Problém dvou těl v obecné relativitě - Two-body problem in general relativity

Část série článků o
Obecná relativita
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Stupnice relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

The problém dvou těl v obecné relativitě je stanovení pohybu a gravitační pole dvou těl, jak je popsáno v polní rovnice z obecná relativita. Řešení Keplerův problém je nezbytné pro výpočet ohybu světla gravitací a pohybem a planeta obíhá kolem svého slunce. Řešení se také používají k popisu pohybu dvojhvězdy kolem sebe a odhadnout jejich postupnou ztrátu energie gravitační záření.

Obecná relativita popisuje gravitační pole zakřiveným časoprostorem; the polní rovnice řídící toto zakřivení jsou nelineární a proto je obtížné jej vyřešit v a uzavřená forma. Nebyla nalezena žádná přesná řešení Keplerova problému, ale přibližné řešení má: Schwarzschildovo řešení. Toto řešení platí, když hmota M jednoho těla je ohromně větší než hmotnost m toho druhého. Pokud ano, lze větší hmotu považovat za stacionární a jediného přispěvatele do gravitačního pole. To je dobrá aproximace pro foton procházející hvězdou a pro planetu obíhající kolem jejího slunce. Pohyb lehčího těla (nazývaného níže „částice“) lze poté určit z Schwarzschildova řešení; pohyb je a geodetické („nejkratší cesta mezi dvěma body“) v zakřiveném časoprostoru. Taková geodetická řešení představují anomální precese z planeta Merkur, což je klíčový důkaz podporující teorii obecné relativity. Popisují také ohyb světla v gravitačním poli, další předpověď skvěle používaný jako důkaz pro obecnou relativitu.

Pokud se má za to, že obě hmoty přispívají ke gravitačnímu poli, jako v dvojhvězdách, lze Keplerův problém vyřešit jen přibližně. Nejdříve vyvinutá metoda aproximace byla post-newtonovská expanze, iterační metoda, při které je počáteční řešení postupně opravováno. V poslední době je možné vyřešit Einsteinovu rovnici pole pomocí počítače^[1][2][3] místo matematických vzorců. Jak obě těla obíhají kolem sebe, budou emitovat gravitační záření; to způsobí, že postupně ztrácejí energii a moment hybnosti, jak ukazuje binární pulsar PSR B1913 + 16.

Pro binární černé díry numerického řešení problému dvou těl bylo dosaženo po čtyřech desetiletích výzkumu, v roce 2005, kdy tři skupiny navrhly průlomové techniky.^[1][2][3]

Historický kontext

Klasický Keplerův problém

Obrázek 1. Typická eliptická dráha menší hmotnosti m obíhající kolem mnohem větší hmoty M. Větší hmota se také pohybuje na eliptické oběžné dráze, ale je příliš malá na to, aby ji bylo možné vidět, protože M je mnohem větší než m. Konce průměru označují apsidy, body nejbližší a nejvzdálenější vzdálenosti.

Keplerův problém odvozuje svůj název od Johannes Kepler, který pracoval jako asistent dánského astronoma Tycho Brahe. Brahe provedl mimořádně přesná měření pohybu planet sluneční soustavy. Z těchto měření dokázal Kepler formulovat Keplerovy zákony, první moderní popis planetárního pohybu:

1. The obíhat ze všech planeta je elipsa se Sluncem u jednoho ze dvou ohniska.
2. A čára spojení se s planetou a Slunce zametá rovným dílem oblastech ve stejných časových intervalech.
3. The náměstí z oběžná doba planety je přímo úměrný do krychle z poloviční hlavní osa jeho oběžné dráhy.

Kepler publikoval první dva zákony v roce 1609 a třetí zákon v roce 1619. Nahradily dřívější modely sluneční soustavy, například ty z Ptolemaios a Copernicus. Keplerovy zákony platí pouze v omezeném případě problému se dvěma těly. Voltaire a Émilie du Châtelet jako první jim říkali „Keplerovy zákony“.

Téměř o sto let později Isaac Newton formuloval své tři zákony pohybu. Zejména druhý Newtonův zákon stanoví, že síla F aplikován na hmotu m produkuje zrychlení A dané rovnicí F=ma. Newton poté položil otázku: jaká musí být síla, která produkuje eliptické dráhy viděné Keplerem? Jeho odpověď přišla v jeho zákon univerzální gravitace, který uvádí, že síla mezi hmotou M a další mše m je dáno vzorcem

${displaystyle F = G {frac {Mm} {r ^ {2}}}}$,

kde r je vzdálenost mezi hmotami a G je gravitační konstanta. Vzhledem k tomuto silovému zákonu a jeho pohybovým rovnicím dokázal Newton ukázat, že dvě bodové hmoty přitahující se navzájem budou následovat dokonale eliptické dráhy. Poměr velikostí těchto elips je m/M, přičemž větší hmota se pohybuje na menší elipsě. Li M je mnohem větší než m, pak se větší hmota bude jevit jako stacionární v ohnisku eliptické oběžné dráhy lehčí hmoty m. Tento model lze aplikovat přibližně na sluneční soustavu. Vzhledem k tomu, že hmotnost Slunce je mnohem větší než u planet, je síla působící na každou planetu hlavně díky Slunci; gravitaci planet pro sebe lze zanedbávat k první aproximaci.

