Prizmatický jednotný 4-mnohostěn - Prismatic uniform 4-polytope
Ve čtyřrozměrném geometrie, a hranolový uniformní 4-polytop je jednotný 4-polytop s nepřipojeným Coxeterův diagram skupina symetrie.[Citace je zapotřebí ] Tyto údaje jsou analogické k souboru hranoly a antiprism jednotný mnohostěn, ale přidejte třetí kategorii s názvem duoprismy, postavený jako produkt dvou pravidelných polygonů.
Prizmatické jednotné 4-polypy se skládají ze dvou nekonečných rodin:
- Mnohostěnné hranoly: produkty úsečkového segmentu a jednotného mnohostěnu. Tato rodina je nekonečná, protože zahrnuje hranoly postavené na trojrozměrných hranolech a antiprismy.
- Duoprismy: produkt dvou pravidelných polygonů.
Konvexní mnohostěnné hranoly
Nejviditelnější rodinou prizmatických 4-polytopů je mnohostěnné hranoly, tj. produkty mnohostěnu s a úsečka. Buňky takového 4-polytopu jsou dva identické paralelní polyhedry hyperplanes (dále jen základna buňky) a vrstvu hranolů, které je spojují ( postranní buňky). Tato rodina zahrnuje hranoly pro 75 neprismatických jednotná mnohostěna (z toho 18 konvexních; jeden z nich, krychlový hranol, je uveden výše jako tesseract).[Citace je zapotřebí ]
Existují 18 konvexních mnohostěnných hranolů vytvořeno od 5 Platonické pevné látky a 13 Archimédovy pevné látky stejně jako pro nekonečné rodiny trojrozměrných rodin hranoly a antiprismy.[Citace je zapotřebí ] Číslo symetrie mnohostěnného hranolu je dvakrát větší než u základního mnohostěnu.
Čtyřboké hranoly: A3 × A1
| # | Johnsonovo jméno (zkratka ve stylu Bowers) | Obrázek | Coxeterův diagram a Schläfli symboly | Buňky podle typu | Počty prvků | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Buňky | Tváře | Hrany | Vrcholy | |||||||
| 48 | Čtyřboký hranol (tepe) |  |     {3,3}×{} | 2  3.3.3 | 4  3.4.4 | 6 | 8 {3} 6 {4} | 16 | 8 | |
| 49 | Zkrácený čtyřboký hranol (návod) |  | t {3,3} × {} | 2  3.6.6 | 4 3.4.4 | 4  4.4.6 | 10 | 8 {3} 18 {4} 8 {6} | 48 | 24 |
| [51] | Rektifikovaný čtyřboký hranol (Stejný jako oktaedrický hranol ) (ope) |  | r {3,3} × {} | 2  3.3.3.3 | 4 3.4.4 | 6 | 16 {3} 12 {4} | 30 | 12 | |
| [50] | Kanylovaný čtyřboký hranol (Stejný jako cuboctahedral hranol ) (zvládnout) |  | rr {3,3} × {} | 2  3.4.3.4 | 8 3.4.4 | 6  4.4.4 | 16 | 16 {3} 36 {4} | 60 | 24 |
| [54] | Cantitruncated čtyřboký hranol (Stejný jako zkrácený oktaedrický hranol ) (vrchol) |  | tr {3,3} × {} | 2  4.6.6 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 48 {4} 16 {6} | 96 | 48 |
| [59] | Tlumit čtyřboký hranol (Stejný jako icosahedral hranol ) (ipe) |  |  sr {3,3} × {} | 2  3.3.3.3.3 | 20 3.4.4 | 22 | 40 {3} 30 {4} | 72 | 24 | |
Oktaedrické hranoly: BC3 × A1
| # | Johnsonovo jméno (zkratka ve stylu Bowers) | Obrázek | Coxeterův diagram a Schläfli symboly | Buňky podle typu | Počty prvků | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Buňky | Tváře | Hrany | Vrcholy | ||||||||
