Vektorový potenciál - Vector potential

v vektorový počet, a vektorový potenciál je vektorové pole jehož kučera je dané vektorové pole. To je analogické k a skalární potenciál, což je skalární pole, jehož spád je dané vektorové pole.

Formálně dané vektorové pole proti, a vektorový potenciál je vektorové pole A takhle

{ displaystyle mathbf {v} = nabla krát mathbf {A}.}

Následek

Pokud vektorové pole proti připouští vektorový potenciál A, pak z rovnosti

{ displaystyle nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) = 0}

(divergence z kučera je nula) jeden získá

{ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) = 0,}

což z toho vyplývá proti musí být solenoidové vektorové pole.

Nechat

{ displaystyle mathbf {v}: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R} ^ {3}}

být solenoidové vektorové pole což je dvakrát průběžně diferencovatelné. Předpokládat, že proti(X) klesá dostatečně rychle jako ||X|| → ∞. Definovat

{ displaystyle mathbf {A} ( mathbf {x}) = { frac {1} {4 pi}} int _ { mathbb {R} ^ {3}} { frac { nabla _ { y} times mathbf {v} ( mathbf {y})} { left | mathbf {x} - mathbf {y} right |}} , d ^ {3} mathbf {y }.}

Pak, A je vektorový potenciál pro proti, to znamená,

{ displaystyle nabla times mathbf {A} = mathbf {v}.}

Zobecněním této věty je Helmholtzův rozklad který uvádí, že libovolné vektorové pole lze rozložit jako součet solenoidního vektorového pole a irrotační vektorové pole.

Vektorový potenciál připouštěný solenoidovým polem není jedinečný. Li A je vektorový potenciál pro proti, pak také je

{ displaystyle mathbf {A} + nabla f,}

kde F je jakákoli spojitě diferencovatelná skalární funkce. To vyplývá ze skutečnosti, že zvlnění přechodu je nulové.

Tato nejednotnost vede k určitému stupni volnosti při formulaci elektrodynamiky neboli měřidla svobody a vyžaduje výběr měřidla.