle prod _ {i = 1} ^ {4} mu (z_ {i}) right rangle ^ {2} = left langle prod _ {i = 1} ^ { 4} sigma (z_ {i}) right rangle ^ {2} = { frac {1} {2}} { sqrt { frac {| z_ {13} z_ {24} |} {| z_ {12} z_ {34} z_ {23} z_ {14} |}}} { Big (} | x | + | 1-x | +1 { Big)}}$

Konektivita klastrů

Model Ising má popis jako model náhodného klastru kvůli Fortuinovi a Kasteleynovi. V tomto popisu jsou přirozenými pozorovatelnostmi spojitosti klastrů, tj. Pravděpodobnosti, že určitý počet bodů patří do stejného klastru. Na Isingův model lze potom nahlížet jako na případ ${ displaystyle q = 2}$ z ${ displaystyle q}$-Stát Pottsův model, jehož parametr ${ displaystyle q}$ se může průběžně měnit a souvisí s centrálním nábojem Virasoro algebra.

V kritickém limitu mají spojitosti klastrů stejné chování při konformních transformacích jako korelační funkce operátoru rotace. Přesto se konektivity neshodují s funkcemi korelace rotace: například tříbodová konektivita nezmizí, zatímco ${ displaystyle langle sigma sigma sigma rangle = 0}$. Existují čtyři nezávislé čtyřbodové konektivity a jejich součet se shoduje s ${ displaystyle langle sigma sigma sigma sigma rangle}$.^[3] Jiné kombinace čtyřbodových konektivit nejsou analyticky známy. Zejména nesouvisí s korelačními funkcemi minimálního modelu,^[4] i když souvisí s ${ displaystyle q až 2}$ limit spinových korelátorů v ${ displaystyle q}$-státní model Potts.^[3]

Reference