Operátor Ornstein – Uhlenbeck - Ornstein–Uhlenbeck operator

v matematika, Operátor Ornstein – Uhlenbeck je zobecněním Operátor Laplace do nekonečně dimenzionálního prostředí. Operátor Ornstein – Uhlenbeck hraje významnou roli v Malliavinův počet.

Úvod: konečný trojrozměrný obraz

Laplacian

Zvažte spád operátor ∇ působící na skalární funkce F : Rⁿ → R; gradient skalární funkce je a vektorové pole proti = ∇F : Rⁿ → Rⁿ. The divergence operátor div, který na vektorová pole vytváří skalární pole, je operátor adjoint do ∇. Laplaceův operátor Δ je pak složení operátorů divergence a gradientu:

${ displaystyle Delta = mathrm {div} circ nabla}$,

působící na skalární funkce k vytvoření skalárních funkcí. Všimněte si, že A = −Δ je kladný operátor, zatímco Δ je a disipativní operátor.

Použitím spektrální teorie, lze definovat a odmocnina (1 - Δ)^1/2 pro operátora (1 - Δ). Tato druhá odmocnina splňuje následující vztah týkající se Sobolev H¹-norma a L²-norma pro vhodné skalární funkce F:

${ displaystyle { big |} f { big |} _ {H ^ {1}} ^ {2} = { big |} (1- Delta) ^ {1/2} f { velký |} _ {L ^ {2}} ^ {2}.}$

Operátor Ornstein – Uhlenbeck

Často při práci Rⁿ, pracuje se s ohledem na Lebesgueovo opatření, který má mnoho pěkných vlastností. Pamatujte však, že cílem je pracovat nekonečný-dimenzionální mezery, a to je fakt neexistuje nekonečně rozměrná Lebesgueova míra. Místo toho, pokud někdo nějaké studuje oddělitelný Banachův prostor E, co dává smysl, je pojem Gaussova míra; zejména abstraktní Wienerův prostor stavba dává smysl.

Chcete-li získat intuici o tom, co lze očekávat v prostředí nekonečné dimenze, zvažte standardní Gaussovu míru yⁿ na Rⁿ: pro podmnožiny Borel A z Rⁿ,

${ displaystyle gamma ^ {n} (A): = int _ {A} (2 pi) ^ {- n / 2} exp (- | x | ^ {2} / 2) , mathrm {d} x.}$

To dělá (Rⁿ, B(Rⁿ), yⁿ) do pravděpodobnostní prostor; E bude označovat očekávání s ohledem na yⁿ.

The operátor přechodu ∇ působí na (diferencovatelnou) funkci φ : Rⁿ → R dát a vektorové pole ∇φ : Rⁿ → Rⁿ.

The operátor divergence δ (být přesnější, δ_n, protože záleží na dimenzi) je nyní definován jako adjoint z ∇ v Hilbertův prostor smysl, v Hilbertově prostoru L²(Rⁿ, B(Rⁿ), yⁿ; R). Jinými slovy, δ působí na vektorové pole proti : Rⁿ → Rⁿ dát skalární funkci δv : Rⁿ → Ra splňuje vzorec

${ displaystyle mathbb {E} { big [} nabla f cdot v { big]} = mathbb {E} { big [} f delta v { big]}.}$

Na levé straně je produkt bodově euklidovský Tečkovaný produkt dvou vektorových polí; vpravo je to pouze bodové znásobení dvou funkcí. Použitím integrace po částech, lze to zkontrolovat δ působí na vektorové pole proti s komponenty protiⁱ, i = 1, ..., n, jak následuje:

${ displaystyle delta v (x) = součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo (x_ {i} v ^ {i} (x) - { frac { částečný v ^ {i}} { částečné x_ {i}}} (x) pravé).}$

Změna zápisu z „div“ na „δ„Je ze dvou důvodů: zaprvé, δ je notace používaná v nekonečných dimenzích (Malliavinův počet); za druhé, δ je opravdu negativní obvyklé divergence.

(Konečně-dimenzionální) Operátor Ornstein – Uhlenbeck L (nebo, abych byl přesnější, L_m) je definován

${ displaystyle L: = - delta circ nabla,}$

s užitečným vzorcem, který pro všechny F a G dostatečně hladký, aby všechny výrazy dávaly smysl,

${ displaystyle delta (f nabla g) = - nabla f cdot nabla g-fLg.}$

Operátor Ornstein – Uhlenbeck L je vztaženo k obvyklému Laplacian Δ od

${ displaystyle Lf (x) = Delta f (x) -x cdot nabla f (x).}$

Operátor Ornstein – Uhlenbeck pro oddělitelný Banachův prostor

Zvažte nyní abstraktní Wienerův prostor E s prostorem Cameron-Martin Hilbert H a Wienerovo opatření y. Nechť D označuje Malliavinův derivát. Malliavinův derivát D je neomezený operátor z L²(E, y; R) do L²(E, y; H) - v určitém smyslu měří „jak náhodnou“ funkci E je. Doména D není celá L²(E, y; R), ale je hustý lineární podprostor, Watanabe-Sobolevův prostor, často označovaný jako ${ displaystyle mathbb {D} ^ {1,2}}$ (kdysi diferencovatelné ve smyslu Malliavin, s derivací v L²).

Znovu, δ je definován jako adjoint operátoru přechodu (v tomto případě hraje Malliavinova derivace roli operátoru přechodu). Operátor δ je také známý Skorokhod integrál, což je předvídání stochastický integrál; právě toto nastavení dává vzniknout sloganu „stochastické integrály jsou divergence“. δ uspokojuje identitu

${ displaystyle mathbb {E} { big [} langle mathrm {D} F, v rangle _ {H} { big]} = mathbb {E} { big [} F delta v { velký]}}$

pro všechny F v ${ displaystyle mathbb {D} ^ {1,2}}$ a proti v doméně δ.

Pak Operátor Ornstein – Uhlenbeck pro E je provozovatel L definován

${ displaystyle L: = - delta circ mathrm {D}.}$

Reference

• Ocone, Daniel L. (1988). "Průvodce stochastickým počtem variací". Stochastická analýza a související témata (Silivri, 1986). Poznámky k přednášce v matematice. 1316. Berlín: Springer. s. 1–79. PAN953793
• Sanz-Solé, Marta (2008). „Aplikace Malliavinova kalkulu na stochastické parciální diferenciální rovnice (přednášky na Imperial College London, 7. – 11. Července 2008)“ (PDF). Citováno 2008-07-09.