Rychlost - Rapidity
v relativita, rychlost se běžně používá jako měřítko relativistické rychlosti. Matematicky lze rychlost definovat jako hyperbolický úhel který rozlišuje dva referenční rámce v relativním pohybu, přičemž každý snímek je spojen s vzdálenost a čas souřadnice.
Pro jednorozměrný pohyb jsou rychlosti aditivní, zatímco rychlosti musí kombinovat Einsteinovy vzorec přidání rychlosti. Pro nízké rychlosti jsou rychlost a rychlost úměrné, ale pro vyšší rychlosti má rychlost větší hodnotu, rychlost světla je nekonečná.
Za použití inverzní hyperbolická funkce artanhrychlost w odpovídající rychlosti proti je w = artanh (proti / C) kde c je rychlost světla. Pro nízké rychlosti w je přibližně proti / C. Protože v relativnosti je nějaká rychlost proti je omezen na interval −C < proti < C poměr proti / C splňuje −1 < proti / C < 1. Inverzní hyperbolický tangens má jednotkový interval (−1, 1) pro jeho doména a celek skutečná linie pro jeho rozsah, a tedy interval −C < proti < C mapy na −∞ < w < ∞.
Dějiny

V roce 1908 Hermann Minkowski vysvětlil, jak Lorentzova transformace lze považovat jednoduše za hyperbolická rotace z souřadnice časoprostoru, tj. rotace imaginárním úhlem.[1] Tento úhel tedy představuje (v jedné prostorové dimenzi) jednoduché aditivní měřítko rychlosti mezi snímky.[2] Parametr rychlosti nahrazující rychlost zavedl v roce 1910 Vladimir Varićak[3] a tím E. T. Whittaker.[4] Parametr byl pojmenován rychlost podle Alfred Robb (1911)[5] a tento termín byl přijat mnoha dalšími autory, jako např Silberstein (1914), Morley (1936) a Rindler (2001).
Oblast hyperbolického sektoru
The kvadratura hyperboly xy = 1 od Gregoire de Saint-Vincent stanovil přirozený logaritmus jako oblast hyperbolického sektoru nebo ekvivalentní oblast proti asymptotu. V teorii časoprostoru spojení událostí světlem rozděluje vesmír na minulost, budoucnost nebo jinde na základě tady a teď[je zapotřebí objasnění ]. Na jakékoli přímce v prostoru může být světelný paprsek směrován doleva nebo doprava. Vezměte osu x jako události procházející pravým paprskem a osu y jako události levého paprsku. Pak odpočívá rám čas podél úhlopříčky X = y. Obdélníková hyperbola xy = 1 lze použít k měření rychlostí (v prvním kvadrantu). Nulová rychlost odpovídá (1,1). Jakýkoli bod v hyperbole má souřadnice kde w je rychlost a rovná se oblasti hyperbolický sektor z (1,1) na tyto souřadnice. Mnoho autorů místo toho odkazuje na jednotka hyperbola pomocí rychlosti pro parametr, jako ve standardu časoprostorový diagram. Tam jsou osy měřeny hodinami a měřidlem, známějšími měřítky a základem teorie časoprostoru. Vymezení rychlosti jako hyperbolického parametru paprskového prostoru je tedy referencí[je zapotřebí objasnění ] do původu našeho vzácného v sedmnáctém století transcendentální funkce a doplněk k prostoročasovému diagramu.
V jedné prostorové dimenzi
Rychlost w vzniká v lineárním vyjádření a Lorentzova podpora jako produkt s vektorovou maticí
- .
Matice Λ(w) je typu s str a q uspokojující str2 – q2 = 1, aby (str, q) leží na jednotka hyperbola. Takové matice tvoří neurčitá ortogonální skupina O (1,1) s jednorozměrnou Lieovou algebrou překlenutou antiagonální jednotkovou maticí, což ukazuje, že rychlost je souřadnice této Lieovy algebry. Tato akce může být zobrazena v a časoprostorový diagram. v exponenciální matice notace, Λ(w) lze vyjádřit jako , kde Z je zápor antiagonální jednotkové matice
Není těžké to dokázat
- .
Tím se stanoví užitečná aditivní vlastnost rychlosti: pokud A, B a C jsou referenční rámce, pak
kde wPQ označuje rychlost referenčního rámce Q vzhledem k referenčnímu rámci P. Jednoduchost tohoto vzorce kontrastuje se složitostí odpovídajícího vzorec přidání rychlosti.
Jak vidíme z výše uvedené Lorentzovy transformace, Lorentzův faktor identifikuje se hovno w
- ,
takže rychlost w je implicitně používán jako hyperbolický úhel v Lorentzova transformace použití výrazů y a β. Vztahujeme rychlosti k vzorec přidání rychlosti
uznáním
a tak
Správné zrychlení (zrychlení „pociťované“ zrychlovaným objektem) je rychlost změny rychlosti vzhledem k správný čas (čas měřený samotným zrychlením objektu). Na rychlost objektu v daném rámci lze tedy pohlížet jednoduše jako na rychlost tohoto objektu, jak by byla vypočítána nerelativisticky inerciálním naváděcím systémem na palubě samotného objektu, pokud by zrychlil z klidu v daném rámci na danou rychlost .
Produkt z β a y se objevuje často a je z výše uvedených argumentů
Exponenciální a logaritmické vztahy
Z výše uvedených výrazů máme
a tudíž
nebo výslovně
The Dopplerův posun faktor spojený s rychlostí w je .