Apsidální precese

Při absenci dalších sil následuje částice obíhající kolem jiné pod vlivem newtonovské gravitace stejnou dokonalost elipsa věčně. Přítomnost dalších sil (například gravitace jiných planet) způsobuje, že se tato elipsa postupně otáčí. Rychlost této rotace (tzv. Orbitální precese) lze měřit velmi přesně. Rychlost lze také předpovědět se znalostí velikostí a směrů ostatních sil. Předpovědi newtonovské gravitace však neodpovídají pozorování, jak bylo objeveno v roce 1859 z pozorování Merkuru.

Pokud potenciální energie mezi dvěma těly není přesně 1 /r potenciál Newtonova gravitačního zákona, ale liší se jen nepatrně, poté se elipsa oběžné dráhy postupně otáčí (kromě dalších možných účinků). Tento apsidální precese je pozorován pro všechny planety obíhající kolem Slunce, a to především kvůli zakřivenosti Slunce (není dokonale sférické) a přitažlivosti ostatních planet k sobě navzájem. Apsidy jsou dva body nejbližší a nejvzdálenější vzdálenosti oběžné dráhy (periapsis a apoapsis); apsidální precese odpovídá rotaci linie spojující apsidy. To také odpovídá rotaci Vektor Laplace – Runge – Lenz, který ukazuje podél linie apsidů.

Newtonův gravitační zákon byl brzy přijat, protože poskytoval velmi přesné předpovědi pohybu všech planet.^{[pochybný – diskutovat]} Tyto výpočty původně provedl Pierre-Simon Laplace na konci 18. století a očištěn Félix Tisserand v pozdnější 19. století. Naopak, pokud ano Newtonův gravitační zákon ne přesně odhadnout apsidální precese planet, muselo by to být vyřazeno jako gravitační teorie. Taková anomální precese byla pozorována ve druhé polovině 19. století.

Anomální precese Merkuru

V roce 1859 Urbain Le Verrier objevil, že orbitální precese planety Rtuť nebylo úplně to, co by mělo být; elipsa jeho oběžné dráhy rotovala (precesovala) o něco rychleji, než předpovídala tradiční teorie newtonovské gravitace, a to i po započítání všech účinků ostatních planet.^[4] Efekt je malý (zhruba 43 obloukové sekundy rotace za století), ale výrazně nad chybou měření (zhruba 0,1 obloukové sekundy za století). Le Verrier si okamžitě uvědomil důležitost svého objevu a vyzval astronomy i fyziky, aby za to odpovídali. Bylo navrženo několik klasických vysvětlení, například meziplanetární prach, nepozorovaná oblatnost slunce, nezjištěný měsíc Merkuru nebo pojmenovaná nová planeta Vulcan.^{[5]:253–256} Poté, co byla tato vysvětlení zrušena, byli někteří fyzici vedeni k radikálnější hypotéze Newton zákon inverzního čtverce gravitace byla nesprávná. Někteří fyzici například navrhli a mocenský zákon s exponent to se mírně lišilo od 2.^[5]:254

Jiní tvrdili, že Newtonův zákon by měl být doplněn potenciálem závislým na rychlosti. To však znamenalo konflikt s newtonovskou nebeskou dynamikou. Ve svém pojednání o nebeské mechanice Laplace ukázal, že pokud gravitační vliv nepůsobí okamžitě, pak pohyby samotných planet přesně nezachrání hybnost (a v důsledku toho by se musela určitá hybnost připsat zprostředkovateli gravitační interakce, analogicky k připsání hybnosti mediátor elektromagnetické interakce.) Jak je patrné z newtonovského hlediska, pokud se gravitační vliv šíří konečnou rychlostí, pak je planeta ve všech časových okamžicích přitahována k bodu, kde bylo před nějakou dobou Slunce, a nikoli směrem k okamžitá poloha Slunce. Za předpokladu klasických základů Laplace ukázal, že pokud by se gravitace šířila rychlostí řádově podle rychlosti světla, pak by sluneční soustava byla nestabilní a dlouho by neexistovala. Pozorování, že sluneční soustava je dostatečně stará, mu umožnilo stanovit spodní hranici rychlost gravitace to se ukázalo být mnohem řádově rychlejší než rychlost světla.^[5][6]:177

Laplaceův odhad gravitační rychlosti není správný v teorii pole, která respektuje princip relativity. Jelikož se elektrická a magnetická pole kombinují, přitažlivost bodového náboje, který se pohybuje konstantní rychlostí, je směrem k extrapolované okamžité poloze, nikoli ke zdánlivé poloze, která se zdá, že zaujímá při pohledu.^{[poznámka 1]} Aby se těmto problémům vyhnulo, mezi lety 1870 a 1900 mnoho vědců používalo elektrodynamické zákony Wilhelm Eduard Weber, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann produkovat stabilní oběžné dráhy a vysvětlit posun perihélia na oběžné dráze Merkuru. V roce 1890 se Lévymu podařilo dosáhnout kombinací zákonů Webera a Riemanna, podle nichž rychlost gravitace se rovná rychlost světla ve své teorii. A v dalším pokusu Paul Gerber (1898) se dokonce podařilo odvodit správný vzorec pro perihelionový posun (který byl totožný s tímto vzorcem, který později použil Einstein). Protože se však základní zákony Webera a dalších mýlily (například Weberův zákon byl nahrazen Maxwellovou teorií), byly tyto hypotézy odmítnuty.^[7] Další pokus o Hendrik Lorentz (1900), který již použil Maxwellovu teorii, způsobil perihelionový posun, který byl příliš nízký.^[5]

Einsteinova teorie obecné relativity

Eddington 1919 měření ohybu hvězda - světlo u slunce je gravitace vedlo k přijetí obecná relativita celosvětově.

