Hookův zákon - Hookes law - Wikipedia

Hookeův zákon: síla je úměrná prodloužení

Bourdonovy trubice jsou založeny na Hookeově zákoně. Síla vytvořená plynem tlak uvnitř svinuté kovové trubky výše se odvíjí o částku úměrnou tlaku.

The vyvažovací kolo jádro mnoha mechanických hodin a hodinek závisí na Hookeově zákoně. Protože točivý moment generovaný vinutou pružinou je úměrný úhlu otočenému kolem, mají jeho oscilace téměř konstantní periodu.

Hookeův zákon je zákonem fyzika že se uvádí, že platnost ( $F$ ) potřebné k rozšíření nebo komprimaci a jaro do určité vzdálenosti ( $X$ ) měřítka lineárně s ohledem na tuto vzdálenost - to znamená, $F s = kx$ , kde $k$ je konstantní faktor charakteristický pro pružinu (tj. jeho ztuhlost ), a $X$ je malá ve srovnání s celkovou možnou deformací pružiny. Zákon je pojmenován podle britského fyzika ze 17. století Robert Hooke. Poprvé uvedl zákon v roce 1676 jako a latinský anagram.^[1]^[2] Řešení svého anagramu publikoval v roce 1678^[3] tak jako: ut tensio, sic vis („jako prodloužení, takže síla“ nebo „prodloužení je úměrné síle“). Hooke v práci z roku 1678 uvádí, že o zákonu věděl již v roce 1660.

Hookeova rovnice platí (do určité míry) v mnoha dalších situacích, kdy an elastický tělo je zdeformované, například vítr fouká na vysokou budovu a hudebník trhá a tětiva kytary. Říká se, že elastické těleso nebo materiál, u kterého lze tuto rovnici předpokládat, jsou lineárně elastický nebo Hookean.

Hookeův zákon je pouze a lineární aproximace prvního řádu na skutečnou odezvu pružin a jiných pružných těles na použité síly. Musí nakonec selhat, jakmile síly překročí určitý limit, protože žádný materiál nelze stlačit nad určitou minimální velikost nebo natáhnout nad maximální velikost bez trvalé deformace nebo změny stavu. Mnoho materiálů se znatelně odchýlí od Hookeova zákona ještě dříve meze pružnosti jsou dosaženy.

Na druhou stranu je Hookeův zákon přesnou aproximací pro většinu pevných těles, pokud jsou síly a deformace dostatečně malé. Z tohoto důvodu je Hookeův zákon široce používán ve všech oborech vědy a techniky a je základem mnoha oborů, jako je seismologie, molekulární mechanika a akustika. Je to také základní zásada pružinová stupnice, manometr a vyvažovací kolo z mechanické hodiny.

Moderní teorie pružnosti zobecňuje Hookeův zákon, který říká, že kmen (deformace) pružného předmětu nebo materiálu je úměrná stres aplikován na to. Protože však obecná napětí a napětí mohou mít více nezávislých složek, „faktor proporcionality“ již nemusí být jen jediným reálným číslem, ale spíše lineární mapa (A tenzor ), které mohou být reprezentovány a matice reálných čísel.

V této obecné podobě umožňuje Hookeův zákon odvodit vztah mezi napětím a napětím pro složité objekty z hlediska vnitřních vlastností materiálů, z nichž je vyroben. Lze například odvodit, že a homogenní prut s uniformou průřez se bude chovat jako jednoduchá pružina, když se natáhne, s tuhostí $k$ přímo úměrné jeho průřezové ploše a nepřímo úměrné jeho délce.

Formální definice

Pro lineární pružiny

Zvažte jednoduchý spirálovitý pružina, která má jeden konec připevněný k nějakému pevnému předmětu, zatímco volný konec je tažen silou, jejíž velikost je $F s$ . Předpokládejme, že pružina dosáhla stavu rovnováha, kde se jeho délka již nemění. Nechat $X$ je částka, o kterou byl volný konec pružiny přemístěn z její „uvolněné“ polohy (když není napínána). Hookeův zákon to říká

{ displaystyle F_ {s} = kx}

nebo ekvivalentně

{ displaystyle x = { frac {F_ {s}} {k}}}

kde $k$ je kladné reálné číslo charakteristické pro pružinu. Stejný vzorec navíc platí, když je pružina stlačena, s $F s$ a $X$ v takovém případě negativní. Podle tohoto vzorce je graf použité síly $F s$ jako funkce posunutí $X$ bude přímka procházející přes původ, jehož sklon je $k$ .

Hookeův zákon pro jaro je podle konvence často stanoven $F s$ je obnovovací síla působící pružinou na cokoli, co táhne svůj volný konec. V takovém případě se rovnice stává

{ displaystyle F_ {s} = - kx}

protože směr vratné síly je opačný ke směru posunutí.

Obecné „skalární“ pružiny

Hookův pružinový zákon obvykle platí pro jakýkoli elastický objekt libovolné složitosti, pokud lze deformaci i napětí vyjádřit jediným číslem, které může být kladné i záporné.

Například když se deformuje blok gumy připevněný ke dvěma rovnoběžným deskám stříhání, spíše než roztažení nebo stlačení, smyková síla $F s$ a boční posun desek $X$ dodržujte Hookeův zákon (pro dostatečně malé deformace).

Hookův zákon platí také tehdy, když je rovný ocelový prut nebo betonový nosník (jako ten, který se používá v budovách), podepřený na obou koncích, ohnutý váhou $F$ umístěn v nějakém mezilehlém bodě. Posunutí $X$ v tomto případě je odchylka paprsku, měřená v příčném směru, vzhledem k jeho nezatíženému tvaru.

Zákon také platí, když je napnutý ocelový drát zkroucen zatažením za páku připojenou k jednomu konci. V tomto případě stres $F s$ lze brát jako sílu působící na páku a $X$ jako vzdálenost, kterou urazil po své kruhové dráze. Nebo ekvivalentně lze nechat $F s$ být točivý moment působením páky na konec drátu a - $X$ je úhel, o který se tento konec otáčí. V obou případech $F s$ je úměrný $X$ (i když konstantní $k$ se v každém případě liší.)

Vektorové složení

V případě spirálové pružiny, která je natažena nebo stlačena podél své osa, použitá (nebo obnovující) síla a výsledné prodloužení nebo stlačení mají stejný směr (což je směr uvedené osy). Proto pokud $F s$ a $X$ jsou definovány jako vektory, Hooke rovnice stále drží a říká, že vektor síly je vektor prodloužení vynásobeno pevnou skalární.

Obecná tenzorová forma

Některá elastická těla se budou deformovat v jednom směru, když budou vystavena síle v jiném směru. Jedním z příkladů je vodorovný dřevěný trám s jiným než čtvercovým obdélníkovým průřezem, který je ohnutý příčným zatížením, které není ani svislé, ani vodorovné. V takových případech velikost posunutí $X$ bude úměrná velikosti síly $F s$ , pokud jeho směr zůstává stejný (a jeho hodnota není příliš velká); takže skalární verze Hookeova zákona $F s = -kx$ bude držet. Avšak síla a posunutí vektory nebudou navzájem skalární násobky, protože mají různé směry. Navíc poměr $k$ mezi jejich velikostmi bude záviset na směru vektoru $F s$ .

V takových případech však často existuje oprava lineární vztah mezi silovými a deformačními vektory, pokud jsou dostatečně malé. Jmenovitě existuje funkce $κ$ z vektorů na vektory, takové $F = κ (X)$ , a $κ (α X 1 + β X 2) = α κ (X 1) + β κ (X 2)$ pro všechna reálná čísla $α$ , $β$ a jakékoli vektory posunutí $X 1$ , $X 2$ . Taková funkce se nazývá (druhého řádu) tenzor.