Ve více než jedné prostorové dimenzi
Relativistická rychlost je spojena s rychlostí objektu prostřednictvím[6]
kde vektor je myšlenka jako Kartézské souřadnice na trojrozměrném podprostoru Lež algebra skupiny Lorentz překlenuté posílit generátory - zcela analogicky s jednorozměrným případem diskutováno výše - a rychlostní prostor je reprezentován otevřeným míčem s poloměrem od té doby . Z toho vyplývá to druhé je omezující rychlost v relativitě (s jednotkami, ve kterých ).
Obecný vzorec pro složení rychlostí je[7][poznámka 1]
kde odkazuje na sčítání relativistické rychlosti a je jednotkový vektor ve směru . Tato operace není komutativní ani asociativní. Rychlosti se směry skloněnými pod úhlem mít výslednou normu (běžná euklidovská délka) daná hyperbolický zákon kosinů,[8]
Geometrie v prostoru rychlosti se dědí z hyperbolická geometrie na rychlostním prostoru prostřednictvím uvedené mapy. Tuto geometrii lze zase odvodit ze zákona sčítání relativistických rychlostí.[9] Rychlost ve dvou rozměrech lze tedy užitečně vizualizovat pomocí Poincaré disk.[10] Geodetika odpovídá stálým zrychlením. Stejným způsobem lze vložit prostor ve třech dimenzích izometrie s hyperboloidní model (izometrický k 3-dimenzionální Poincaré disk (nebo míč)). Toto je podrobně popsáno v geometrie Minkowského prostoru.
Výsledkem přidání dvou rychlostí není pouze v nové rychlosti; výsledná celková transformace je složení transformace odpovídající rychlosti uvedené výše a a otáčení parametrizovaný vektorem ,
kde se používá fyzikální konvence pro exponenciální mapování. To je důsledek pravidla komutace
kde jsou generátory rotace. To souvisí s fenoménem Thomasova precese. Pro výpočet parametru , na odkazovaný článek se odkazuje.
V experimentální částicové fyzice
Energie E a skalární hybnost |str| částice nenulové (klidové) hmotnosti m jsou dány:
S definicí w
a tedy s
energii a skalární hybnost lze zapsat jako:
Rychlost lze tedy vypočítat z naměřené energie a hybnosti pomocí
Experimentální fyzici částic však často používají upravenou definici rychlosti vzhledem k ose paprsku
kde strz je složka hybnosti podél osy paprsku.[11] Jedná se o rychlost podpory podél osy paprsku, která vede pozorovatele z laboratorního rámu k rámu, ve kterém se částice pohybuje pouze kolmo na paprsek. S tím souvisí i koncept pseudorapidita.
Rychlost jako relativní k ose paprsku lze také vyjádřit jako
Viz také
Poznámky
- ^ To je třeba chápat v tom smyslu, že při daných dvou rychlostech je výsledná rychlost rychlost odpovídající těmto dvěma rychlostem relativisticky přidáno. Rychlosti mají také obyčejný přírůstek zděděný od a kontext rozhodne, kterou operaci použít.
Poznámky a odkazy
- ^ Hermann Minkowski (1908) Základní rovnice pro elektromagnetické procesy v pohybujících se tělech přes Wikisource
- ^ Sommerfeld, Phys. Z 1909
- ^ Vladimír Varičák (1910) Aplikace Lobachevské geometrie v teorii relativity Physikalische Zeitschrift přes Wikisource
- ^ E. T. Whittaker (1910) Historie teorií éteru a elektřiny, strana 441.
- ^ Alfred Robb (1911) Optická geometrie pohybu 9
- ^ Jackson 1999, str. 547
- ^ Rhodes & Semon 2003
- ^ Robb 1910, Varićak 1910, Borel 1913
- ^ Landau & Lifshitz 2002, Problém str. 38
- ^ Rhodes & Semon 2003
- ^ Amsler, C. et al., „Recenze částicové fyziky“, Fyzikální písmena B 667 (2008) 1, oddíl 38.5.2
- Varićak V (1910), (1912), (1924) Viz Vladimir Varićak # Publikace
- Whittaker, E. T. (1910). "Historie teorií éteru a elektřiny ": 441. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - Robb, Alfred (1911). Optická geometrie pohybu, nový pohled na teorii relativity. Cambridge: Heffner & Sons.
- Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
- Silberstein, Ludwik (1914). Teorie relativity. Londýn: Macmillan & Co.
- Vladimír Karapetoff (1936) „Omezená relativita ve smyslu hyperbolických funkcí rychlostí“, Americký matematický měsíčník 43:70.
- Frank Morley (1936) „Kdy a kde“, Kritérium, editoval T.S. Eliot, 15:200-2009.
- Wolfgang Rindler (2001) Relativita: speciální, obecná a kosmologická, strana 53, Oxford University Press.
- Shaw, Ronald (1982) Lineární algebra a skupinové reprezentace, v. 1, strana 229, Akademický tisk ISBN 0-12-639201-3.
- Walter, Scott (1999). „Neeuklidovský styl minkowské relativity“ (PDF). V J. Gray (ed.). Symbolický vesmír: geometrie a fyzika. Oxford University Press. str. 91–127.(viz strana 17 e-odkazu)
- Rhodes, J. A .; Semon, M. D. (2004). "Relativistický rychlostní prostor, rotace Wignera a Thomasova precese". Dopoledne. J. Phys. 72: 93–90. arXiv:gr-qc / 0501070. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. doi:10.1119/1.1652040.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Jackson, J. D. (1999) [1962]. „Kapitola 11“. Klasická elektrodynamika (3d ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-30932-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)