Kolem 1904–1905 byla díla Hendrik Lorentz, Henri Poincaré a nakonec Albert Einstein je speciální teorie relativity, vyloučit možnost šíření jakýchkoli efektů rychleji než rychlost světla. Z toho vyplývá, že Newtonův gravitační zákon bude muset být nahrazen jiným zákonem, slučitelným s principem relativity, a to při zachování newtonovské hranice pro okolnosti, kdy jsou relativistické účinky zanedbatelné. Takové pokusy učinil Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) a Arnold Sommerfeld (1910).^[8] V roce 1907 Einstein dospěl k závěru, že k dosažení tohoto cíle je zapotřebí nástupce speciální relativity. Od roku 1907 do roku 1915 pracoval Einstein na nové teorii pomocí své princip ekvivalence jako klíčový koncept, který povede jeho cestu. Podle tohoto principu jednotné gravitační pole působí stejně na všechno v něm, a proto jej nemůže volně padající pozorovatel detekovat. Naopak všechny lokální gravitační efekty by měly být reprodukovatelné v lineárně se zrychlujícím referenčním rámci a naopak. Gravitace tedy funguje jako a fiktivní síla tak jako odstředivá síla nebo Coriolisova síla, které jsou výsledkem působení ve zrychleném referenčním rámci; všechny fiktivní síly jsou úměrné setrvačná hmotnost, stejně jako gravitace. Provést smíření gravitace a speciální relativita a aby byl začleněn princip ekvivalence, bylo třeba něco obětovat; že něco je dlouhodobým klasickým předpokladem, že se náš prostor řídí zákony Euklidovská geometrie, např. že Pythagorova věta je pravda experimentálně. Einstein použil obecnější geometrii, pseudo-Riemannova geometrie, umožňující zakřivení prostoru a času, které bylo nezbytné pro usmíření; po osmi letech práce (1907–1915) se mu podařilo objevit přesný způsob, jakým vesmírný čas by měly být zakřiveny, aby se reprodukovaly fyzikální zákony pozorované v přírodě, zejména gravitace. Gravitace se liší od fiktivních sil, odstředivé síly a Coriolisovy síly v tom smyslu, že zakřivení časoprostoru je považováno za fyzicky skutečné, zatímco fiktivní síly nejsou považovány za síly. Úplně první řešení jeho polní rovnice vysvětlil anomální precesi Merkuru a předpověděl neobvyklé ohýbání světla, což se potvrdilo po jeho teorie byla publikována. Tato řešení jsou vysvětlena níže.

Obecná relativita, speciální relativita a geometrie

Normálně Euklidovská geometrie, trojúhelníky poslouchají Pythagorova věta, který uvádí, že čtvercová vzdálenost ds² mezi dvěma body v prostoru je součet čtverců jeho kolmých složek

${displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} ,!}$

kde dx, dy a dz představují nekonečně malé rozdíly mezi X, y a z souřadnice dvou bodů v a Kartézský souřadnicový systém (zde přidejte obrázek). Nyní si představte svět, ve kterém to není tak úplně pravda; svět, kde je vzdálenost místo toho dána

${displaystyle ds ^ {2} = F (x, y, z) dx ^ {2} + G (x, y, z) dy ^ {2} + H (x, y, z) dz ^ {2}, !}$

kde F, G a H jsou libovolné funkce polohy. Není těžké si takový svět představit; žijeme na jednom. Povrch Země je zakřivený, a proto je nemožné vytvořit dokonale přesnou plošnou mapu Země. Dobře to ilustrují nekartézské souřadnicové systémy; například ve sférických souřadnicích (r, θ, φ), lze zapsat euklidovskou vzdálenost

${displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d heta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} heta dvarphi ^ {2} ,!}$

Další ilustrací by byl svět, ve kterém pravítka použitá k měření délky byla nedůvěryhodná, vládci, kteří měnili svou délku svou pozicí a dokonce i svou orientací. V nejobecnějším případě je třeba při výpočtu vzdálenosti počítat s příčnými pojmy ds

${displaystyle ds ^ {2} = g_ {xx} dx ^ {2} + g_ {xy} dxdy + g_ {xz} dxdz + cdots + g_ {zy} dzdy + g_ {zz} dz ^ {2} ,!}$

kde devět funkcí G_xx, G_xy, …, G_zz tvoří metrický tenzor, který definuje geometrii prostoru v Riemannova geometrie. V příkladu sférických souřadnic výše neexistují žádné křížové výrazy; jediné nenulové metrické tenzorové komponenty jsou G_rr = 1, G_θθ = r² a G_φφ = r² hřích² θ.

