Galileova transformace - Galilean transformation

v fyzika, a Galileova transformace se používá k transformaci mezi souřadnicemi dvou referenční snímky které se liší pouze konstantním relativním pohybem uvnitř konstruktů Newtonovská fyzika. Tyto transformace spolu s prostorovými rotacemi a překlady v prostoru a čase tvoří nehomogenní galilejská skupina (předpokládá se dále). Bez překladů v prostoru a čase je skupina homogenní galilejská skupina. Galilean skupina je skupina pohybů z Galileova relativita působící na čtyři dimenze prostoru a času, tvořící Galileova geometrie. To je pasivní transformace úhel pohledu. v speciální relativita homogenní a nehomogenní galilejské transformace jsou nahrazeny Lorentzovy transformace a Poincarého transformace; naopak skupinová kontrakce v klasický limit C → ∞ of Poincaré transformations výnos Galilean transformations.

Níže uvedené rovnice jsou pouze fyzicky platné v newtonovském rámci a nelze je použít pro souřadné systémy pohybující se vzájemně vůči sobě při rychlostech blížících se k rychlost světla.

Galileo formuloval tyto pojmy ve svém popisu rovnoměrný pohyb.^[1]Téma bylo motivováno jeho popisem pohybu a míč valit dolů a rampa, kterými změřil číselnou hodnotu pro akcelerace z gravitace blízko povrchu Země.

Překlad

Standardní konfigurace souřadnicových systémů pro galilejské transformace.

Ačkoli jsou transformace pojmenovány pro Galileo, je to absolutní čas a prostor jak je pojato Isaac Newton který poskytuje jejich definiční doménu. Galilejské transformace v podstatě ztělesňují intuitivní představu sčítání a odčítání rychlostí jako vektory.

Níže uvedený zápis popisuje vztah pod galileovskou transformací mezi souřadnicemi (X, y, z, t) a (X′, y′, z′, t′) jedné libovolné události, měřeno ve dvou souřadnicových systémech S a S ', v rovnoměrném relativním pohybu (rychlost proti) v jejich společném X a X′ směry, jejichž prostorový původ se časem shodoval t = t′ = 0:^[2][3][4][5]

${ displaystyle x '= x-vt}$

${ displaystyle y '= y}$

${ displaystyle z '= z}$

${ displaystyle t '= t.}$

Všimněte si, že poslední rovnice platí pro všechny galilejské transformace až po přidání konstanty a vyjadřuje předpoklad univerzálního času nezávislého na relativním pohybu různých pozorovatelů.

V jazyce lineární algebra, tato transformace je považována za smykové mapování, a je popsána s maticí působící na vektor. S pohybem rovnoběžným s X- osa, transformace působí pouze na dvě složky:

${ displaystyle { begin {pmatrix} x ' t' end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & -v 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x t end {pmatrix}}}$

Ačkoli maticové reprezentace nejsou pro Galileanovu transformaci nezbytně nutné, poskytují prostředky pro přímé srovnání s transformačními metodami ve speciální relativitě.

Galileovy transformace

Galilean symetrie lze jednoznačně psát jako složení a otáčení, a překlad a a rovnoměrný pohyb časoprostoru.^[6] Nechat X představují bod v trojrozměrném prostoru a t bod v jednorozměrném čase. Obecný bod v časoprostoru je dán uspořádanou dvojicí (X, t).

Rovnoměrný pohyb s rychlostí proti, darováno

${ displaystyle ( mathbf {x}, t) mapsto ( mathbf {x} + t mathbf {v}, t),}$

kde proti ∈ R³. Překlad je dán

${ displaystyle ( mathbf {x}, t) mapsto ( mathbf {x} + mathbf {a}, t + s),}$

kde A ∈ R³ a s ∈ R. Rotace je dána vztahem

${ displaystyle ( mathbf {x}, t) mapsto (G mathbf {x}, t),}$

kde G : R³ → R³ je ortogonální transformace.^[6]

Jako Lež skupina, skupina galilejských transformací dimenze 10.^[6]

Galileova skupina

Dvě galilejské transformace G(R, proti, A, s) a G(R ' , proti' , A' , s ' ) komponovat vytvořit třetí galilejskou transformaci,

G(R ' , proti' , A' , s ' ) · G(R, proti, A, s) = G(R 'R, R ' proti+proti' , R ' A+A' +proti' s, s ' +s).

Sada všech galilejských transformací Gal (3) tvoří a skupina se složením jako skupinová operace.

Skupina je někdy reprezentována jako maticová skupina s vesmírný čas Události (X, t, 1) jako vektory, kde t je skutečný a X ∈ R³ je poloha ve vesmíru. The akce darováno^[7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} R & v & a 0 & 1 & s 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x t 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} Rx + vt + a t + s 1 end {pmatrix}},}$

kde s je skutečný a proti, X, A ∈ R³ a R je rotační matice. Složení transformací je poté provedeno prostřednictvím násobení matic. V diskusi je třeba věnovat pozornost tomu, zda se člověk omezuje na spojenou skupinu komponent ortogonálních transformací.

