Schwarzschildova metrika interiéru - Interior Schwarzschild metric - Wikipedia

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočívej rám Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Měřítko relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

v Einstein teorie o obecná relativita, Schwarzschildova metrika interiéru (taky vnitřní řešení Schwarzschild nebo Schwarzschildovo tekuté řešení) je přesné řešení pro gravitační pole ve vnitřku nerotujícího sférického tělesa, které se skládá z nestlačitelná tekutina (z čehož vyplývá, že hustota je konstantní v celém těle) a má nulu tlak na povrchu. Toto je statické řešení, což znamená, že se časem nemění. Objevil jej Karl Schwarzschild v roce 1916, který dříve našel vnější Schwarzschildova metrika.^[1]

Matematika

Sférické souřadnice

Vnitřní metrika Schwarzschild je zarámována do a sférický souřadný systém se středem těla umístěným v počátku plus časovou souřadnicí. Své prvek čáry je^[2][3]

${ displaystyle c ^ {2} {d tau} ^ {2} = { frac {1} {4}} vlevo (3 { sqrt {1 - { frac {r_ {s}} {r_ { g}}}}} - { sqrt {1 - { frac {r ^ {2} r_ {s}} {r_ {g} ^ {3}}}}} vpravo) ^ {2} c ^ { 2} dt ^ {2} - left (1 - { frac {r ^ {2} r_ {s}} {r_ {g} ^ {3}}} right) ^ {- 1} dr ^ {2 } -r ^ {2} left (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2} right),}$

kde

• ${ displaystyle tau}$ je správný čas (čas měřený hodinami pohybujícími se podél nich světová linie s zkušební částice ).
• ${ displaystyle c}$ je rychlost světla.
• ${ displaystyle t}$ je časová souřadnice (měřená stacionárními hodinami umístěnými nekonečně daleko od sférického tělesa).
• ${ displaystyle r}$ je Schwarzschildova radiální souřadnice. Každá plocha konstanty ${ displaystyle t}$ a ${ displaystyle r}$ má geometrii koule s měřitelným (správným) obvodem ${ displaystyle 2 pi r}$ a oblast ${ displaystyle 4 pi r ^ {2}}$ (jako u obvyklých vzorců), ale deformace prostoru znamená, že správná vzdálenost od každé skořápky ke středu těla je větší než ${ displaystyle r}$.
• ${ displaystyle theta}$ je soudržnost (úhel od severu, v jednotkách radiány ).
• ${ displaystyle varphi}$ je zeměpisná délka (také v radiánech).
• ${ displaystyle r_ {s}}$ je Schwarzschildův poloměr těla, což souvisí s jeho hmotou ${ displaystyle M}$ podle ${ displaystyle r_ {s} = 2 GM / c ^ {2}}$, kde ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta. (U běžných hvězd a planet je to mnohem méně, než je jejich správný poloměr.)
• ${ displaystyle r_ {g}}$ je hodnota ${ displaystyle r}$- koordinovaný na povrchu těla. (To je menší než jeho správný (měřitelný vnitřní) poloměr, i když pro Zemi je rozdíl jen asi 1,4 milimetru.)

Toto řešení platí pro ${ displaystyle r leq r_ {g}}$. Pro úplnou metriku gravitačního pole koule musí být vnitřní Schwarzschildova metrika porovnána s vnější,

${ displaystyle c ^ {2} {d tau} ^ {2} = doleva (1 - { frac {r_ {s}} {r}} doprava) c ^ {2} dt ^ {2} - left (1 - { frac {r_ {s}} {r}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} left (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2} vpravo),}$

na povrchu. Je snadno vidět, že oba mají stejnou hodnotu na povrchu, tj. Na ${ displaystyle r = r_ {g}}$.