S ohledem na svévolné Kartézský souřadnicový systém, vektory síly a posunutí mohou být reprezentovány 3 × 1 matice reálných čísel. Pak tenzor $κ$ jejich spojení může být znázorněno maticí 3 × 3 $κ$ skutečných koeficientů, že když znásobeno vektorem posunutí udává vektor síly:

{ displaystyle mathbf {F} , = , { začátek {bmatrix} F_ {1} F_ {2} F_ {3} konec {bmatrix}} , = , { začátek { bmatrix} kappa _ {11} & kappa _ {12} & kappa _ {13} kappa _ {21} & kappa _ {22} & kappa _ {23} kappa _ { 31} & kappa _ {32} & kappa _ {33} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {1} X_ {2} X_ {3} end {bmatrix}} , = , { boldsymbol { kappa}} mathbf {X}}

To znamená

{ displaystyle F_ {i} = kappa _ {i1} X_ {1} + kappa _ {i2} X_ {2} + kappa _ {i3} X_ {3}}

pro $i = 1, 2, 3$ . Proto Hookeův zákon $F = κX$ lze říci, že drží i když $X$ a $F$ jsou vektory s proměnnými směry, kromě toho, že tuhost objektu je tenzor $κ$ , spíše než jediné reálné číslo $k$ .

Hookeův zákon pro kontinuální média

(a) Schéma polymerní nanospring. Poloměr cívky, R, stoupání, P, délka pružiny, L a počet závitů, N, jsou 2,5 μm, 2,0 μm, 13 μm, respektive 4. Elektronové mikrofotografie nanopružiny, před naložením (b-e), natažené (f), stlačené (g), ohnuté (h) a získané (i). Všechny stupnice jsou 2 μm. Pružina následovala lineární odezvu proti aplikované síle, což prokázalo platnost Hookeova zákona v nanoměřítku.^[4]

Napětí a deformace materiálu uvnitř a kontinuální elastický materiál (například blok gumy, stěna a kotel nebo ocelová tyč) jsou spojeny lineárním vztahem, který je matematicky podobný Hookovu jarnímu zákonu a je často označován tímto názvem.

Stav přetvoření v pevném médiu kolem nějakého bodu však nelze popsat jediným vektorem. Stejný kus materiálu, bez ohledu na to, jak malý, lze stlačovat, protahovat a stříhat současně v různých směrech. Rovněž napětí v této zásilce může být současně tlačením, taháním a stříháním.

Aby bylo možné tuto složitost zachytit, musí být relevantní stav média kolem bodu reprezentován tenzory druhého řádu, tenzor napětí $ε$ (místo posunutí $X$ ) a tenzor napětí $σ$ (výměna vratné síly $F$ ). Analogem Hookova jarního zákona pro kontinuální média je tedy

{ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - mathbf {c} { boldsymbol { varepsilon}},}

kde $C$ je tenzor čtvrtého řádu (tj. lineární mapa mezi tenzory druhého řádu), který se obvykle nazývá tenzor tuhosti nebo tenzor pružnosti. Jeden to může také napsat jako

{ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = - mathbf {s} { boldsymbol { sigma}},}

kde tenzor $s$ , nazvaný tenzor souladu, představuje inverzi uvedené lineární mapy.

V kartézském souřadnicovém systému mohou být tenzory napětí a přetvoření reprezentovány maticemi 3 × 3

{ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} , = , { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23} varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {bmatrix}} ,; qquad { boldsymbol { sigma}} , = , { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {21} & sigma _ {22 } & sigma _ {23} sigma _ {31} & sigma _ {32} & sigma _ {33} end {bmatrix}}}

Být lineárním mapováním mezi devíti čísly $σ ij$ a devět čísel $ε kl$ , tenzor tuhosti $C$ je reprezentována maticí 3 × 3 × 3 × 3 = 81 reálných čísel $C ijkl$ . To pak říká Hookeův zákon

{ displaystyle sigma _ {ij} = - součet _ {k = 1} ^ {3} součet _ {l = 1} ^ {3} c_ {ijkl} varepsilon _ {kl}}

kde $i, j = 1,2,3$ .

Všechny tři tenzory se obecně liší od bodu k bodu uvnitř média a mohou se také měnit v čase. Tenzor napětí $ε$ pouze specifikuje posun částic média v sousedství bodu, zatímco tenzor napětí $σ$ určuje síly, které na sebe vyvíjejí sousední balíčky média. Proto jsou nezávislé na složení a fyzickém stavu materiálu. Tenzor tuhosti $C$ , na druhé straně je vlastnost materiálu a často závisí na proměnných fyzikálního stavu, jako je teplota, tlak, a mikrostruktura.

Kvůli inherentní symetrii $σ$ , $ε$ , a $C$ , pouze 21 elastických koeficientů je nezávislých.^[5] Toto číslo lze dále snížit symetrií materiálu: 9 pro an ortorombický krystal, 5 pro šestihranný struktura a 3 pro a krychlový symetrie.^[6] Pro izotropní média (která mají stejné fyzikální vlastnosti v libovolném směru), $C$ lze snížit pouze na dvě nezávislá čísla, objemový modul $K.$ a tažný modul $G$ , které kvantifikují odolnost materiálu vůči změnám objemu a smykovým deformacím.

Obdobné zákony

Protože Hookeův zákon je jednoduchá proporcionalita mezi dvěma veličinami, jeho vzorce a důsledky jsou matematicky podobné těm z mnoha jiných fyzikálních zákonů, jako jsou ty, které popisují pohyb tekutiny, nebo polarizace a dielektrikum podle elektrické pole.

Zejména tenzorová rovnice $σ = cε$ vztah elastických napětí k deformacím je zcela podobný rovnici $τ = με̇$ týkající se tenzor viskózního napětí $τ$ a tenzor rychlosti deformace $ε̇$ v tocích viskózní tekutiny; ačkoli první se týká statický napětí (související s množství deformace), zatímco druhé se týká dynamický napětí (související s hodnotit deformace).

Jednotky měření

v SI jednotky, posuny se měří v metrech (m) a síly v newtonů (N nebo kg · m / s²). Proto je konstanta pružiny $k$ a každý prvek tenzoru $κ$ , se měří v newtonech na metr (N / m) nebo kilogramech za sekundu na druhou (kg / s²).

U spojitých médií každý prvek tenzoru napětí $σ$ je síla dělená oblastí; měří se tedy v jednotkách tlaku, a to pascaly (Pa nebo N / m², nebo kg / (m · s²). Prvky tenzoru přetvoření $ε$ jsou bezrozměrný (posuny dělené vzdálenostmi). Proto položky z $C ijkl$ jsou také vyjádřeny v jednotkách tlaku.

Obecné použití na elastické materiály

Křivka napětí-deformace pro nízkouhlíkovou ocel, ukazující vztah mezi stres (síla na jednotku plochy) a kmen (výsledné stlačení / roztažení, známé jako deformace). Hookeův zákon platí pouze pro část křivky mezi počátkem a mezem kluzu (2).

1: Ultimátní síla
2: Mez kluzu (mez kluzu)
3: Roztržka
4: Zpevnění kmene kraj
5: Krk kraj
A: Zdánlivý stres (F/A₀)
B: Skutečný stres (F/A)

Objekty, které rychle obnoví svůj původní tvar poté, co byly deformovány silou, přičemž molekuly nebo atomy jejich materiálu se vrátí do počátečního stavu stabilní rovnováhy, se často řídí Hookeovým zákonem.