V jeho speciální teorie relativity, Albert Einstein ukázal, že vzdálenost ds mezi dvěma prostorovými body není konstantní, ale závisí na pohybu pozorovatele. Existuje však míra oddělení mezi dvěma body v vesmírný čas - nazvaný „správný čas“ a označen symbolem dτ - to je neměnný; jinými slovy, nezávisí to na pohybu pozorovatele.

${displaystyle c ^ {2} d au ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} ,!}$

které lze zapsat do sférických souřadnic jako

${displaystyle c ^ {2} d au ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dr ^ {2} -r ^ {2} d heta ^ {2} -r ^ {2} sin ^ {2} heta dvarphi ^ {2} ,!}$

Tento vzorec je přirozeným rozšířením Pythagorova věta a podobně platí pouze v případě, že v časoprostoru není žádné zakřivení. v obecná relativita, prostor a čas však mohou mít zakřivení, takže tento vzorec vzdálenosti musí být upraven do obecnější podoby

${displaystyle c ^ {2} d au ^ {2} = g_ {mu u} dx ^ {mu} dx ^ {u} ,!}$

stejně jako jsme zobecnili vzorec pro měření vzdálenosti na povrchu Země. Přesná forma metriky G_μν závisí na gravitační hmotě, hybnosti a energii, jak je popsáno v Einsteinovy ​​rovnice pole. Einstein vyvinul tyto polní rovnice, aby odpovídaly tehdy známým přírodním zákonům; předpovídali však nikdy předtím neviděné jevy (jako je ohýbání světla gravitací), které se potvrdily později.

Geodetická rovnice

Podle Einsteinovy ​​teorie obecné relativity se pohybují částice zanedbatelné hmotnosti geodetika v časoprostoru. V nezakřiveném časoprostoru, daleko od zdroje gravitace, odpovídá tato geodetika přímkám; při zakřivení časoprostoru se však mohou odchýlit od přímek. Rovnice pro geodetické čáry je^[9]

${displaystyle {frac {d ^ {2} x ^ {mu}} {dq ^ {2}}} + gama _ {u lambda} ^ {mu} {frac {dx ^ {u}} {dq}} {frac {dx ^ {lambda}} {dq}} = 0}$

kde Γ představuje Christoffelův symbol a proměnná q parametrizuje cestu částice skrz vesmírný čas, jeho tzv světová linie. Symbol Christoffel závisí pouze na metrický tenzor G_μν, nebo spíše o tom, jak se mění s pozicí. Proměnná q je konstantní násobek správný čas τ pro časově podobné oběžné dráhy (kterými cestují masivní částice) a obvykle se jim to rovná. Pro světelné (nebo nulové) oběžné dráhy (kterými cestují nehmotné částice, jako je foton ), správný čas je nula a, přísně vzato, nelze jej použít jako proměnnou q. Nicméně světelné dráhy lze odvodit jako ultrarelativistický limit časově podobných oběžných drah, to znamená limit jako hmotnost částic m jde na nulu, zatímco drží svůj součet energie pevný.

Schwarzschildovo řešení

Přesné řešení Einsteinovy ​​rovnice pole je Schwarzschildova metrika, což odpovídá vnějšímu gravitačnímu poli stacionárního, nenabitého, nerotujícího, sféricky symetrického tělesa hmoty M. Vyznačuje se délkovou stupnicí r_s, známý jako Schwarzschildův poloměr, který je definován vzorcem

${displaystyle r_ {s} = {frac {2GM} {c ^ {2}}}}$

kde G je gravitační konstanta. Klasická newtonovská teorie gravitace je obnovena v limitu jako poměr r_s/r jde na nulu. V tomto limitu se metrika vrátí k té, kterou definuje speciální relativita.

V praxi je tento poměr téměř vždy extrémně malý. Například poloměr Schwarzschild r_s Země je zhruba 9mm (​³⁄₈ palec ); na povrchu Země jsou opravy newtonovské gravitace jen jednou částí z miliardy. Schwarzschildův poloměr Slunce je mnohem větší, zhruba 2953 metrů, ale na jeho povrchu je to poměr r_s/r je zhruba 4 části z milionu. A bílý trpaslík hvězda je mnohem hustší, ale i zde je poměr na jejím povrchu zhruba 250 dílů na milion. Poměr se zvětší pouze v blízkosti velmi hustých objektů, jako jsou neutronové hvězdy (kde je poměr zhruba 50%) a černé díry.

Dráhy kolem centrální hmoty

Porovnání oběžné dráhy testované částice v newtonovském (vlevo) a Schwarzschildově (vpravo) časoprostoru. Kliknutím zobrazíte animovanou grafiku s vysokým rozlišením.

