Gyromagnetický poměr - Gyromagnetic ratio

v fyzika, gyromagnetický poměr (také někdy známý jako magnetogyrický poměr^[1] v jiných disciplínách) částice nebo systému je poměr jeho magnetický moment k jeho moment hybnosti, a je často označován symbolem y, gama. Své SI jednotka je radián za sekundu za tesla (rad⋅s⁻¹.T⁻¹) nebo ekvivalentně coulomb za kilogram (C⋅kg⁻¹).

Často se používá termín „gyromagnetický poměr“^[2] jako synonymum pro a odlišný ale úzce související množství, G-faktor. The G-faktor, na rozdíl od gyromagnetického poměru, je bezrozměrný. Více na G-faktor, viz níže, nebo viz článek G-faktor.

Larmorova precese

Libovolný volný systém s konstantním gyromagnetickým poměrem, například tuhý systém poplatků, a jádro, nebo elektron, pokud je umístěn v externím zařízení magnetické pole B (měřeno v teslase), který není v souladu s jeho magnetický moment, vůle preces v a frekvence F (měřeno v hertz ), který je úměrný vnějšímu poli:

${ displaystyle f = { frac { gamma} {2 pi}} B.}$

Z tohoto důvodu hodnoty y/(2π), v jednotkách hertz za tesla (Hz / T), jsou často uváděny místo y.

Heuristická derivace

Odvození tohoto vztahu je následující: Nejprve musíme dokázat, že kroutící moment vyplývající z vystavení magnetickému momentu ${ displaystyle mathbf {m}}$ do magnetického pole ${ displaystyle mathbf {B}}$ je ${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} = mathbf {m} krát mathbf {B}}$. Identita funkční formy stacionárních elektrických a magnetických polí vedla k definování velikosti magnetického dipólového momentu stejně dobře jako ${ displaystyle m = I pi r ^ {2}}$, nebo následujícím způsobem, napodobující okamžik p elektrického dipólu: Magnetický dipól může být reprezentován jehlou kompasu s fiktivními magnetickými náboji ${ displaystyle pm q _ { rm {m}}}$ na dvou pólech a vektorová vzdálenost mezi póly ${ displaystyle mathbf {d}}$ pod vlivem magnetického pole Země ${ displaystyle mathbf {B}}$. Podle klasické mechaniky je točivý moment na této jehle ${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} = q _ { rm {m}} ( mathbf {d} times mathbf {B}).}$ Ale jak již bylo uvedeno ${ displaystyle q _ { rm {m}} mathbf {d} = I pi r ^ {2} { hat { mathbf {d}}} = mathbf {m},}$ takže přijde požadovaný vzorec.

Model rotujícího elektronu, který používáme při derivaci, má evidentní analogii s gyroskopem. U každého rotujícího tělesa je rychlost změny momentu hybnosti ${ displaystyle mathbf {J}}$ se rovná použitému točivému momentu ${ displaystyle mathbf {T}}$:

${ displaystyle { frac {d mathbf {J}} {dt}} = mathbf {T}.}$

Jako příklad si všimněte precese gyroskopu. Gravitační přitažlivost Země aplikuje na gyroskop sílu nebo točivý moment ve svislém směru a vektor momentu hybnosti podél osy gyroskopu se pomalu otáčí kolem svislé linie skrz čep. Na místě gyroskopu si představte kouli točící se kolem osy a jejím středem na čepu gyroskopu a podél osy gyroskopu dva protilehlé vektory pocházející ze středu koule, nahoru ${ displaystyle mathbf {J}}$ a dolů ${ displaystyle mathbf {m}.}$ Nahraďte gravitaci hustotou magnetického toku B.

${ displaystyle { frac {d mathbf {J}} {dt}}}$ představuje lineární rychlost štiky šipky ${ displaystyle mathbf {J}}$ podél kruhu, jehož poloměr je ${ displaystyle J sin { phi}}$, kde ${ displaystyle phi}$ je úhel mezi ${ displaystyle mathbf {J}}$ a vertikální. Proto je úhlová rychlost rotace rotace ${ displaystyle quad omega = 2 pi f = { frac {| d mathbf {J} |} {dt cdot J cdot sin { phi}}}} = { frac {| mathbf { T} |} {J cdot sin { phi}}} = { frac {| mathbf {m} times mathbf {B} |} {J cdot sin { phi}}} = { frac {mB sin { phi}} {J cdot sin { phi}}} = { frac {mB} {J}} = gamma B.}$

Tudíž, ${ displaystyle f = { frac { gamma} {2 pi}} B. quad { text {q.e.d.}}}$

Tento vztah také vysvětluje zjevný rozpor mezi dvěma ekvivalentními pojmy, gyromagnetický poměr versus magnetogyric poměr: vzhledem k tomu, že se jedná o poměr magnetické vlastnosti (tj. dipólový moment ) na a gyric (rotační, od řecký: γύρος, „turn“) vlastnost (tj. moment hybnosti ), je to také, ve stejnou dobu, poměr mezi frekvence úhlové precese (další gyric vlastnictví) ω = 2πf a magnetické pole.