Hookeův zákon platí pro některé materiály pouze za určitých podmínek nakládání. Ocel vykazuje lineárně-elastické chování ve většině strojírenských aplikací; Hookeův zákon pro něj platí po celou dobu jeho platnosti elastický rozsah (tj. pro napětí pod mez kluzu ). U některých dalších materiálů, jako je hliník, platí Hookeův zákon pouze pro část oblasti pružnosti. U těchto materiálů a proporcionální limit je definováno napětí, pod kterým jsou chyby spojené s lineární aproximací zanedbatelné.

Guma je obecně považována za „nehookeanský“ materiál, protože její pružnost závisí na napětí a je citlivá na teplotu a rychlost zatížení.

Zobecnění Hookova zákona pro případ velké deformace je poskytována modely neohookeanské pevné látky a Mooney – Rivlinovy pevné látky.

Odvozené vzorce

Tahové napětí jednotné tyče

Prut jakéhokoli elastický na materiál lze pohlížet jako na lineární jaro. Prut má délku $L$ a průřezová plocha $A$ . Své tahové napětí $σ$ je lineárně úměrný jeho frakčnímu prodloužení nebo přetvoření $ε$ podle modul pružnosti $E$ :

{ displaystyle sigma = E varepsilon}

.

Modul pružnosti lze často považovat za konstantní. Zase

{ displaystyle varepsilon = { frac { Delta L} {L}}}

(tj. zlomková změna délky) a od té doby

{ displaystyle sigma = { frac {F} {A}} ,,}

z toho vyplývá, že:

{ displaystyle varepsilon = { frac { sigma} {E}} = { frac {F} {AE}} ,.}

Změna délky může být vyjádřena jako

{ displaystyle Delta L = varepsilon L = { frac {FL} {AE}} ,.}

Jarní energie

Potenciální energie $U el (X)$ uložené na jaře je dáno

{ displaystyle U _ { mathrm {el}} (x) = { tfrac {1} {2}} kx ^ {2}}

který pochází ze sečtení energie potřebné k postupnému stlačení pružiny. To znamená, že integrál síly nad posunem. Protože vnější síla má stejný obecný směr jako posunutí, potenciální energie pružiny je vždy nezáporná.

Tento potenciál $U el$ lze vizualizovat jako parabola na $Ux$ - letadlo takhle $U el (X) = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 kx 2$ . Vzhledem k tomu, že pružina je napnutá v pozitivním směru $X$ -směr, potenciální energie se zvyšuje parabolicky (to samé se děje, když je pružina stlačena). Protože se změna potenciální energie mění konstantní rychlostí:

{ displaystyle { frac {d ^ {2} U _ { mathrm {el}}} {dx ^ {2}}} = k ,.}

Všimněte si, že změna ve změně v $U$ je konstantní, i když jsou posunutí a zrychlení nulové.

Uvolněné konstanty síly (zobecněné konstanty shody)

Uvolněné silové konstanty (inverzní k zobecněným konstantám shody) jsou jednoznačně definovány pro molekulární systémy v rozporu s obvyklými „tuhými“ silovými konstantami, a jejich použití tak umožňuje smysluplné korelace mezi silovými poli vypočítanými pro reaktanty, přechodové stavy a výrobky a chemická reakce. Stejně jako potenciální energie může být zapsán jako kvadratická forma do vnitřních souřadnic, takže může být také zapsán z hlediska zobecněných sil. Výsledné koeficienty se nazývají konstanty shody. Existuje přímá metoda pro výpočet konstanty shody pro jakoukoli vnitřní souřadnici molekuly, aniž by bylo nutné provádět analýzu v normálním režimu.^[7] Vhodnost konstant uvolněné síly (konstanty inverzní shody) jako kovalentní vazba deskriptory síly byly prokázány již v roce 1980. Nedávno byla také prokázána vhodnost jako nekovalentních deskriptorů síly vazby.^[8]

Harmonický oscilátor

Hmota zavěšená pružinou je klasickým příkladem harmonického oscilátoru

Mše $m$ připojený ke konci pružiny je klasickým příkladem a harmonický oscilátor. Mírným zatažením za hmotu a jejím uvolněním se systém zapne sinusový oscilační pohyb kolem rovnovážné polohy. Do té míry, že se pružina řídí Hookovým zákonem, a ten lze zanedbávat tření a hmotnost pružiny, amplituda oscilace zůstane konstantní; a jeho frekvence $F$ bude nezávislý na jeho amplitudě, určené pouze hmotou a tuhostí pružiny:

{ displaystyle f = { frac {1} {2 pi}} { sqrt { frac {k} {m}}}}

Tento jev umožnil konstrukci přesných mechanické hodiny a hodinky, které lze nosit na lodích a v kapsách lidí.

Rotace v prostoru bez gravitace

Pokud je hmotnost $m$ byly připojeny k pružině s konstantou síly $k$ a otáčení ve volném prostoru, napětí pružiny ( $F t$ ) dodá požadované dostředivá síla ( $F C$ ):

{ displaystyle F _ { mathrm {t}} = kx ,; qquad F _ { mathrm {c}} = m omega ^ {2} r}

Od té doby $F t = F C$ a $X = r$ , pak:

{ displaystyle k = m omega ^ {2}}

Vzhledem k tomu $ω = 2π F$ , vede to ke stejné frekvenční rovnici jako výše:

{ displaystyle f = { frac {1} {2 pi}} { sqrt { frac {k} {m}}}}

Teorie lineární elasticity pro spojitá média

Poznámka: Konvence Einsteinova součtu sčítání na opakovaných indexech se používá níže.

Izotropní materiály

Izotropní materiály se vyznačují vlastnostmi nezávislými na směru v prostoru. Fyzické rovnice zahrnující izotropní materiály proto musí být nezávislé na souřadnicovém systému zvoleném k jejich reprezentaci. Tenzor napětí je symetrický tenzor. Protože stopa jakéhokoli tenzoru je nezávislý na jakémkoli souřadnicovém systému, nejkompletnějším bezkoordinátovým rozkladem symetrického tenzoru je reprezentovat jej jako součet konstantního tenzoru a stopového symetrického tenzoru.^[9] Tak dovnitř indexová notace:

{ displaystyle varepsilon _ {ij} = left ({ tfrac {1} {3}} varepsilon _ {kk} delta _ {ij} right) + left ( varepsilon _ {ij} - { tfrac {1} {3}} varepsilon _ {kk} delta _ {ij} right)}

kde $δ ij$ je Kroneckerova delta. V přímém tenzorovém zápisu:

{ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = operatorname {vol} ({ boldsymbol { varepsilon}}) + operatorname {dev} ({ boldsymbol { varepsilon}}) ,; qquad operatorname {vol} ({ boldsymbol { varepsilon}}) = { tfrac {1} {3}} operatorname {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}}) ~ mathbf {I} ,; qquad operatorname {dev} ({ boldsymbol { varepsilon}}) = { boldsymbol { varepsilon}} - operatorname {vol} ({ boldsymbol { varepsilon}})}

kde $Já$ je tenzor identity druhého řádu.

První člen vpravo je konstantní tenzor, známý také jako tenzor objemového napětí, a druhý člen je stopový symetrický tenzor, známý také jako deviátorový tenzor napětí nebo tenzor smyku.

Nejobecnější formu Hookova zákona pro izotropní materiály lze nyní psát jako lineární kombinaci těchto dvou tenzorů:

{ displaystyle sigma _ {ij} = 3K vlevo ({ tfrac {1} {3}} varepsilon _ {kk} delta _ {ij} vpravo) + 2G vlevo ( varepsilon _ {ij} - { tfrac {1} {3}} varepsilon _ {kk} delta _ {ij} right) ,; qquad { boldsymbol { sigma}} = 3K operatorname {vol} ({ boldsymbol { varepsilon}}) + 2G operatorname {dev} ({ boldsymbol { varepsilon}})}

kde $K.$ je objemový modul a $G$ je tažný modul.