Dráhy testovací částice nekonečně malé hmotnosti ${displaystyle m}$ o centrální hmotě ${displaystyle M}$ je dána pohybovou rovnicí

${displaystyle left ({frac {dr} {d au}} ight) ^ {2} = {frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - vlevo (1- {frac {r_ {s}} {r}} ight) left (c ^ {2} + {frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} ight).}$

kde ${displaystyle h}$ je specifický relativní moment hybnosti, ${displaystyle h = r imes v = {L over mu}}$ a ${displaystyle mu}$ je redukovaná hmotnost. To lze převést na rovnici pro oběžnou dráhu

${displaystyle left ({frac {dr} {dvarphi}} ight) ^ {2} = {frac {r ^ {4}} {b ^ {2}}} - vlevo (1- {frac {r_ {s}} {r}} ight) vlevo ({frac {r ^ {4}} {a ^ {2}}} + r ^ {2} ight),}$

kde pro stručnost dvě délkové stupnice, ${displaystyle a = {frac {h} {c}}}$ a ${displaystyle b = {frac {Lc} {E}}}$, byly zavedeny. Jsou to konstanty pohybu a závisí na počátečních podmínkách (poloze a rychlosti) testované částice. Řešení rovnice oběžné dráhy tedy je

${displaystyle varphi = int {frac {1} {r ^ {2}}} vlevo [{frac {1} {b ^ {2}}} - vlevo (1- {frac {r_ {mathrm {s}}} { r}} ight) vlevo ({frac {1} {a ^ {2}}} + {frac {1} {r ^ {2}}} ight) ight] ^ {- {frac {1} {2}} } dr.}$

Efektivní radiální potenciální energie

Pohybová rovnice výše odvozené částice

${displaystyle left ({frac {dr} {d au}} ight) ^ {2} = {frac {E ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}} - c ^ {2} + {frac {r_ {s} c ^ {2}} {r}} - {frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} + {frac {r_ {s} h ^ {2}} { r ^ {3}}}}$

lze přepsat pomocí definice Schwarzschildův poloměr r_s tak jako

${displaystyle {frac {1} {2}} mleft ({frac {dr} {d au}} ight) ^ {2} = vlevo [{frac {E ^ {2}} {2mc ^ {2}}} - {frac {1} {2}} mc ^ {2} ight] + {frac {GMm} {r}} - {frac {L ^ {2}} {2mu r ^ {2}}} + {frac {G (M + m) L ^ {2}} {c ^ {2} mu r ^ {3}}}}$

což je ekvivalent k částice pohybující se v jednorozměrném efektivní potenciál

${displaystyle V (r) = - {frac {GMm} {r}} + {frac {L ^ {2}} {2mu r ^ {2}}} - {frac {G (M + m) L ^ {2 }} {c ^ {2} mu r ^ {3}}}}$

První dva termíny jsou známé klasické energie, první je atraktivní newtonovská gravitační potenciální energie a druhý odpovídá odpudivé „odstředivá“ potenciální energie; třetí termín je však atraktivní energie jedinečná pro obecná relativita. Jak je uvedeno níže a někde jinde, tato inverzně-kubická energie způsobí, že eliptické dráhy postupně precesují o úhel δφ na otáčku

${displaystyle delta varphi cca {frac {6pi G (M + m)} {c ^ {2} Aleft (1-e ^ {2} ight)}}}$

kde A je poloviční hlavní osa a E je výstřednost. Tady δφ je ne změna v φ-koordinovat v (t, r, θ, φ) souřadnice, ale změna v argument periapsis klasické uzavřené oběžné dráhy.

Třetí termín je atraktivní a dominuje v malém r hodnot, což dává kritický vnitřní poloměr r_vnitřní na které je částice neúprosně přitahována dovnitř r = 0; tento vnitřní poloměr je funkcí momentu hybnosti částice na jednotku hmotnosti nebo ekvivalentně A měřítko délky definované výše.

Kruhové dráhy a jejich stabilita

Efektivní radiální potenciál pro různé úhlové momenty. Na malých poloměrech energie strmě klesá, což způsobuje, že částice jsou neúprosně taženy dovnitř r = 0. Nicméně, když normalizovaný moment hybnosti A/r_s = L/mcr_s se rovná druhé odmocnině ze tří, je možná metastabilní kruhová oběžná dráha v poloměru zvýrazněném zeleným kruhem. Při vyšším úhlovém momentu existuje významná odstředivá bariéra (oranžová křivka) a nestabilní vnitřní poloměr, zvýrazněný červeně.

Efektivní potenciál PROTI lze přepsat z hlediska délky A = h/C:

${displaystyle V (r) = {frac {mc ^ {2}} {2}} vlevo [- {frac {r_ {s}} {r}} + {frac {a ^ {2}} {r ^ {2 }}} - {frac {r_ {s} a ^ {2}} {r ^ {3}}} hned].}$

Kruhové dráhy jsou možné, když je efektivní síla nulová:

${displaystyle F = - {frac {dV} {dr}} = - {frac {mc ^ {2}} {2r ^ {4}}} vlevo [r_ {s} r ^ {2} -2a ^ {2} r + 3r_ {s} a ^ {2} ight] = 0;}$

tj. když jsou dvě atraktivní síly - Newtonova gravitace (první člen) a přitažlivost jedinečná pro obecnou relativitu (třetí člen) - přesně vyváženy odpudivou odstředivou silou (druhý člen). K tomuto vyvážení může dojít, jsou zde označeny jako dva poloměry r_vnitřní a r_vnější:

${displaystyle {egin {aligned} r_ {mathrm {vnější}} & = {frac {a ^ {2}} {r_ {s}}} vlevo (1+ {sqrt {1- {frac {3r_ {s} ^ { 2}} {a ^ {2}}}}} ight) r_ {mathrm {internal}} & = {frac {a ^ {2}} {r_ {s}}} vlevo (1- {sqrt {1- {frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}}} ight) = {frac {3a ^ {2}} {r_ {mathrm {vnější}}}}, konec {zarovnáno}} }$

které se získávají pomocí kvadratický vzorec. Vnitřní poloměr r_vnitřní je nestabilní, protože přitažlivá třetí síla posiluje mnohem rychleji než ostatní dvě síly, když r se stává malým; pokud částice mírně vyklouzne dovnitř r_vnitřní (kde jsou všechny tři síly v rovnováze), třetí síla dominuje nad dalšími dvěma a přitahuje částici neúprosně dovnitř r = 0. Na vnějším poloměru jsou však kruhové dráhy stabilní; třetí člen je méně důležitý a systém se chová spíše jako nerelativistický Keplerův problém.