| [10] | Kubický hranol (Stejný jako tesseract) (Stejný jako 4-4 duoprism) (tes) |  |  {4,3}×{} | 2 4.4.4 | 6 4.4.4 | 8 | 24 {4} | 32 | 16 | ||
| 50 | Cuboctahedral hranol (Stejný jako kanylovaný čtyřboký hranol) (zvládnout) | | r {4,3} × {} | 2 3.4.3.4 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 16 {3} 36 {4} | 60 | 24 | |
| 51 | Oktaedrický hranol (Stejný jako usměrněný čtyřboký hranol) (Stejný jako trojúhelníkový antiprismatický hranol) (ope) | | {3,4}×{} | 2 3.3.3.3 | 8 3.4.4 | 10 | 16 {3} 12 {4} | 30 | 12 | ||
| 52 | Rhombicuboctahedral hranol (sirkopa) |  | rr {4,3} × {} | 2  3.4.4.4 | 8 3.4.4 | 18 4.4.4 | 28 | 16 {3} 84 {4} | 120 | 96 | |
| 53 | Zkrácený kubický hranol (škytavka) |  | t {4,3} × {} | 2  3.8.8 | 8 3.4.4 | 6  4.4.8 | 16 | 16 {3} 36 {4} 12 {8} | 96 | 48 | |
| 54 | Zkrácený oktaedrický hranol (Stejný jako cantitruncated čtyřboký hranol) (vrchol) | | t {3,4} × {} | 2 4.6.6 | 6 4.4.4 | 8 4.4.6 | 16 | 48 {4} 16 {6} | 96 | 48 | |
| 55 | Zkrácený hranol (gircope) |  | tr {4,3} × {} | 2  4.6.8 | 12 4.4.4 | 8 4.4.6 | 6 4.4.8 | 28 | 96 {4} 16 {6} 12 {8} | 192 | 96 |
| 56 | Utlumit kubický hranol (sniccup) |  | sr {4,3} × {} | 2  3.3.3.3.4 | 32 3.4.4 | 6 4.4.4 | 40 | 64 {3} 72 {4} | 144 | 48 | |
Ikosahedrální hranoly: H3 × A1
| # | Johnsonovo jméno (zkratka ve stylu Bowers) | Obrázek | Coxeterův diagram a Schläfli symboly | Buňky podle typu | Počty prvků | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Buňky | Tváře | Hrany | Vrcholy | ||||||||
| 57 | Dodecahedral hranol (droga) |  |  {5,3}×{} | 2  5.5.5 | 12  4.4.5 | 14 | 30 {4} 24 {5} | 80 | 40 | ||
| 58 | Ikosidodecahedral hranol (iddip) |  | r {5,3} × {} | 2  3.5.3.5 | 20 3.4.4 | 12 4.4.5 | 34 | 40 {3} 60 {4} 24 {5} | 150 | 60 | |
| 59 | Ikosahedrický hranol (stejný jako urážka čtyřboký hranol) (ipe) | | {3,5}×{} | 2 3.3.3.3.3 | 20 3.4.4 | 22 | 40 {3} 30 {4} | 72 | 24 | ||
| 60 | Zkrácený dodekahedrální hranol (tiddip) |  | t {5,3} × {} | 2  3.10.10 | 20 3.4.4 | 12  4.4.5 | 34 | 40 {3} 90 {4} 24 {10} | 240 | 120 | |
| 61 | Rhombicosidodecahedral hranol (sriddip) |  | rr {5,3} × {} | 2  3.4.5.4 | 20 3.4.4 | 30 4.4.4 | 12 4.4.5 | 64 | 40 {3} 180 {4} 24 {5} | 300 | 120 |
| 62 | Zkrácený ikosaedrický hranol (tipe) |  | t {3,5} × {} | 2  5.6.6 | 12 4.4.5 | 20 4.4.6 | 34 | 90 {4} 24 {5} 40 {6} | 240 | 120 | |
| 63 | Zkrácený icosidodecahedral hranol (griddip) |  | tr {5,3} × {} | 2  4.6.4.10 | 30 4.4.4 | 20 4.4.6 | 12 4.4.10 | 64 | 240 {4} 40 {6} 24 {5} | 480 | 240 |
| 64 | Snub dodecahedral hranol (sniddip) |  | sr {5,3} × {} | 2  3.3.3.3.5 | 80 3.4.4 | 12 4.4.5 | 94 | 240 {4} 40 {6} 24 {10} | 360 | 120 | |
Duoprismy: [p] × [q]
 3-3 |  3-4 |  3-5 |  3-6 |  3-7 |  3-8 |
 4-3 |  4-4 |  4-5 |  4-6 |  4-7 |  4-8 |
 5-3 |  5-4 |  5-5 |  5-6 |  5-7 |  5-8 |
 6-3 |  6-4 |  6-5 |  6-6 |  6-7 |  6-8 |
 7-3 |  7-4 |  7-5 |  7-6 |  7-7 |  7-8 |
 8-3 |  8-4 |  8-5 |  8-6 |  8-7 |  8-8 |
Druhým je nekonečná rodina jednotné duoprismy, produkty dvou pravidelné mnohoúhelníky.