Pomocí vztahů mezi elastické moduly, tyto rovnice mohou být také vyjádřeny různými jinými způsoby. Běžná forma Hookova zákona pro izotropní materiály, vyjádřená přímým tenzorovým zápisem, je^[10]

{ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = lambda operatorname {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}}) mathbf {I} +2 mu { boldsymbol { varepsilon}} = { mathsf {c}}: { boldsymbol { varepsilon}} ,; qquad { mathsf {c}} = lambda mathbf {I} otimes mathbf {I} +2 mu { mathsf {I} }}

kde $λ = K. - 2 / 3 G = C 1111 - 2 C 1212$ a $μ = G = C 1212$ jsou Laméovy konstanty, $Já$ je tenzor identity druhé úrovně a Já je symetrická část tenzoru identity čtvrtého stupně. V indexové notaci:

{ displaystyle sigma _ {ij} = lambda varepsilon _ {kk} ~ delta _ {ij} +2 mu varepsilon _ {ij} = c_ {ijkl} varepsilon _ {kl} ,; qquad c_ {ijkl} = lambda delta _ {ij} delta _ {kl} + mu left ( delta _ {ik} delta _ {jl} + delta _ {il} delta _ {jk }že jo)}

Inverzní vztah je^[11]

{ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2 mu}} { boldsymbol { sigma}} - { frac { lambda} {2 mu (3 lambda +2 mu)}} operatorname {tr} ({ boldsymbol { sigma}}) mathbf {I} = { frac {1} {2G}} { boldsymbol { sigma}} + left ({ frac {1} {9K}} - { frac {1} {6G}} right) operatorname {tr} ({ boldsymbol { sigma}}) mathbf {I}}

Proto je ve vztahu tenzor souladu $ε =$ s $: σ$ je

{ displaystyle { mathsf {s}} = - { frac { lambda} {2 mu (3 lambda +2 mu)}} mathbf {I} otimes mathbf {I} + { frac {1} {2 mu}} { mathsf {I}} = left ({ frac {1} {9K}} - { frac {1} {6G}} right) mathbf {I} otimes mathbf {I} + { frac {1} {2G}} { mathsf {I}}}

Ve smyslu Youngův modul a Poissonův poměr, Hookův zákon pro izotropní materiály lze poté vyjádřit jako

{ displaystyle varepsilon _ {ij} = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ {ij} - nu ( sigma _ {kk} delta _ {ij} - sigma _ {ij}) { big)} ,; qquad { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {E}} { big (} { boldsymbol { sigma}} - nu ( operatorname {tr} ({ boldsymbol { sigma}}) mathbf {I} - { boldsymbol { sigma}}) { big)} = { frac {1+ nu} {E}} { boldsymbol { sigma}} - { frac { nu} {E}} operatorname {tr} ({ boldsymbol { sigma}}) mathbf {I}}

Toto je forma, ve které je napětí vyjádřeno jako tenzor napětí ve strojírenství. Výraz v rozšířené formě je

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {11} & = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ {11} - nu ( sigma _ {22} + sigma _ {33}) { big)} varepsilon _ {22} & = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ {22} - nu ( sigma _ { 11} + sigma _ {33}) { big)} varepsilon _ {33} & = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ {33} - nu ( sigma _ {11} + sigma _ {22}) { big)} varepsilon _ {12} & = { frac {1} {2G}} sigma _ {12} ,; qquad varepsilon _ {13} = { frac {1} {2G}} sigma _ {13} ,; qquad varepsilon _ {23} = { frac {1} {2G}} sigma _ {23 } end {zarovnáno}}}

kde $E$ je Youngův modul a $ν$ je Poissonův poměr. (Vidět 3-D pružnost ).

Odvození Hookeova zákona ve třech rozměrech

Trojrozměrná forma Hookeova zákona může být odvozena pomocí Poissonova poměru a jednorozměrné formy Hookeova zákona následovně.

Vztah napětí a napětí považujte za superpozici dvou účinků: protažení ve směru zatížení (1) a zmenšení (způsobené zatížením) v kolmých směrech (2 a 3),

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {1} '& = { frac {1} {E}} sigma _ {1} ,, varepsilon _ {2}' & = - { frac { nu} {E}} sigma _ {1} ,, varepsilon _ {3} '& = - { frac { nu} {E}} sigma _ {1} , , end {zarovnáno}}}

kde $ν$ je Poissonův poměr a $E$ je Youngův modul.

Dostaneme podobné rovnice jako zatížení ve směrech 2 a 3,

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {1} '' & = - { frac { nu} {E}} sigma _ {2} ,, varepsilon _ {2} '' & = { frac {1} {E}} sigma _ {2} ,, varepsilon _ {3} '' & = - { frac { nu} {E}} sigma _ {2 } ,, end {zarovnáno}}}

a

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {1} '' '& = - { frac { nu} {E}} sigma _ {3} ,, varepsilon _ {2}' '' & = - { frac { nu} {E}} sigma _ {3} ,, varepsilon _ {3} '' '= = { frac {1} {E}} sigma _ {3} ,. End {zarovnáno}}}

Shrnutí všech tří případů dohromady ( $ε i = ε i' + ε i ″ + ε i ‴$ ) dostaneme

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {1} & = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ {1} - nu ( sigma _ {2} + sigma _ {3}) { big)} ,, varepsilon _ {2} & = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ {2} - nu ( sigma _ {1} + sigma _ {3}) { big)} ,, varepsilon _ {3} & = { frac {1} {E}} { big (} sigma _ { 3} - nu ( sigma _ {1} + sigma _ {2}) { big)} ,, end {zarovnáno}}}

nebo přidáním a odečtením jednoho $νσ$

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {1} & = { frac {1} {E}} { big (} (1+ nu) sigma _ {1} - nu ( sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3}) { big)} ,, varepsilon _ {2} & = { frac {1} {E}} { big (} (1+ nu) sigma _ {2} - nu ( sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3}) { big)} ,, varepsilon _ {3} & = { frac {1} {E}} { big (} (1+ nu) sigma _ {3} - nu ( sigma _ {1} + sigma _ {2 } + sigma _ {3}) { big)} ,, end {zarovnáno}}}

a dále se dostaneme řešením $σ 1$

{ displaystyle sigma _ {1} = { frac {E} {1+ nu}} varepsilon _ {1} + { frac { nu} {1+ nu}} ( sigma _ {1 } + sigma _ {2} + sigma _ {3}) ,.}

Výpočet částky

{ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {1} + varepsilon _ {2} + varepsilon _ {3} & = { frac {1} {E}} { big (} (1+ nu) ( sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3}) - 3 nu ( sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3}) { big)} = { frac {1-2 nu} {E}} ( sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3}) sigma _ {1} + sigma _ {2} + sigma _ {3} & = { frac {E} {1-2 nu}} ( varepsilon _ {1} + varepsilon _ {2} + varepsilon _ {3 }) end {zarovnáno}}}

a dosadit to do rovnice vyřešené pro $σ 1$ dává

{ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {1} & = { frac {E} {1+ nu}} varepsilon _ {1} + { frac {E nu} {(1+ nu) (1-2 nu)}} ( varepsilon _ {1} + varepsilon _ {2} + varepsilon _ {3}) & = 2 mu varepsilon _ {1} + lambda ( varepsilon _ {1} + varepsilon _ {2} + varepsilon _ {3}) ,, end {zarovnáno}}}

kde $μ$ a $λ$ jsou Lamé parametry.