Když A je mnohem větší než r_s (klasický případ), tyto vzorce se stanou přibližně

${displaystyle {egin {zarovnáno} r_ {mathrm {vnější}} a přibližně {frac {2a ^ {2}} {r_ {s}}} r_ {mathrm {vnitřní}} a přibližně {frac {3} {2}} r_ {s} konec {zarovnáno}}}$

Stabilní a nestabilní poloměry jsou vyneseny proti normalizované momentu hybnosti A/r_s = L/mcr_s modře a červeně. Tyto křivky se setkávají na jedinečné kruhové dráze (zelený kruh), když se normalizovaný moment hybnosti rovná druhé odmocnině tří. Pro srovnání, klasický poloměr předpovídaný z dostředivé zrychlení a Newtonův gravitační zákon je vykreslen černě.

Nahrazení definic A a r_s do r_vnější poskytuje klasický vzorec pro částice hmotnosti m obíhající kolem tělesa hmoty M.

Následující rovnice

${displaystyle r_ {mathrm {vnější}} ^ {3} = {frac {G (M + m)} {omega _ {varphi} ^ {2}}}}$

kde ω_φ je orbitální úhlová rychlost částice, se získá v nerelativistické mechanice nastavením odstředivá síla rovnající se newtonovské gravitační síle:

${displaystyle {frac {GMm} {r ^ {2}}} = mu omega _ {varphi} ^ {2} r}$

Kde ${displaystyle mu}$ je snížená hmotnost.

V naší notaci se klasická orbitální úhlová rychlost rovná

${displaystyle omega _ {varphi} ^ {2} přibližně {frac {GM} {r_ {mathrm {vnější}} ^ {3}}} = vlevo ({frac {r_ {s} c ^ {2}} {2r_ { mathrm {vnější}} ^ {3}}} ight) = vlevo ({frac {r_ {s} c ^ {2}} {2}} ight) vlevo ({frac {r_ {s} ^ {3}} { 8a ^ {6}}} ight) = {frac {c ^ {2} r_ {s} ^ {4}} {16a ^ {6}}}}$

Na druhém konci, když A² přístupy 3r_s² shora se dva poloměry sbíhají do jedné hodnoty

${displaystyle r_ {mathrm {vnější}} přibližně r_ {mathrm {vnitřní}} přibližně 3r_ {s}}$

The kvadratická řešení výše zajistit, že r_vnější je vždy větší než 3r_s, zatímco r_vnitřní leží mezi³⁄₂ r_s a 3r_s. Kruhové dráhy menší než³⁄₂ r_s nejsou možné. U nehmotných částic A jde do nekonečna, z čehož vyplývá, že u fotonů je kruhová oběžná dráha r_vnitřní = ​³⁄₂ r_s. Koule tohoto poloměru je někdy známá jako fotonová koule.

Precese eliptických drah

V nerelativistickém Keplerův problém, částice sleduje stejnou dokonalost elipsa (červená dráha) věčně. Obecná relativita zavádí třetí sílu, která přitahuje částice o něco silněji než newtonovská gravitace, zejména na malých poloměrech. Tato třetí síla způsobí eliptickou dráhu částice preces (azurová oběžná dráha) ve směru jeho otáčení; tento účinek byl změřen v Rtuť, Venuše a Země. Žlutá tečka na oběžných drahách představuje střed přitažlivosti, například slunce.

Míru orbitální precese lze odvodit pomocí tohoto radiálního efektivního potenciálu PROTI. Malá radiální odchylka od kruhové oběžné dráhy o poloměru r_vnější bude oscilovat stabilním způsobem s úhlovou frekvencí

${displaystyle omega _ {r} ^ {2} = {frac {1} {m}} vlevo [{frac {d ^ {2} V} {dr ^ {2}}} vpravo] _ {r = r_ {mathrm {vnější}}}}$

což se rovná

${displaystyle omega _ {r} ^ {2} = vlevo ({frac {c ^ {2} r_ {s}} {2r_ {mathrm {vnější}} ^ {4}}} vpravo) vlevo (r_ {mathrm {vnější }} -r_ {mathrm {internal}} ight) = omega _ {varphi} ^ {2} {sqrt {1- {frac {3r_ {s} ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$

Vezmeme druhou odmocninu na obou stranách a rozšiřujeme pomocí binomická věta získá vzorec

${displaystyle omega _ {r} = omega _ {varphi} vlevo (1- {frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ {2}}} + cdots ight)}$