Jiné formulace

Definování parametru ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {2} = r_ {g} ^ {3} / r_ {s}}$, dostaneme

${ displaystyle c ^ {2} {d tau} ^ {2} = { frac {1} {4}} vlevo (3 { sqrt {1 - { frac {r_ {g} ^ {2} } {{ mathcal {R}} ^ {2}}}}} - { sqrt {1 - { frac {r ^ {2}} {{ mathcal {R}} ^ {2}}}}} right) ^ {2} c ^ {2} dt ^ {2} - left (1 - { frac {r ^ {2}} {{ mathcal {R}} ^ {2}}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} -r ^ {2} left (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2} right).}$

Můžeme také definovat alternativní radiální souřadnice ${ displaystyle eta = arcsin { frac {r} { mathcal {R}}}}$ a odpovídající parametr ${ displaystyle eta _ {g} = arcsin { frac {r_ {g}} { mathcal {R}}} = arcsin { sqrt { frac {r_ {s}} {r_ {g}} }}}$, poddajný^[4]

${ displaystyle c ^ {2} {d tau} ^ {2} = doleva ({ frac {3 cos eta _ {g} - cos eta} {2}} doprava) ^ {2 } c ^ {2} dt ^ {2} - { frac {dr ^ {2}} { cos ^ {2} eta}} - r ^ {2} left (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d varphi ^ {2} right).}$

Vlastnosti

Objem

S ${ displaystyle g_ {rr} = (1-r_ {s} r ^ {2} / r_ {g} ^ {3}) ^ {- 1}}$ a okolí ${ displaystyle A = 4 pi r ^ {2}}$

integrál pro správný objem je

${ displaystyle V = int _ {0} ^ {r_ {g}} A { sqrt {g_ {rr}}} , { rm {d}} r = 2 pi left ({ frac { r_ {g} ^ {9/2} arcsin { sqrt { frac {r_ {s}} {r_ {g}}}}} {r_ {s} ^ {3/2}}} - { frac {r_ {g} ^ {4} { sqrt {1 - { frac {r_ {s}} {r_ {g}}}}}} {r_ {s}}} right)}$

který je větší než objem euklidovského referenčního shellu.

Hustota

Kapalina má podle definice konstantní hustotu. Je to dáno

${ displaystyle rho = { frac {M} {{ frac {4 pi} {3}} r_ {g} ^ {3}}} = { frac {3} { kappa { mathcal {R }} ^ {2}}},}$

byly ${ displaystyle kappa = 8 pi G / c ^ {2}}$ je Einsteinova gravitační konstanta.^[3][5] Může být kontraproduktivní, že hustota je hmotnost dělená objemem koule s poloměrem ${ displaystyle r_ {g}}$, což zřejmě ignoruje, že je to menší než správný poloměr, a že prostor uvnitř těla je zakřivený, takže objemový vzorec pro „plochou“ kouli by vůbec neměl platit. Nicméně, ${ displaystyle M}$ je hmotnost měřená zvenčí, například pozorováním zkušební částice obíhající kolem gravitačního tělesa („Kepler hmotnost "), což obecně není relativita nutně stejná jako vlastní hmotnost. Tento hmotnostní rozdíl přesně ruší rozdíl objemů.

Tlak a stabilita

Tlak nestlačitelné kapaliny lze zjistit výpočtem Einsteinův tenzor ${ displaystyle G _ { mu nu}}$ z metriky. Einsteinův tenzor je úhlopříčka (tj. všechny off-diagonální prvky jsou nulové), což znamená, že neexistují žádné smykové napětí, a má stejné hodnoty pro tři prostorové diagonální složky, což znamená, že tlak je izotropní. Jeho hodnota je

${ displaystyle p = rho c ^ {2} { frac { cos eta - cos eta _ {g}} {3 cos eta _ {g} - cos eta}}.}$