Podobné zacházení s pokyny 2 a 3 dává Hookův zákon ve třech rozměrech.

V maticové formě lze Hookeův zákon pro izotropní materiály zapsat jako

{ displaystyle { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} 2 varepsilon _ {23} 2 varepsilon _ {13} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}} , = , { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} gamma _ {23} gamma _ {13} gamma _ {12} end {bmatrix}} , = , { frac {1} {E}} { begin {bmatrix} 1 & - nu & - nu & 0 & 0 & 0 - nu & 1 & - nu & 0 & 0 & 0 - nu & - nu & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 + 2 nu & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 + 2 nu & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 + 2 nu end {bmatrix}} { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {33} sigma _ {23} sigma _ {13} sigma _ {12} end {bmatrix}}}

kde $y ij = 2 ε ij$ je technické smykové napětí. Inverzní vztah lze zapsat jako

{ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {33} sigma _ {23} sigma _ {13} sigma _ {12} end {bmatrix}} , = , { frac {E} {(1+ nu) (1-2 nu)}} { begin {bmatrix} 1- nu & nu & nu & 0 & 0 & 0 nu & 1- nu & nu & 0 & 0 & 0 nu & nu & 1- nu & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & { frac {1-2 nu} {2}} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & { frac {1-2 nu} {2}} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & { frac {1-2 nu} {2}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} 2 varepsilon _ {23} 2 varepsilon _ {13} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}}}

které lze zjednodušit díky Laméovým konstantám:

{ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {33} sigma _ {23} sigma _ {13} sigma _ {12} end {bmatrix}} , = , { begin {bmatrix} 2 mu + lambda & lambda & lambda & 0 & 0 & 0 lambda & 2 mu + lambda & lambda & 0 & 0 & 0 lambda & lambda & 2 mu + lambda & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & mu & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & mu & 0 0 & 0 & 0 & 0 & mu end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} 2 varepsilon _ {23} 2 varepsilon _ {13} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}}}

Ve vektorové notaci se to stane

{ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & sigma _ {13} sigma _ {12} & sigma _ {22} & sigma _ {23 } sigma _ {13} & sigma _ {23} & sigma _ {33} end {bmatrix}} , = , 2 mu { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {12} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23} varepsilon _ {13} & varepsilon _ {23} & varepsilon _ {33} end {bmatrix}} + lambda mathbf {I} left ( varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} right)}

kde $Já$ je tenzor identity.

Rovinný stres

Pod rovinné napětí podmínky, $σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0$ . V takovém případě má formu Hookeův zákon

{ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {12} end {bmatrix}} , = , { frac {E} {1 - nu ^ {2}}} { begin {bmatrix} 1 & nu & 0 nu & 1 & 0 0 & 0 & { frac {1- nu} {2}} end {bmatrix}} { begin { bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}}}

Ve vektorové notaci se to stane

{ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} sigma _ {12} & sigma _ {22} end {bmatrix}} , = , { frac {E} {1- nu ^ {2}}} left ((1- nu) { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} varepsilon _ {12 } & varepsilon _ {22} end {bmatrix}} + nu mathbf {I} left ( varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} right) right)}

Inverzní vztah je obvykle psán v redukované formě

{ displaystyle { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}} , = , { frac {1} { E}} { begin {bmatrix} 1 & - nu & 0 - nu & 1 & 0 0 & 0 & 2 + 2 nu end {bmatrix}} { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {12} end {bmatrix}}}

Rovina napětí

Pod rovinné napětí podmínky, $ε 31 = ε 13 = ε 32 = ε 23 = ε 33 = 0$ . V tomto případě má formu Hookeův zákon

{ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {12} end {bmatrix}} , = , { frac {E} {( 1+ nu) (1-2 nu)}} { begin {bmatrix} 1- nu & nu & 0 nu & 1- nu & 0 0 & 0 & { frac {1-2 nu} {2}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}}}

Anizotropní materiály

Symetrie Cauchyho tenzor napětí ( $σ ij = σ ji$ ) a zobecněné Hookeovy zákony ( $σ ij = C ijkl ε kl$ ) to naznačuje $C ijkl = C jikl$ . Podobně symetrie nekonečně malý tenzor napětí to naznačuje $C ijkl = C ijlk$ . Tyto symetrie se nazývají menší symetrie tenzoru tuhosti C. To snižuje počet elastických konstant z 81 na 36.

Pokud navíc, protože gradient posunutí a Cauchyovo napětí jsou pracovní konjugát, vztah napětí-deformace lze odvodit z funkční hustoty deformační energie ( $U$ ), pak

{ displaystyle sigma _ {ij} = { frac { částečné U} { částečné varepsilon _ {ij}}} quad implikuje quad c_ {ijkl} = { frac { částečné ^ {2} U} { částečné varepsilon _ {ij} částečné varepsilon _ {kl}}} ,.}

To naznačuje libovolnost pořadí diferenciace $C ijkl = C klij$ . Tito se nazývají hlavní symetrie tenzoru tuhosti. To snižuje počet elastických konstant z 36 na 21. Hlavní a vedlejší symetrie naznačují, že tenzor tuhosti má pouze 21 nezávislých složek.

Maticová reprezentace (tenzor tuhosti)

Často je užitečné vyjádřit anizotropní formu Hookeova zákona v maticovém zápisu, nazývaném také Voigtova notace. K tomu využijeme symetrii tenzorů napětí a přetvoření a vyjádříme je jako šestrozměrné vektory v ortonormálním souřadném systému ( $E 1, E 2, E 3$ ) tak jako

{ displaystyle [{ boldsymbol { sigma}}] , = , { start {bmatrix} sigma _ {11} sigma _ {22} sigma _ {33} sigma _ {23} sigma _ {13} sigma _ {12} end {bmatrix}} , equiv , { begin {bmatrix} sigma _ {1} sigma _ { 2} sigma _ {3} sigma _ {4} sigma _ {5} sigma _ {6} end {bmatrix}} ,; qquad [{ boldsymbol { varepsilon}}] , = , { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} 2 varepsilon _ {23} 2 varepsilon _ {13} 2 varepsilon _ {12} end {bmatrix}} , equiv , { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} varepsilon _ {3} varepsilon _ {4} varepsilon _ {5} varepsilon _ {6} end {bmatrix}}}

Pak tenzor tuhosti (C) lze vyjádřit jako

{ displaystyle [{ mathsf {c}}] , = , { begin {bmatrix} c_ {1111} & c_ {1122} & c_ {1133} & c_ {1123} & c_ {1131} & c_ {1112} c_ {2211} & c_ {2222} & c_ {2233} & c_ {2223} & c_ {2231} & c_ {2212} c_ {3311} & c_ {3322} & c_ {3333} & c_ {3323} & c_ {3331} & c_ {3312} c_ {2311} & c_ {2322} & c_ {2333} & c_ {2323} & c_ {2331} & c_ {2312} c_ {3111} & c_ {3122} & c_ {3133} & c_ {3123} & c_ {3131} & c_ {3112 } c_ {1211} & c_ {1222} & c_ {1233} & c_ {1223} & c_ {1231} & c_ {1212} end {bmatrix}} , equiv , { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & C_ {14} & C_ {15} & C_ {16} C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} & C_ {24} & C_ {25} & C_ {26} C_ {13 } & C_ {23} & C_ {33} & C_ {34} & C_ {35} & C_ {36} C_ {14} & C_ {24} & C_ {34} & C_ {44} & C_ {45} & C_ {46} C_ {15} & C_ {25} & C_ {35} & C_ {45} & C_ {55} & C_ {56} C_ {16} & C_ {26} & C_ {36} & C_ {46} & C_ {56} & C_ {66} konec {bmatrix}}}

a Hookeův zákon je psán jako

{ displaystyle [{ boldsymbol { sigma}}] = [{ mathsf {C}}] [{ boldsymbol { varepsilon}}] qquad { text {nebo}} qquad sigma _ {i} = C_ {ij} varepsilon _ {j} ,.}