Vynásobením období T jedné revoluce dává precesi oběžné dráhy na otáčku

${displaystyle delta varphi = Tleft (omega _ {varphi} -omega _ {r} ight) zbývá přibližně 2pi ({frac {3r_ {s} ^ {2}} {4a ^ {2}}} ight) = {frac { 3pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} r_ {s} ^ {2}}$

kde jsme použili ω_φT = 2π a definice délkové stupnice A. Nahrazení definice Schwarzschildův poloměr r_s dává

${displaystyle delta varphi cca {frac {3pi m ^ {2} c ^ {2}} {2L ^ {2}}} vlevo ({frac {4G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4} }} ight) = {frac {6pi G ^ {2} M ^ {2} m ^ {2}} {c ^ {2} L ^ {2}}}}$

To lze zjednodušit pomocí hlavní poloosy eliptické oběžné dráhy A a výstřednost E související s vzorec

${displaystyle {frac {h ^ {2}} {G (M + m)}} = Aleft (1-e ^ {2} ight)}$

dát úhel precese

${displaystyle delta varphi cca {frac {6pi G (M + m)} {c ^ {2} Aleft (1-e ^ {2} ight)}}}$

Protože uzavřená klasická oběžná dráha je obecně elipsa, veličina A(1 − E²) je semi-latus konečník l elipsy.

Proto je konečný vzorec úhlové apsidální precese pro jednotkovou úplnou revoluci

${displaystyle delta varphi cca {frac {6pi G (M + m)} {c ^ {2} l}}}$

Kromě řešení Schwarzschild

Schéma parametrického prostoru kompaktních binárních souborů s různými aproximačními schématy a jejich oblastmi platnosti.

Post-Newtonova expanze

V řešení Schwarzschild se předpokládá, že větší hmota M je stacionární a sám určuje gravitační pole (tj. geometrii časoprostoru), a tedy i menší hmotu m sleduje geodetickou cestu skrz tento pevný časoprostor. Toto je rozumná aproximace pro fotony a oběžnou dráhu Merkuru, který je zhruba 6 milionůkrát lehčí než Slunce. Je to však nedostatečné pro dvojhvězdy, ve kterých mohou být masy podobné velikosti.

Metriku pro případ dvou srovnatelných hmot nelze vyřešit v uzavřené formě, a proto se člověk musí uchýlit k aproximačním technikám, jako je post-newtonovská aproximace nebo numerické aproximace. Mimochodem zmíníme jednu konkrétní výjimku v nižších dimenzích (viz R = T model pro detaily). V (1 + 1) dimenzích, tj. Prostoru vytvořeném z jedné prostorové dimenze a jedné časové dimenze, lze metriku pro dvě tělesa se stejnou hmotností vyřešit analyticky z hlediska Funkce Lambert W..^[10] Gravitační energie mezi dvěma tělesy se však vyměňuje prostřednictvím dilatony spíše než gravitonů které vyžadují tři prostor, ve kterém se množí.

The post-newtonovská expanze je výpočetní metoda, která poskytuje řadu stále přesnějších řešení daného problému. Metoda je iterativní; pro výpočet gravitačních polí se používá počáteční řešení pro pohyby částic; z těchto odvozených polí lze vypočítat nové pohyby částic, ze kterých lze vypočítat ještě přesnější odhady polí atd. Tento přístup se nazývá „post-newtonovský“, protože jako počáteční řešení se často používá newtonovské řešení pro oběžné dráhy částic.

Pokud je tato metoda použita na problém dvou těl bez omezení jejich hmot, je výsledek pozoruhodně jednoduchý. V nejnižším řádu je relativní pohyb dvou částic ekvivalentní pohybu nekonečně malé částice v poli jejich kombinovaných hmot. Jinými slovy lze použít řešení Schwarzschild za předpokladu, že M + m se používá místo M ve vzorcích pro poloměr Schwarzschild r_s a úhel precese na otáčku δφ.

Moderní výpočetní přístupy

Einsteinovy ​​rovnice lze řešit také na počítači pomocí sofistikovaných numerických metod.^[1][2][3] Vzhledem k dostatečnému výkonu počítače mohou být taková řešení přesnější než post-newtonovská řešení. Takové výpočty jsou však náročné, protože rovnice musí být obecně řešeny v čtyřrozměrném prostoru. Počínaje koncem 90. let však bylo možné vyřešit obtížné problémy, jako je sloučení dvou černých děr, což je velmi obtížná verze Keplerova problému v obecné relativitě.

Gravitační záření

Pokud neexistuje žádné přicházející gravitační záření, podle obecná relativita, budou emitovat dvě těla obíhající kolem sebe gravitační záření, což způsobuje, že oběžné dráhy postupně ztrácejí energii.