Gal (3) pojmenoval podskupiny. Složka identity je označena SGal (3).

Nechat m představují transformační matici s parametry proti, R, s, A:

• ${ displaystyle {m: R = I_ {3} },}$ anizotropní transformace.
• ${ displaystyle {m: s = 0 },}$ izochronní transformace.
• ${ displaystyle {m: s = 0, v = 0 },}$ prostorové euklidovské transformace.
• ${ displaystyle G_ {1} = {m: s = 0, a = 0 },}$ rovnoměrně speciální transformace / homogenní transformace, izomorfní s euklidovskými transformacemi.
• ${ displaystyle G_ {2} = {m: v = 0, R = I_ {3} } cong ( mathbf {R} ^ {4}, +),}$ posuny původu / překladu v newtonovském časoprostoru.
• ${ displaystyle G_ {3} = {m: s = 0, a = 0, v = 0 } cong mathrm {SO} (3),}$ otáčení (referenčního rámu) (viz SO (3) ), kompaktní skupina.
• ${ displaystyle G_ {4} = {m: s = 0, a = 0, R = I_ {3} } cong ( mathbf {R} ^ {3}, +),}$ jednotné pohyby rámu / zesílení.

Parametry s, proti, R, A rozpětí deseti rozměrů. Protože transformace neustále závisí na s, proti, R, A, Gal (3) je spojitá skupina, nazývané také topologická skupina.

Struktura Gal (3) lze pochopit rekonstrukcí z podskupin. The polopřímý produkt kombinace (${ displaystyle A rtimes B}$) skupin.

1. ${ displaystyle G_ {2} triangleleft mathrm {SGal} (3)}$ (G₂ je normální podskupina )
2. ${ displaystyle mathrm {SGal} (3) cong G_ {2} rtimes G_ {1}}$
3. ${ displaystyle G_ {4} trianglelefteq G_ {1}}$
4. ${ displaystyle G_ {1} cong G_ {4} krát G_ {3}}$
5. ${ displaystyle mathrm {SGal} (3) cong mathbf {R} ^ {4} rtimes ( mathbf {R} ^ {3} rtimes mathrm {SO} (3)).}$

Původ ve skupinové kontrakci

The Lež algebra z Galileova skupina je překlenul podle H, P_i, C_i a L_ij (an antisymetrický tenzor ), s výhradou komutační vztahy, kde

${ displaystyle [H, P_ {i}] = 0}$

${ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0}$

${ displaystyle [L_ {ij}, H] = 0}$

${ displaystyle [C_ {i}, C_ {j}] = 0}$

${ displaystyle [L_ {ij}, L_ {kl}] = i [ delta _ {ik} L_ {jl} - delta _ {il} L_ {jk} - delta _ {jk} L_ {il} + delta _ {jl} L_ {ik}]}$

${ displaystyle [L_ {ij}, P_ {k}] = i [ delta _ {ik} P_ {j} - delta _ {jk} P_ {i}]}$

${ displaystyle [L_ {ij}, C_ {k}] = i [ delta _ {ik} C_ {j} - delta _ {jk} C_ {i}]}$

${ displaystyle [C_ {i}, H] = iP_ {i} , !}$

${ displaystyle [C_ {i}, P_ {j}] = 0 ~.}$

H je generátor časových překladů (Hamiltonian ), P_i je generátor překladů (operátor hybnosti ), C_i je generátor galileovských transformací bez rotace (Galileian boosts),^[8] a L_ij znamená generátor rotací (operátor momentu hybnosti ).

Tato Lie Algebra je považována za zvláštní klasický limit algebry Poincaré skupina, v limitu C → ∞. Technicky je skupina Galilean oslavována skupinová kontrakce skupiny Poincaré (což je zase a skupinová kontrakce skupiny de Sitter SO (1,4)).^[9]Formálně přejmenování generátorů hybnosti a jejich posílení jako v

P₀ ↦ H / C

K._i ↦ C ⋅ C_i,

kde C je rychlost světla (nebo jakákoli její neomezená funkce), komutační vztahy (strukturní konstanty) v limitu C → ∞ převzít vztahy bývalého. Jsou identifikovány generátory časových překladů a rotací. Všimněte si také skupinových invariantů L_mn L^mn a P_i Pⁱ.