Podobně tenzor souladu (s) lze psát jako

{ displaystyle [{ mathsf {s}}] , = , { begin {bmatrix} s_ {1111} & s_ {1122} & s_ {1133} & 2s_ {1123} & 2s_ {1131} & 2s_ {1112} s_ {2211} & s_ {2222} & s_ {2233} & 2s_ {2223} & 2s_ {2231} & 2s_ {2212} s_ {3311} & s_ {3322} & s_ {3333} & 2s_ {3323} & 2s_ {3331} & 2s_ {3312} 2s_ {2311} & 2s_ {2322} & 2s_ {2333} & 4s_ {2323} & 4s_ {2331} & 4s_ {2312} 2s_ {3111} & 2s_ {3122} & 2s_ {3133} & 4s_ {3123} & 4s_ {3131} & 4s_ {3112 } 2s_ {1211} & 2s_ {1222} & 2s_ {1233} & 4s_ {1223} & 4s_ {1231} & 4s_ {1212} end {bmatrix}} , equiv , { begin {bmatrix} S_ {11} & S_ {12} & S_ {13} & S_ {14} & S_ {15} & S_ {16} S_ {12} & S_ {22} & S_ {23} & S_ {24} & S_ {25} & S_ {26} S_ {13 } & S_ {23} & S_ {33} & S_ {34} & S_ {35} & S_ {36} S_ {14} & S_ {24} & S_ {34} & S_ {44} & S_ {45} & S_ {46} S_ {15} & S_ {25} & S_ {35} & S_ {45} & S_ {55} & S_ {56} S_ {16} & S_ {26} & S_ {36} & S_ {46} & S_ {56} & S_ {66} konec {bmatrix}}}

Změna souřadného systému

If a linear elastic material is rotated from a reference configuration to another, then the material is symmetric with respect to the rotation if the components of the stiffness tensor in the rotated configuration are related to the components in the reference configuration by the relation^[12]

{displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}}

kde $l ab$ are the components of an orthogonal rotation matrix $[L]$ . The same relation also holds for inversions.

In matrix notation, if the transformed basis (rotated or inverted) is related to the reference basis by

{displaystyle [mathbf {e} _{i}']=[L][mathbf {e} _{i}]}

pak

{displaystyle C_{ij}varepsilon _{i}varepsilon _{j}=C_{ij}'varepsilon '_{i}varepsilon '_{j},.}

In addition, if the material is symmetric with respect to the transformation $[L]$ pak

{displaystyle C_{ij}=C'_{ij}quad implies quad C_{ij}(varepsilon _{i}varepsilon _{j}-varepsilon '_{i}varepsilon '_{j})=0,.}

Ortotropní materiály

Ortotropní materiály mít tři ortogonální roviny symetrie. If the basis vectors ( $E 1, E 2, E 3$ ) are normals to the planes of symmetry then the coordinate transformation relations imply that

{displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}sigma _{4}sigma _{5}sigma _{6}end{bmatrix}},=,{egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0�&0&0&C_{44}&0&0�&0&0&0&C_{55}&0�&0&0&0&0&C_{66}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{1}varepsilon _{2}varepsilon _{3}varepsilon _{4}varepsilon _{5}varepsilon _{6}end{bmatrix}}}

The inverse of this relation is commonly written as^[13]^{[stránka potřebná ]}

{displaystyle {egin{bmatrix}varepsilon _{xx}varepsilon _{yy}varepsilon _{zz}2varepsilon _{yz}2varepsilon _{zx}2varepsilon _{xy}end{bmatrix}},=,{egin{bmatrix}{frac {1}{E_{x}}}&-{frac { u _{yx}}{E_{y}}}&-{frac { u _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0-{frac { u _{xy}}{E_{x}}}&{frac {1}{E_{y}}}&-{frac { u _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0-{frac { u _{xz}}{E_{x}}}&-{frac { u _{yz}}{E_{y}}}&{frac {1}{E_{z}}}&0&0&0�&0&0&{frac {1}{G_{yz}}}&0&0�&0&0&0&{frac {1}{G_{zx}}}&0�&0&0&0&0&{frac {1}{G_{xy}}}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}sigma _{xx}sigma _{yy}sigma _{zz}sigma _{yz}sigma _{zx}sigma _{xy}end{bmatrix}}}

kde

E i

je Youngův modul podél osy

i

G ij

je tažný modul ve směru

j

v rovině, jejíž normála je ve směru

i

ν ij

je Poissonův poměr that corresponds to a contraction in direction

j

když je prodloužení aplikováno ve směru

i

.

Pod rovinné napětí podmínky, $σ zz = σ zx = σ yz = 0$ , Hooke's law for an orthotropic material takes the form

{displaystyle {egin{bmatrix}varepsilon _{xx}varepsilon _{yy}2varepsilon _{xy}end{bmatrix}},=,{egin{bmatrix}{frac {1}{E_{x}}}&-{frac { u _{yx}}{E_{y}}}&0-{frac { u _{xy}}{E_{x}}}&{frac {1}{E_{y}}}&0�&0&{frac {1}{G_{xy}}}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}sigma _{xx}sigma _{yy}sigma _{xy}end{bmatrix}},.}

The inverse relation is

{displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{xx}sigma _{yy}sigma _{xy}end{bmatrix}},=,{frac {1}{1- u _{xy} u _{yx}}}{egin{bmatrix}E_{x}& u _{yx}E_{x}&0 u _{xy}E_{y}&E_{y}&0�&0&G_{xy}(1- u _{xy} u _{yx})end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{xx}varepsilon _{yy}2varepsilon _{xy}end{bmatrix}},.}

The transposed form of the above stiffness matrix is also often used.

Transversely isotropic materials

A příčně izotropní material is symmetric with respect to a rotation about an osa symetrie. For such a material, if $E 3$ is the axis of symmetry, Hooke's law can be expressed as

{displaystyle {egin{bmatrix}sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}sigma _{4}sigma _{5}sigma _{6}end{bmatrix}},=,{egin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0�&0&0&C_{44}&0&0�&0&0&0&C_{44}&0�&0&0&0&0&{frac {C_{11}-C_{12}}{2}}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}varepsilon _{1}varepsilon _{2}varepsilon _{3}varepsilon _{4}varepsilon _{5}varepsilon _{6}end{bmatrix}}}

More frequently, the $X \equiv E 1$ axis is taken to be the axis of symmetry and the inverse Hooke's law is written as^[14]

{displaystyle {egin{bmatrix}varepsilon _{xx}varepsilon _{yy}varepsilon _{zz}2varepsilon _{yz}2varepsilon _{zx}2varepsilon _{xy}end{bmatrix}},=,{egin{bmatrix}{frac {1}{E_{x}}}&-{frac { u _{yx}}{E_{y}}}&-{frac { u _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0-{frac { u _{xy}}{E_{x}}}&{frac {1}{E_{y}}}&-{frac { u _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0-{frac { u _{xz}}{E_{x}}}&-{frac { u _{yz}}{E_{y}}}&{frac {1}{E_{z}}}&0&0&0�&0&0&{frac {1}{G_{yz}}}&0&0�&0&0&0&{frac {1}{G_{xz}}}&0�&0&0&0&0&{frac {1}{G_{xy}}}end{bmatrix}}{egin{bmatrix}sigma _{xx}sigma _{yy}sigma _{zz}sigma _{yz}sigma _{zx}sigma _{xy}end{bmatrix}}}

Universal elastic anisotropy index

To grasp the degree of anisotropy of any class, a universal elastic anisotropy index (AU)^[15] was formulated. Nahrazuje Zener ratio, which is suited for krychlové krystaly.