Vzorce popisující ztrátu energie a moment hybnosti v důsledku gravitačního záření ze dvou těles Keplerova problému byly vypočítány.^[11] Rychlost ztráty energie (zprůměrovaná na celé oběžné dráze) je dána vztahem^[12]

${displaystyle -leftlangle {frac {dE} {dt}} ightangle = {frac {32G ^ {4} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} vlevo (m_ {1} + m_ {2} ight)} {5c ^ {5} a ^ {5} vlevo (1-e ^ {2} ight) ^ {frac {7} {2}}}} vlevo (1+ {frac {73} {24}} e ^ {2} + {frac {37} {96}} e ^ {4} ight)}$

kde E je orbitální výstřednost a A je poloviční osa z eliptický obíhat. Úhlové závorky na levé straně rovnice představují průměrování na jedné oběžné dráze. Podobně se průměrná rychlost ztráty momentu hybnosti rovná

${displaystyle -leftlangle {frac {dL_ {z}} {dt}} ightangle = {frac {32G ^ {frac {7} {2}} m_ {1} ^ {2} m_ {2} ^ {2} {sqrt {m_ {1} + m_ {2}}}} {5c ^ {5} a ^ {frac {7} {2}} vlevo (1-e ^ {2} ight) ^ {2}}} vlevo (1 + {frac {7} {8}} e ^ {2} ight)}$

Rychlost poklesu období je dána vztahem^[11][13]

${displaystyle -leftlangle {frac {dP_ {b}} {dt}} ightangle = {frac {192pi G ^ {frac {5} {3}} m_ {1} m_ {2} vlevo (m_ {1} + m_ { 2} ight) ^ {- {frac {1} {3}}}} {5c ^ {5} vlevo (1-e ^ {2} ight) ^ {frac {7} {2}}}} vlevo (1 + {frac {73} {24}} e ^ {2} + {frac {37} {96}} e ^ {4} ight) vlevo ({frac {P_ {b}} {2pi}} ight) ^ { - {frac {5} {3}}}}$

kde P_b je oběžná doba.

Ztráty energie a momentu hybnosti se významně zvyšují, jak se výstřednost blíží jedné, tj. Jak se elipsa oběžné dráhy stále prodlužuje. Ztráty záření také významně rostou s klesající velikostí A oběžné dráhy.

• 

  Experimentálně pozorované poklesy oběžná doba z binární pulsar PSR B1913 + 16 (modré tečky) odpovídají předpovědi obecná relativita (černá křivka) téměř přesně.

• 

  Dvě neutronové hvězdy rotující rychle kolem sebe postupně ztrácejí energii vyzařováním gravitačního záření. Jak ztrácejí energii, obíhají kolem sebe rychleji a těsněji k sobě.

Viz také

• Binetova rovnice
• Těžiště (relativistické)
• Gravitační problém dvou těl
• Keplerův problém
• Newtonova věta o obíhajících drahách
• Schwarzschildova geodetika

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Adler, R; Bazin M; Schiffer M (1965). Úvod do obecné relativity. New York: McGraw-Hill Book Company. str.177 –193. ISBN  978-0-07-000420-7.
• Einstein, A (1956). Význam relativity (5. vydání). Princeton, New Jersey: Princeton University Press. str.92 –97. ISBN  978-0-691-02352-6.
• Hagihara, Y. (1931). "Teorie relativistických trajektorií v gravitačním poli Schwarzschilda". Japonský žurnál astronomie a geofyziky. 8: 67–176. ISSN  0368-346X.
• Lanczos, C. (1986). Variační principy mechaniky (4. vydání). New York: Dover Publications. str. 330–338. ISBN  978-0-486-65067-8.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Klasická teorie polí. Kurz teoretické fyziky. Sv. 2 (přepracované 4. anglické vydání). New York: Pergamon Press. 299–309. ISBN  978-0-08-018176-9.
• Misner, CW; Thorne, K.; Wheeler, JA (1973). Gravitace. San Francisco: W. H. Freeman. s. Kapitola 25 (s. 636–687), § 33,5 (s. 897–901) a § 40,5 (s. 1110–1116). ISBN  978-0-7167-0344-0. (Vidět Gravitace (kniha).)
• Pais, A. (1982). Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. str.253–256. ISBN  0-19-520438-7.
• Pauli, W (1958). Teorie relativity. Přeložil G. Field. New York: Dover Publications. str. 40–41, 166–169. ISBN  978-0-486-64152-2.
• Rindler, W. (1977). Základní relativita: speciální, obecná a kosmologická (přepracované 2. vydání). New York: Springer Verlag. 143–149. ISBN  978-0-387-10090-6.
• Roseveare, N. T (1982). Merkurovo perihélium, od Leverriera po Einsteina. Oxford: University Press. ISBN  0-19-858174-2.

• Synge, JL (1960). Relativita: Obecná teorie. Amsterdam: North-Holland Publishing. 289–298. ISBN  978-0-7204-0066-3.
• Wald, RM (1984). Obecná relativita. Chicago: The University of Chicago Press. str.136 –146. ISBN  978-0-226-87032-8.
• Walter, S. (2007). „Prolomení 4-vektorů: čtyřrozměrný pohyb v gravitaci, 1905–1910“. In Renn, J. (ed.). Genesis obecné relativity. 3. Berlín: Springer. 193–252.

• Weinberg, S (1972). Gravitace a kosmologie. New York: John Wiley and Sons. str.185–201. ISBN  978-0-471-92567-5.
• Whittaker, ET (1937). Pojednání o analytické dynamice částic a tuhých těles s úvodem do problému tří těles (4. vydání). New York: Dover Publications. str.389 –393. ISBN  978-1-114-28944-4.

externí odkazy

• Animace ukazující relativistickou precesi hvězd kolem supermasivní černé díry Mléčné dráhy
• Výňatek z Úvahy o relativitě od Kevina Browna.