Frekvence úhlové precese má důležitý fyzikální význam: Je to frekvence úhlového cyklotronu, rezonanční frekvence ionizovaného plazmatu pod vlivem statického konečného magnetického pole, když překrýváme vysokofrekvenční elektromagnetické pole.

Pro klasické rotující tělo

Zvažte a účtováno tělo rotující kolem osy symetrie. Podle zákonů klasické fyziky má díky své rotaci jak magnetický dipólový moment, tak moment hybnosti. Je možné ukázat, že pokud je jeho náboj a hmotnost rovnoměrně rozloženo (např. Oba rovnoměrně), jeho gyromagnetický poměr je

${ displaystyle gamma = { frac {q} {2m}}}$

kde q je jeho poplatkem a m je jeho hmotnost. Odvození tohoto vztahu je následující:

Postačí to prokázat pro nekonečně úzký kruhový kruh v těle, protože obecný výsledek vyplývá z integrace. Předpokládejme, že kruh má poloměr r, plocha A = πr², Hmotnost m, nabít qa moment hybnosti L = mvr. Pak je velikost magnetického dipólového momentu

${ displaystyle mu = IA = { frac {qv} {2 pi r}} krát pi r ^ {2} = { frac {q} {2m}} krát mvr = { frac {q } {2m}} L.}$

Pro izolovaný elektron

Izolovaný elektron má moment hybnosti a magnetický moment vyplývající z jeho roztočit. Zatímco rotace elektronu je někdy vizualizována jako doslovná rotace kolem osy, nelze ji přičíst hmotě distribuované shodně s nábojem. Výše uvedený klasický vztah neplatí, což dává nesprávný výsledek bezrozměrným faktorem zvaným elektron G-faktor, označeno G_E (nebo prostě G pokud neexistuje nebezpečí záměny):

${ displaystyle | gamma _ { mathrm {e}} | = { frac {| -e |} {2m _ { mathrm {e}}}} g _ { mathrm {e}} = g _ { mathrm { e}} mu _ { mathrm {B}} / hbar,}$

kde μ_B je Bohr magneton.

Gyromagnetický poměr pro samočinně se otáčející elektron je dvakrát větší než hodnota pro obíhající elektron.

V rámci relativistické kvantové mechaniky

${ displaystyle g _ { mathrm {e}} = 2 (1 + { frac { alpha} {2 pi}} + cdots),}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je konstanta jemné struktury. Zde jsou malé opravy relativistického výsledku G = 2 pocházejí z kvantové teorie pole. Elektron G-faktor je známý na dvanáct desetinných míst měřením elektronový magnetický moment v jednoelektronovém cyklotronu:^[3]

${ displaystyle g _ { mathrm {e}} = 2,0023193043617 (15).}$

Elektronový elektromagnetický poměr je dán NIST^[4][5][6] tak jako

${ displaystyle left | gamma _ { mathrm {e}} right | = 1,760 , 859 , 644 (11) krát 10 ^ {11} , mathrm { { frac {rad} { s cdot T}}}}$

${ displaystyle left | { frac { gamma _ { mathrm {e}}} {2 pi}} right | = 28 , 024,951 , 64 (17) mathrm { { frac {MHz } {T}}}.}$

The G-faktor a y jsou ve vynikající shodě s teorií; vidět Přesné testy QED pro detaily.