Thermodynamic basis

Linear deformations of elastic materials can be approximated as adiabatický. Under these conditions and for quasistatic processes the první zákon termodynamiky for a deformed body can be expressed as

{displaystyle delta W=delta U}

kde $δU$ je nárůst v vnitřní energie a $δW$ je práce done by external forces. The work can be split into two terms

{displaystyle delta W=delta W_{mathrm {s} }+delta W_{mathrm {b} }}

kde $δW s$ is the work done by povrchové síly zatímco $δW b$ is the work done by tělesné síly. Li $δ u$ je variace of the displacement field $u$ in the body, then the two external work terms can be expressed as

{displaystyle delta W_{mathrm {s} }=int _{partial Omega }mathbf {t} cdot delta mathbf {u} ,dS,;qquad delta W_{mathrm {b} }=int _{Omega }mathbf {b} cdot delta mathbf {u} ,dV}

kde $t$ je povrch trakce vektor, $b$ is the body force vector, $Ω$ represents the body and $\partial Ω$ represents its surface. Using the relation between the Cauchyho stres and the surface traction, $t = n \cdot σ$ (kde $n$ je jednotka ven normálně k $\partial Ω$ ), my máme

{displaystyle delta W=delta U=int _{partial Omega }(mathbf {n} cdot {oldsymbol {sigma }})cdot delta mathbf {u} ,dS+int _{Omega }mathbf {b} cdot delta mathbf {u} ,dV,.}

Převod povrchový integrál do objemový integrál přes věta o divergenci dává

{displaystyle delta U=int _{Omega }{ig (} abla cdot ({oldsymbol {sigma }}cdot delta mathbf {u} )+mathbf {b} cdot delta mathbf {u} {ig )},dV,.}

Using the symmetry of the Cauchy stress and the identity

{displaystyle abla cdot (mathbf {a} cdot mathbf {b} )=( abla cdot mathbf {a} )cdot mathbf {b} +{ frac {1}{2}}left(mathbf {a} ^{mathsf {T}}: abla mathbf {b} +mathbf {a} :( abla mathbf {b} )^{mathsf {T}} ight)}

we have the following

{displaystyle delta U=int _{Omega }left({oldsymbol {sigma }}:{ frac {1}{2}}left( abla delta mathbf {u} +( abla delta mathbf {u} )^{mathsf {T}} ight)+left( abla cdot {oldsymbol {sigma }}+mathbf {b} ight)cdot delta mathbf {u} ight),dV,.}

Z definice kmen and from the equations of rovnováha my máme

{displaystyle delta {oldsymbol {varepsilon }}={ frac {1}{2}}left( abla delta mathbf {u} +( abla delta mathbf {u} )^{mathsf {T}} ight),;qquad abla cdot {oldsymbol {sigma }}+mathbf {b} =mathbf {0} ,.}

Hence we can write

{displaystyle delta U=int _{Omega }{oldsymbol {sigma }}:delta {oldsymbol {varepsilon }},dV}

and therefore the variation in the vnitřní energie density is given by

{displaystyle delta U_{0}={oldsymbol {sigma }}:delta {oldsymbol {varepsilon }},.}

An elastický material is defined as one in which the total internal energy is equal to the potenciální energie of the internal forces (also called the pružná deformační energie). Therefore, the internal energy density is a function of the strains, $U 0 = U 0 (ε)$ and the variation of the internal energy can be expressed as

{displaystyle delta U_{0}={frac {partial U_{0}}{partial {oldsymbol {varepsilon }}}}:delta {oldsymbol {varepsilon }},.}

Since the variation of strain is arbitrary, the stress–strain relation of an elastic material is given by

{displaystyle {oldsymbol {sigma }}={frac {partial U_{0}}{partial {oldsymbol {varepsilon }}}},.}

For a linear elastic material, the quantity $\partial U 0 / \partial ε$ je lineární funkcí $ε$ , and can therefore be expressed as

{displaystyle {oldsymbol {sigma }}={mathsf {c}}:{oldsymbol {varepsilon }}}

kde C is a fourth-rank tensor of material constants, also called the stiffness tensor. We can see why C must be a fourth-rank tensor by noting that, for a linear elastic material,

{displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {varepsilon }}}}{oldsymbol {sigma }}({oldsymbol {varepsilon }})={ ext{constant}}={mathsf {c}},.}

V indexové notaci

{displaystyle {frac {partial sigma _{ij}}{partial varepsilon _{kl}}}={ ext{constant}}=c_{ijkl},.}

The right-hand side constant requires four indices and is a fourth-rank quantity. We can also see that this quantity must be a tensor because it is a linear transformation that takes the strain tensor to the stress tensor. We can also show that the constant obeys the tensor transformation rules for fourth-rank tensors.

Viz také

Poznámky

^ The anagram was given in alphabetical order, ceiiinosssttuu, zastupující Ut tensio, sic vis – "As the extension, so the force": Petroski, Henry (1996). Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing. Cambridge, MA: Harvard University Press. str.11. ISBN 978-0674463684.
^ Vidět http://civil.lindahall.org/design.shtml, where one can find also an anagram for řetězovka.
^ Robert Hooke, De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.
^ Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "Size dependent nanomechanics of coil spring shaped polymer nanowires". Vědecké zprávy. 5: 17152. Bibcode:2015NatSR...517152U. doi:10.1038/srep17152. PMC 4661696. PMID 26612544.
^ Belen'kii; Salaev (1988). "Deformation effects in layer crystals". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 155 (5): 89. doi:10.3367/UFNr.0155.198805c.0089.
^ Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5 December 2014). "Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems". Fyzický přehled B. 90 (22): 224104. arXiv:1410.0065. doi:10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121.
^ Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "A relook at the compliance constants in redundant internal coordinates and some new insights". J. Chem. Phys. 131 (17): 174112–174116. Bibcode:2009JChPh.131q4112V. doi:10.1063/1.3259834. PMID 19895003.
^ Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivsky, Roman; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). "Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study". Phys. Chem. Chem. Phys. 14 (19): 6787–6795. Bibcode:2012PCCP...14.6787P. doi:10.1039/C2CP40290D. PMID 22461011.
^ Symon, Keith R. (1971). „Kapitola 10“. Mechanika. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928.
^ Simo, J. C .; Hughes, T. J. R. (1998). Výpočetní nepružnost. Springer. ISBN 9780387975207.
^ Milton, Graeme W. (2002). Teorie kompozitů. Cambridge monografie o aplikované a výpočetní matematice. Cambridge University Press. ISBN 9780521781251.
^ Slaughter, William S. (2001). The Linearized Theory of Elasticity. Birkhäuser. ISBN 978-0817641177.
^ Boresi, A. P.; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). Pokročilá mechanika materiálů (5. vydání). Wiley. ISBN 9780471600091.
^ Tan, S. C. (1994). Koncentrace stresu v laminovaných kompozitech. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company. ISBN 9781566760775.
^ Ranganathan, S.I .; Ostoja-Starzewski, M. (2008). "Univerzální index elastické anizotropie". Dopisy o fyzické kontrole. 101 (5): 055504–1–4. Bibcode:2008PhRvL.101e5504R. doi:10.1103 / PhysRevLett.101.055504. PMID 18764407.