V maticové formě, pro d = 3, lze zvážit pravidelné zastoupení (vloženo do GL (5; R), ze kterého by to mohlo být odvozeno jedinou kontrakcí skupiny, obcházející skupinu Poincaré),

${ displaystyle iH = left ({ begin {array} {ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right), qquad}$${ displaystyle i { vec {a}} cdot { vec {P}} = doleva ({ začátek {pole} {ccccc} 0 a 0 a 0 a 0 a a_ {1} 0 a 0 a 0 a 0 a a_ {2} 0 a 0 a 0 a 0 a a_ {3} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right), qquad}$${ displaystyle i { vec {v}} cdot { vec {C}} = doleva ({ start {pole} {ccccc} 0 a 0 & 0 & v_ {1} & 0 0 & 0 & 0 & v_ {2} & 0 0 & 0 & 0 & v_ {3 } & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right), qquad}$${ displaystyle i theta _ {i} epsilon ^ {ijk} L_ {jk} = left ({ begin {array} {ccccc} 0 & theta _ {3} & - theta _ {2} & 0 & 0 - theta _ {3} & 0 & theta _ {1} & 0 & 0 theta _ {2} & - theta _ {1} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right) ~.}$

Infinitezimální skupinový prvek je tedy

${ displaystyle G (R, { vec {v}}, { vec {a}}, s) = 1 ! ! 1_ {5} + doleva ({ begin {pole} {ccccc} 0 & theta _ {3} & - theta _ {2} & v_ {1} & a_ {1} - theta _ {3} & 0 & theta _ {1} & v_ {1} & a_ {2} theta _ {2} & - theta _ {1} & 0 & v_ {1} & a_ {3} 0 & 0 & 0 & 0 & s 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right) + ... ~.}$

Centrální rozšíření galilejské skupiny

Jeden může uvažovat^[10] A centrální prodloužení lži algebry galilejské skupiny, překlenul H′, P′_i, C′_i, L′_ij a operátor M: Takzvaný Bargmannova algebra se získá uložením ${ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM delta _ {ij}}$, takový, že M leží v centrum, tj. dojíždí se všemi ostatními operátory.

Celá algebra je uvedena jako

${ displaystyle [H ', P' _ {i}] = 0 , !}$

${ displaystyle [P '_ {i}, P' _ {j}] = 0 , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, H'] = 0 , !}$

${ displaystyle [C '_ {i}, C' _ {j}] = 0 , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, L' _ {kl}] = i [ delta _ {ik} L '_ {jl} - delta _ {il} L' _ {jk} - delta _ {jk} L '_ {il} + delta _ {jl} L' _ {ik}] , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, P' _ {k}] = i [ delta _ {ik} P '_ {j} - delta _ {jk} P' _ {i}] , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, C' _ {k}] = i [ delta _ {ik} C '_ {j} - delta _ {jk} C' _ {i}] , !}$

${ displaystyle [C '_ {i}, H'] = iP '_ {i} , !}$

a nakonec

${ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM delta _ {ij} ~.}$

kde nový parametr ${ displaystyle M}$ objeví se. Toto rozšíření a projektivní reprezentace že to umožňuje, je určeno jeho skupinová kohomologie.

Viz také

• Galileova invariance
• Teorie reprezentace galilejské skupiny
• Galilei-kovariační tenzorová formulace
• Poincaré skupina
• Skupina Lorentz
• Lagrangian a Eulerian souřadnice

Poznámky

Reference

• Arnold, V. I. (1989). Matematické metody klasické mechaniky (2. vyd.). Springer-Verlag. str.6. ISBN  0-387-96890-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bargmann, V. (1954). "Reprezentace spojitých skupin na jednotném paprsku". Annals of Mathematics. 2. 59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Copernicus, Nicolaus; Kepler, Johannes; Galilei, Galileo; Newton, Isaac; Einstein, Albert (2002). Hawking, Stephene (vyd.). Na ramenou obrů: Velká díla fyziky a astronomie. Philadelphia, Londýn: Běžící tisk. str.515–520. ISBN  0-7624-1348-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Galilei, Galileo (1638I). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (v italštině). Leiden: Elsevier. 191–196.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Galileo, Galilei (1638E). Pojednání a matematické demonstrace týkající se dvou nových věd [Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze]. Do angličtiny přeložil 1914 Henry Crew a Alfonso de Salvio.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Gilmore, Robert (2006). Lie Groups, Lie Algebras a Some of their Applications. Dover knihy o matematice. Dover Publications. ISBN  0486445291.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Hoffmann, Banesh (1983), Relativita a její kořeny Vědecké americké knihy, ISBN  0-486-40676-8, Kapitola 5, str. 83
• Lerner, Lawrence S. (1996), Fyzika pro vědce a inženýry, 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN  0-7637-0460-1, Kapitola 38 §38.2, str. 1046,1047
• Mold, Richard A. (2002), Základní teorie relativity, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95210-1, Kapitola 2 §2.6, str. 42
• Nadjafikhah, Mehdi; Forough, Ahmad-Reza (2009). „Galileova geometrie pohybů“ (PDF). Aplikované vědy. str. 91–105.
• Serway, Raymond A .; Jewett, John W. (2006), Principy fyziky: Text založený na počtu (4. vydání), Brooks / Cole - Thomson Learning, ISBN  0-534-49143-X, Kapitola 9 §9.1, str. 261