Gyromagnetický faktor jako důsledek relativity

Jelikož z Diracova rovnice vyplývá gyromagnetický faktor rovný 2, je častá mylná představa, že G-faktor 2 je důsledkem relativity; Není. Faktor 2 lze získat z linearizace obou Schrödingerova rovnice a relativistické Klein-Gordonova rovnice (což vede k Diracovi). V obou případechspinor získá se a pro obě linearizace G-faktor je rovno 2; Faktor 2 je tedy a následek závislosti vlnové rovnice na první (a ne druhé) derivaci s ohledem na prostor a čas.^[7]

Fyzikální částice spin-1/2, které nelze popsat lineárně měřenou Diracovou rovnicí, splňují měřenou Klein-Gordonovu rovnici prodlouženou o GE/4σ^μνF_μν termín podle,^[8]

${ displaystyle left (( částečné ^ { mu} + ieA ^ { mu}) ( částečné _ { mu} + ieA _ { mu}) + g { frac {e} {4}} sigma ^ { mu nu} F _ { mu nu} + m ^ {2} vpravo) psi = 0, quad g not = 2.}$

Tady, 1/2σ^μν a F^μν znamená generátory skupiny Lorentz v prostoru Dirac a elektromagnetický tenzor respektive, zatímco A^μ je elektromagnetický čtyř potenciál. Příklad takové částice,^[8] je spin-1/2 společník pro spin-3/2 v D^(1/2,1) ⊕ D^(1,1/2) reprezentační prostor skupiny Lorentz. Ukázalo se, že tuto částici charakterizuje G = −2/3 a následně se chovat jako skutečně kvadratický fermion.

Pro jádro

Znamení gyromagnetického poměru, y, určuje smysl precese. Jádra jako např ¹Ruka ¹³C se říká, že mají ve směru hodinových ručiček precesi, zatímco ¹⁵N má precesi proti směru hodinových ručiček.^[9][10] Zatímco zde zobrazené magnetické momenty jsou pro oba případy γ orientovány stejně, moment hybnosti rotace je v opačných směrech. Spin a magnetický moment jsou pro stejný směr y > 0.

Protony, neutrony a mnoho jader nést jaderná rotace, což vede k výše uvedenému gyromagnetickému poměru. Poměr je běžně psán z hlediska hmotnosti a náboje protonů, a to i pro neutrony a pro další jádra, kvůli jednoduchosti a konzistenci. Vzorec je:

${ displaystyle gamma _ { rm {n}} = { frac {e} {2m_ {p}}} g _ { rm {n}} = g _ { rm {n}} mu _ { mathrm {N}} / hbar,}$

kde ${ displaystyle mu _ { mathrm {N}}}$ je nukleární magneton, a ${ displaystyle g _ { rm {n}}}$ je G-faktor dotyčného nukleonu nebo jádra. Poměr ${ displaystyle { frac { gamma _ {n}} {2 pi g _ { rm {n}}}}}$, rovná ${ displaystyle mu _ { mathrm {N}} / h}$, je 7,622593285 (47) MHz / T.^[11]

Gyromagnetický poměr jádra hraje roli v nukleární magnetická rezonance (NMR) a magnetická rezonance (MRI). Tyto postupy spoléhají na skutečnost, že hromadná magnetizace způsobená jadernými spiny preces v magnetickém poli rychlostí zvanou Larmorova frekvence, což je jednoduše součin gyromagnetického poměru s intenzitou magnetického pole. S tímto jevem znamení y určuje smysl (po směru hodinových ručiček proti směru hodinových ručiček) precese.

Nejběžnější jádra jako např ¹Ruka ¹³C mají kladné gyromagnetické poměry.^[9][10] Přibližné hodnoty pro některá běžná jádra jsou uvedeny v tabulce níže.^[12][13]

Jádro	${ displaystyle gamma _ {n}}$ (106 rad⋅s−1.T−1)	${ displaystyle gamma _ {n} / (2 pi)}$ (MHz⋅T−1)
1H	267.52218744(11)[14]	42.577478518(18)[15]
2H	41.065	6.536
3H	285.3508	45.415[16]
3On	−203.789	−32.434
7Li	103.962	16.546
13C	67.2828	10.7084
14N	19.331	3.077
15N	−27.116	−4.316
17Ó	−36.264	−5.772
19F	251.662	40.052
23Na	70.761	11.262
27Al	69.763	11.103
29Si	−53.190	−8.465
31P	108.291	17.235
57Fe	8.681	1.382
63Cu	71.118	11.319
67Zn	16.767	2.669
129Xe	−73.997	−11.777

Viz také

• Poměr náboje k hmotnosti
• Chemický posun
• Diracova rovnice
• Landé G-faktor
• Larmorova rovnice
• Protonový gyromagnetický poměr

Poznámky

• ^ Poznámka 1 : Marc Knecht, Anomální magnetické momenty elektronu a mionu, Poincaré Seminar (Paříž, 12. října 2002), publikováno v: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (ed.); Poincaré Seminar 2002Pokrok v matematické fyzice 30, Birkhäuser (2003), ISBN  3-7643-0579-7.

Reference