Reference

Ugural, A. C .; Fenster, S. K. (2003). Pokročilá síla a aplikovaná pružnost (4. vydání). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-047392-9.
Walter Lewin vysvětluje Hookeův zákon. Z Walter Lewin (1. října 1999). Hookeův zákon, jednoduchý harmonický oscilátor. Kurz MIT 8.01: Klasická mechanika, přednáška 10 (videokazeta). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Událost se koná v 1: 21–10: 10. Archivovány od originál (ogg) dne 29. června 2011. Citováno 23. prosince 2010. ... pravděpodobně nejdůležitější rovnice v celé fyzice.
Test Hookova zákona. Z Walter Lewin (1. října 1999). Hookeův zákon, jednoduchý harmonický oscilátor. Kurz MIT 8.01: Klasická mechanika, přednáška 10 (videokazeta). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Událost se koná v 10: 10–16: 33. Archivovány od originál (ogg) dne 29. června 2011. Citováno 23. prosince 2010.

externí odkazy

Převodní vzorce
Homogenní izotropní lineární elastické materiály mají své elastické vlastnosti jednoznačně určeny libovolnými dvěma moduly z nich; tedy vzhledem k jakýmkoli dvěma lze libovolný další modul pružnosti vypočítat podle těchto vzorců.
	${ displaystyle K = ,}$	${ displaystyle E = ,}$	${ displaystyle lambda = ,}$	${ displaystyle G = ,}$	${ displaystyle nu = ,}$	${ displaystyle M = ,}$	Poznámky
${ displaystyle (K, , E)}$			${ displaystyle { tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-E} {6K}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${ displaystyle (K, , lambda)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (K- lambda)} {3K- lambda}}}$		${ displaystyle { tfrac {3 (K- lambda)} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {3K- lambda}}}$	${ displaystyle 3K-2 lambda ,}$
${ displaystyle (K, , G)}$		${ displaystyle { tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${ displaystyle K - { tfrac {2G} {3}}}$		${ displaystyle { tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${ displaystyle K + { tfrac {4G} {3}}}$
${ displaystyle (K, , nu)}$		${ displaystyle 3K (1-2 nu) ,}$	${ displaystyle { tfrac {3K nu} {1+ nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (1-2 nu)} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {3K (1- nu)} {1+ nu}}}$
${ displaystyle (K, , M)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (M-K)} {3K + M}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac {3 (M-K)} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {3K + M}}}$
${ displaystyle (E, , lambda)}$	${ displaystyle { tfrac {E + 3 lambda + R} {6}}}$			${ displaystyle { tfrac {E-3 lambda + R} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {2 lambda} {E + lambda + R}}}$	${ displaystyle { tfrac {E- lambda + R} {2}}}$	${ displaystyle R = { sqrt {E ^ {2} +9 lambda ^ {2} + 2E lambda}}}$
${ displaystyle (E, , G)}$	${ displaystyle { tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${ displaystyle { tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${ displaystyle { tfrac {E} {2G}} - 1}$	${ displaystyle { tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${ displaystyle (E, , nu)}$	${ displaystyle { tfrac {E} {3 (1-2 nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E nu} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {E} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E (1- nu)} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$
${ displaystyle (E, , M)}$	${ displaystyle { tfrac {3M-E + S} {6}}}$		${ displaystyle { tfrac {M-E + S} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3M + E-S} {8}}}$	${ displaystyle { tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${ displaystyle S = pm { sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}}$ Existují dvě platná řešení. Znaménko plus vede k ${ displaystyle nu geq 0}$ . Znaménko mínus vede k ${ displaystyle nu leq 0}$ .
${ displaystyle ( lambda, , G)}$	${ displaystyle lambda + { tfrac {2G} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {G (3 lambda + 2G)} { lambda + G}}}$			${ displaystyle { tfrac { lambda} {2 ( lambda + G)}}}$	${ displaystyle lambda + 2G ,}$
${ displaystyle ( lambda, , nu)}$	${ displaystyle { tfrac { lambda (1+ nu)} {3 nu}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda (1+ nu) (1-2 nu)} { nu}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1-2 nu)} {2 nu}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1- nu)} { nu}}}$	Nelze použít, když ${ displaystyle nu = 0 Leftrightarrow lambda = 0}$
${ displaystyle ( lambda, , M)}$	${ displaystyle { tfrac {M + 2 lambda} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {(M- lambda) (M + 2 lambda)} {M + lambda}}}$		${ displaystyle { tfrac {M- lambda} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {M + lambda}}}$
${ displaystyle (G, , nu)}$	${ displaystyle { tfrac {2G (1+ nu)} {3 (1-2 nu)}}}$	${ displaystyle 2G (1+ nu) ,}$	${ displaystyle { tfrac {2G nu} {1-2 nu}}}$			${ displaystyle { tfrac {2G (1- nu)} {1-2 nu}}}$
${ displaystyle (G, , M)}$	${ displaystyle M - { tfrac {4G} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {G (3M-4G)} {M-G}}}$	${ displaystyle M-2G ,}$		${ displaystyle { tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${ displaystyle ( nu, , M)}$	${ displaystyle { tfrac {M (1+ nu)} {3 (1- nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {M (1+ nu) (1-2 nu)} {1- nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {M nu} {1- nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {M (1-2 nu)} {2 (1- nu)}}}$

[1] The anagram was given in alphabetical order, ceiiinosssttuu, zastupující Ut tensio, sic vis – "As the extension, so the force": Petroski, Henry (1996). Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing. Cambridge, MA: Harvard University Press. str.11. ISBN 978-0674463684.

[2] Vidět http://civil.lindahall.org/design.shtml, where one can find also an anagram for řetězovka.

[3] Robert Hooke, De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.

[4] Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "Size dependent nanomechanics of coil spring shaped polymer nanowires". Vědecké zprávy. 5: 17152. Bibcode:2015NatSR...517152U. doi:10.1038/srep17152. PMC 4661696. PMID 26612544.

[5] Belen'kii; Salaev (1988). "Deformation effects in layer crystals". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 155 (5): 89. doi:10.3367/UFNr.0155.198805c.0089.

[6] Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5 December 2014). "Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems". Fyzický přehled B. 90 (22): 224104. arXiv:1410.0065. doi:10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121.

[7] Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "A relook at the compliance constants in redundant internal coordinates and some new insights". J. Chem. Phys. 131 (17): 174112–174116. Bibcode:2009JChPh.131q4112V. doi:10.1063/1.3259834. PMID 19895003.

[8] Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivsky, Roman; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). "Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study". Phys. Chem. Chem. Phys. 14 (19): 6787–6795. Bibcode:2012PCCP...14.6787P. doi:10.1039/C2CP40290D. PMID 22461011.

[9] Symon, Keith R. (1971). „Kapitola 10“. Mechanika. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928.

[Simo98-10] Simo, J. C .; Hughes, T. J. R. (1998). Výpočetní nepružnost. Springer. ISBN 9780387975207.

[Milton02-11] Milton, Graeme W. (2002). Teorie kompozitů. Cambridge monografie o aplikované a výpočetní matematice. Cambridge University Press. ISBN 9780521781251.

[Slaughter-12] Slaughter, William S. (2001). The Linearized Theory of Elasticity. Birkhäuser. ISBN 978-0817641177.

[Boresi-13] Boresi, A. P.; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). Pokročilá mechanika materiálů (5. vydání). Wiley. ISBN 9780471600091.

[Tan-14] Tan, S. C. (1994). Koncentrace stresu v laminovaných kompozitech. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company. ISBN 9781566760775.

[15] Ranganathan, S.I .; Ostoja-Starzewski, M. (2008). "Univerzální index elastické anizotropie". Dopisy o fyzické kontrole. 101 (5): 055504–1–4. Bibcode:2008PhRvL.101e5504R. doi:10.1103 / PhysRevLett.101.055504. PMID 18764407.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]