Jejich Coxeterův diagram je ve formě 
Tato rodina se překrývá s prvním: když je jedním ze dvou „faktorových“ polygonů čtverec, je produkt ekvivalentní hyperprismu, jehož základem je trojrozměrný hranol. Symetrické číslo duoprism, jehož faktory jsou a p-gon a a q-gon (a „p, q-duoprism ") je 4pq -li p≠q; pokud jsou faktory oba p-gons, číslo symetrie je 8p2. Tesseract lze také považovat za 4,4-duoprism.
Prvky a p, q- duoprism (p ≥ 3, q ≥ 3) jsou:
- Buňky: p q-gonal hranoly, q p-gonal hranoly
- Tváře: pq čtverce, p q-gons, q p-gons
- Hrany: 2pq
- Vrcholy: pq
Neexistuje jednotný analog ve čtyřech rozměrech s nekonečnou rodinou trojrozměrných antiprismy s výjimkou velký duoantiprism.
Nekonečná sada p-q duoprism - - p q-gonal hranoly, q p-gonal hranoly:
- 3-3 duoprism -
- 6 trojúhelníkové hranoly - 3-4 duoprism -
- 3 kostky, 4 trojúhelníkové hranoly - 4-4 duoprism - - 8 kostky (stejné jako tesseract)
- 3-5 duoprism -
- 3 pětiúhelníkové hranoly, 5 trojúhelníkové hranoly - 4-5 duoprism - - 4 pětiúhelníkové hranoly, 5 kostky
- 5-5 duoprism - - 10 pětiúhelníkové hranoly
- 3-6 duoprism -
- 3 šestihranné hranoly, 6 trojúhelníkové hranoly - 4-6 duoprism - - 4 šestihranné hranoly, 6 kostky
- 5-6 duoprism - - 5 šestihranné hranoly, 6 pětiúhelníkové hranoly
- 6-6 duoprism - - 12 šestihranné hranoly
- ...
Polygonální hranolové hranoly
Nekonečná množina jednotných hranolových hranolů se překrývá s 4p duoprismy: (p≥3) - - p kostky a 4 p-gonal hranoly - (Všechny jsou stejné jako 4-p duoprism)
- Trojúhelníkový hranolový hranol - - 3 kostky a 4 trojúhelníkové hranoly - (stejné jako 3-4 duoprism)
- Čtvercový hranolový hranol - - 4 kostky a 4 kostky - (stejné jako 4-4 duoprism a stejně jako tesseract)
- Pětiúhelníkový hranolový hranol - - 5 kostek a 4 pětiúhelníkové hranoly - (stejné jako 4-5 duoprism)
- Šestihranný hranolový hranol - - 6 kostek a 4 šestihranné hranoly - (stejné jako 4-6 duoprism)
- Heptagonální hranolový hranol -
- 7 kostek a 4 sedmiboké hranoly - (stejné jako 4-7 duoprism) - Osmiboký hranolový hranol -
- 8 kostek a 4 osmihranné hranoly - (stejné jako 4-8 duoprism) - ...
Jednotný antiprismatický hranol
Nekonečné sady jednotné antiprismatické hranoly nebo antiduoprismy jsou konstruovány ze dvou paralelních uniforem antiprismy: (p≥3) - - 2 p-gonal antiprisms, connected by 2 p-gonal hranoly a 2 s trojúhelníkové hranoly.
| název | s {2,2} × {} | s {2,3} × {} | s {2,4} × {} | s {2,5} × {} | s {2,6} × {} | s {2,7} × {} | s {2,8} × {} | s {2, p} × {} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Coxeter diagram |  |  |  |  |  |   |  | |
| obraz |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Vrchol postava |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Buňky | 2 s {2,2} (2) {2}×{}={4} 4 {3}×{} | 2 s {2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{} | 2 s {2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{} | 2 s {2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{} | 2 s {2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{} | 2 s {2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{} | 2 s {2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{} | 2 s {2, p} 2 {p} × {} 2p {3}×{} |
| Síť |  |  |  |  |  |  |  |  |
A p-gonal antiprismatic hranol má 4p trojúhelník, 4p náměstí a 4 tváře p-gon. Má to 10p hrany a 4p vrcholy.
Reference
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polopravidelné polytopy I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- J.H. Conway a M.J.T. Chlap: Čtyřrozměrné archimédovské polytopySborník kolokvia o konvexitě v Kodani, strana 38 a 39, 1965
- N.W. Johnson: Teorie jednotných polytopů a voštin, Ph.D. Dizertační práce, University of Toronto, 1966
- Čtyřrozměrné archimédovské polytopy (Německy), Marco Möller, disertační práce z roku 2004
- Klitzing, Richarde. „4D uniformní polytopes (polychora)“.