Řešení sinusových rovinných vln rovnice elektromagnetických vln - Sinusoidal plane-wave solutions of the electromagnetic wave equation

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červenec 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Řešení sinusových rovinných vln jsou konkrétní řešení rovnice elektromagnetických vln.

Obecné řešení elektromagnetického vlnová rovnice v homogenních, lineárních, časově nezávislých médiích lze psát jako a lineární superpozice rovinných vln různých frekvencí a polarizace.

Léčba v tomto článku je klasický ale kvůli obecnosti Maxwellovy rovnice u elektrodynamiky lze léčbu převést na kvantově mechanické léčba pouze s reinterpretací klasických veličin (kromě kvantové mechanické úpravy potřebné pro hustotu náboje a proudu).

Reinterpretace je založena na teoriích Max Planck a interpretace Albert Einstein^{[pochybný – diskutovat]} těchto teorií a dalších experimentů. Kvantové zobecnění klasické léčby lze najít v článcích na polarizace fotonů a fotonová dynamika v experimentu s dvojitou štěrbinou.

Vysvětlení

Experimentálně lze každý světelný signál rozložit na a spektrum frekvencí a vlnových délek spojených se sinusovými řešeními vlnové rovnice. Polarizační filtry lze použít k rozložení světla na jeho různé polarizační složky. Polarizační komponenty mohou být lineární, oběžník nebo eliptický.

Rovinné vlny

Letadlo sinusový řešení pro elektromagnetická vlna cestování ve směru z je

${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r}, t) = {egin {pmatrix} E_ {x} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {x} ight) E_ {y} ^ { 0} cos left (kz-omega t + alpha _ {y} ight) 0end {pmatrix}} = E_ {x} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {x} ight) {hat { mathbf {x}}}; +; E_ {y} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {y} ight) {hat {mathbf {y}}}}$

pro elektrické pole a

${displaystyle c, mathbf {B} (mathbf {r}, t) = {hat {mathbf {z}}} imes mathbf {E} (mathbf {r}, t) = {egin {pmatrix} -E_ {y} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {y} ight) E_ {x} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {x} ight) 0end {pmatrix}} = -E_ {y} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {y} ight) {hat {mathbf {x}}}; +; E_ {x} ^ {0} cos left (kz-omega t + alpha _ {x} ight) {hat {mathbf {y}}}}$

pro magnetické pole, kde k je vlnové číslo,

${displaystyle omega _ {} ^ {} = ck}$

${displaystyle omega}$ je úhlová frekvence vlny a ${displaystyle c}$ je rychlost světla. Klobouky na vektory naznačit jednotkové vektory ve směrech x, yaz. r = (X, y, z) je poziční vektor (v metrech).

Rovinná vlna je parametrizována pomocí amplitudy

Elektromagnetické záření si lze představit jako samovolně se šířící příčnou kmitající vlnu elektrických a magnetických polí. Tento diagram ukazuje rovinu lineárně polarizovanou vlnu šířící se zprava doleva. Magnetické pole (označené M) je ve vodorovné rovině a elektrické pole (označené E) je ve svislé rovině.

${displaystyle E_ {x} ^ {0} = mid mathbf {E} mid cos heta}$

${displaystyle E_ {y} ^ {0} = mid mathbf {E} mid sin heta}$

a fáze

${displaystyle alpha _ {x} ^ {}, alpha _ {y}}$

kde

${displaystyle heta {stackrel {mathrm {def}} {=}} an ^ {- 1} vlevo ({E_ {y} ^ {0} nad E_ {x} ^ {0}} vpravo)}$.

a

${displaystyle mid mathbf {E} mid ^ {2} {stackrel {mathrm {def}} {=}} vlevo (E_ {x} ^ {0} ight) ^ {2} + vlevo (E_ {y} ^ {0 } ight) ^ {2}}$.

Polarizační stavový vektor

Jones vektor

Všechny informace o polarizaci lze redukovat na jediný vektor, který se nazývá Jones vektor, v rovině x-y. Tento vektor, i když vychází z čistě klasického zpracování polarizace, lze interpretovat jako a kvantový stav vektor. Spojení s kvantovou mechanikou je uvedeno v článku o polarizace fotonů.