Podle očekávání je tlak na povrchu koule nulový a zvyšuje se směrem ke středu. Ve středu se stane nekonečným, pokud ${ displaystyle cos eta _ {g} = 1/3}$, což odpovídá ${ displaystyle r_ {s} = { frac {8} {9}} r_ {g}}$ nebo ${ displaystyle eta _ {g} přibližně 70,5 ^ { circ}}$, což platí pro tělo, které je extrémně husté nebo velké. Takové tělo trpí gravitační kolaps do Černá díra. Jelikož se jedná o časově závislý proces, řešení Schwarzschild již neplatí.^[2][3]

Rudý posuv

Gravitační rudý posuv pro záření z povrchu koule (například světlo z hvězdy) je

${ displaystyle z = { frac {1} { cos eta _ {g}}} - 1.}$

Ze stavu stability ${ displaystyle cos eta _ {g}> 1/3}$ následuje ${ displaystyle z <2}$.^[3]

Vizualizace

Vkládání Schwarzschildova metrického řezu v trojrozměrném euklidovském prostoru. Vnitřní řešení je tmavší čepice dole.
Toto vložení by nemělo být zaměňováno s nesouvisejícím konceptem a gravitace dobře.

Prostorový zakřivení vnitřní metriky Schwarzschilda lze vizualizovat provedením řezu (1) s konstantním časem a (2) rovníkem koule, tj. ${ displaystyle t = konst., theta = pi / 2}$. Tento dvourozměrný řez může být vložený v trojrozměrném euklidovském prostoru a poté má tvar a kulová čepice s poloměrem ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ a poloviční úhel otevření ${ displaystyle eta _ {g}}$. Své Gaussovo zakřivení ${ displaystyle K}$ je úměrná hustotě kapaliny a rovná se ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 2} = r_ {s} / r_ {g} ^ {3} = rho kappa / 3}$. Protože vnější metrika může být vložena stejným způsobem (výtěžek Flammův paraboloid ), výřez kompletního řešení lze nakreslit takto:^[5][6]

V této grafice představuje modrý kruhový oblouk vnitřní metriku a černý parabolický oblouky s rovnicí ${ displaystyle w = 2 { sqrt {r_ {s} (r-r_ {s})}}}$ představují vnější metriku nebo Flammův paraboloid. The ${ displaystyle eta}$-coordinate je úhel měřený od středu víčka, tj. od „nad“ řezem. Správný poloměr koule - intuitivně délka měřicí tyče, která se táhne od jejího středu k bodu na jejím povrchu - je polovina délky kruhového oblouku, nebo ${ displaystyle eta _ {g} { mathcal {R}}}$.

Jedná se o čistě geometrickou vizualizaci a neznamená fyzickou „čtvrtou prostorovou dimenzi“, do které by se prostor zakřivil. (Vnitřní zakřivení neznamená vnější zakřivení.)

Příklady

Zde jsou relevantní parametry pro některé astronomické objekty, bez ohledu na rotaci a nehomogenity, jako je odchylka od sférického tvaru a změny hustoty.

Objekt	${ displaystyle r_ {g}}$	${ displaystyle r_ {s}}$	${ displaystyle { mathcal {R}}}$	${ displaystyle eta _ {g}}$	${ displaystyle z}$ (rudý posuv )
Země	6 370 km	8,87 mm	170 000 000 km 9.5 světelné minuty	7.7″	7×10−10
slunce	696 000 km	2,95 km	338 000 000 km 19 světelných minut	7.0′	2×10−6
Bílý trpaslík s 1 sluneční hmotou	5 000 km	2,95 km	200 000 km	1.4°	3×10−4
Neutronová hvězda se 2 slunečními hmotami	20 km	6 km	37 km	30°	0.15

Dějiny

Schwarzschildovo řešení interiéru bylo první statická sféricky symetrická dokonalá tekutina řešení, které bylo nalezeno. To bylo vydáváno 24. února 1916, pouhé tři měsíce poté Einsteinovy ​​rovnice pole a měsíc po Schwarzschildově exteriérovém řešení.^[1][2]

Reference