Vektor vychází z řešení s rovinnými vlnami. Řešení elektrického pole lze přepsat komplex notace jako

${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r}, t) = | mathbf {E} | operatorname {Re} {igl {} | psi úhel exp {igl [} i (kz-omega t) {igr]} {igr }}}$

kde

${displaystyle | psi angle {stackrel {mathrm {def}} {=}} {egin {pmatrix} psi _ {x} psi _ {y} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} cos heta exp left (ialpha _ {x} ight) sin heta exp left (ialpha _ {y} ight) end {pmatrix}}}$

je Jonesův vektor v rovině x-y. Zápis pro tento vektor je braketová notace z Dirac, který se běžně používá v kvantovém kontextu. Kvantová notace se zde používá v očekávání interpretace Jonesova vektoru jako vektoru kvantového stavu.

Vektor Dual Jones

Jonesův vektor má a dvojí dána

${displaystyle langle psi | {stackrel {mathrm {def}} {=}} {egin {pmatrix} psi _ {x} ^ {*} & psi _ {y} ^ {*} konec {pmatrix}} = {egin {pmatrix} quad cos heta exp left (-ialpha _ {x} ight) & sin heta exp left (-ialpha _ {y} ight) quad end {pmatrix}}}$.

Normalizace Jonesova vektoru

Lineární polarizace.

Jonesův vektor představuje specifickou vlnu se specifickou fází, amplitudou a stavem polarizace. Když někdo používá Jonesův vektor jednoduše k indikaci stavu polarizace, pak je obvyklé, aby to bylo normalizováno. To vyžaduje, aby vnitřní produkt vektoru, který má být jednotou:

${displaystyle langle psi | psi angle = {egin {pmatrix} psi _ {x} ^ {*} & psi _ {y} ^ {*} konec {pmatrix}} {egin {pmatrix} psi _ {x} psi _ { y} konec {pmatrix}} = 1}$.

K dosažení této vlastnosti lze libovolně upravit Jonesův vektor. Všechny normalizované Jonesovy vektory představují vlnu stejné intenzity (v konkrétním izotropním médiu). Dokonce i při normalizovaném Jonesově vektoru bude násobení čistým fázovým faktorem mít za následek jiný normalizovaný Jonesův vektor představující stejný stav polarizace.

Stavy polarizace

Eliptická polarizace.

Lineární polarizace

Obecně je vlna lineárně polarizována, když jsou fázové úhly ${displaystyle alpha _ {x} ^ {}, alpha _ {y}}$ jsou rovny,

${displaystyle alpha _ {x} = alpha _ {y} {stackrel {mathrm {def}} {=}} alpha}$.

To představuje vlnu polarizovanou pod úhlem ${displaystyle heta}$ vzhledem k ose x. V takovém případě lze zapsat Jonesův vektor

${displaystyle | psi angle = {egin {pmatrix} cos heta sin heta end {pmatrix}} exp vlevo (ialpha ight)}$.

Eliptická a kruhová polarizace

Obecný případ, kdy se elektrické pole neomezuje na jeden směr, ale rotuje v rovině x-y, se nazývá eliptická polarizace. Stavový vektor je dán vztahem

${displaystyle | psi angle = {egin {pmatrix} psi _ {x} psi _ {y} end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} cos heta exp left (ialpha _ {x} ight) sin heta exp left (ialpha _ {y} ight) end {pmatrix}}}$

${displaystyle = exp left (ialpha ight) {egin {pmatrix} cos heta sin heta exp left (iDelta alpha ight) end {pmatrix}}}$ .

Ve zvláštním případě Δα = 0 to redukuje na lineární polarizaci.

Kruhová polarizace odpovídá zvláštním případům θ = ± π / 4 s Δα = π / 2. Dva kruhové stavy polarizace jsou tedy dány Jonesovými vektory:

${displaystyle | psi angle = {egin {pmatrix} psi _ {x} psi _ {y} konec {pmatrix}} = exp vlevo (ialpha ight) {{sqrt {2}} nad 2} {egin {pmatrix} 1 pm iend {pmatrix}}}$.

Viz také

• Fourierova řada
• Příčný režim
• Příčná vlna
• Teoretické a experimentální zdůvodnění Schrödingerovy rovnice
• Maxwellovy rovnice
• Rovnice elektromagnetických vln
• Matematické popisy elektromagnetického pole
• Polarizace z atomového přechodu: lineární a kruhová

Reference

• Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). Wiley. ISBN  0-471-30932-X.