Linearizovaná gravitace - Linearized gravity

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na obecnou relativitu. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. WikiProject Obecná relativita může pomoci s náborem odborníka. (Únor 2009)

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočívej rám Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Stupnice relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​polní rovnice Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

V teorii obecná relativita, linearizovaná gravitace je aplikace teorie poruch do metrický tenzor který popisuje geometrii vesmírný čas. V důsledku toho je linearizovaná gravitace účinnou metodou pro modelování účinků gravitace, když gravitační pole je slabý. Využití linearizované gravitace je nedílnou součástí studia gravitační vlny a slabé pole gravitační čočky.

Aproximace slabého pole

The Einsteinova rovnice pole (EFE) popisující geometrii vesmírný čas je uveden jako (pomocí přirozené jednotky )

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu} = 8 pi GT _ { mu nu}}$

kde ${ displaystyle R _ { mu nu}}$ je Ricciho tenzor, ${ displaystyle R}$ je Ricci skalární, ${ displaystyle T _ { mu nu}}$ je tenzor energie – hybnosti, a ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ je vesmírný čas metrický tenzor které představují řešení rovnice.

Ačkoli stručné, když je napsáno pomocí Einsteinova notace, skryté v Ricciho tenzoru a Ricciho skaláru jsou výjimečně nelineární závislosti na metrice, které činí vyhlídku na nalezení přesná řešení ve většině systémů nepraktické. Při popisu konkrétních systémů, pro které zakřivení časoprostoru je malý (což znamená, že výrazy v EFE, které jsou kvadratický v ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ významně nepřispívají k pohybovým rovnicím), lze modelovat řešení rovnic pole jako Minkowského metrika^{[poznámka 1]} ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ plus malá odchylka ${ displaystyle h _ { mu nu}}$. Jinými slovy:

${ displaystyle g _ { mu nu} = eta _ { mu nu} + h _ { mu nu}, qquad | h _ { mu nu} | ll 1.}$

V tomto režimu nahrazuje obecnou metriku ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ pro tuto poruchovou aproximaci vznikne zjednodušený výraz pro Ricciho tenzor:

${ displaystyle R _ { mu nu} = { frac {1} {2}} ( částečný _ { sigma} částečný _ { mu} h _ { nu} ^ { sigma} + částečný _ { sigma} částečný _ { nu} h _ { mu} ^ { sigma} - částečný _ { mu} částečný _ { nu} h- čtverec h _ { mu nu}),}$

kde ${ displaystyle h = eta ^ { mu nu} h _ { mu nu}}$ je stopa narušení ${ displaystyle částečné _ { mu}}$ označuje částečnou derivaci vzhledem k ${ displaystyle x ^ { mu}}$ souřadnice časoprostoru a ${ displaystyle square = eta ^ { mu nu} částečný _ { mu} částečný _ { nu}}$ je operátor d'Alembert.

Spolu s Ricciho skalárem,

${ displaystyle R = eta _ { mu nu} R ^ { mu nu} = částečný _ { mu} částečný _ { nu} h ^ { mu nu} - čtverec h, }$

levá strana rovnice pole se zmenší na

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu} = { frac {1} {2}} ( částečný _ { sigma} částečný _ { mu} h _ { nu} ^ { sigma} + částečné _ { sigma} částečné _ { nu} h _ { mu} ^ { sigma} - částečné _ { mu} částečné _ { nu} h- square h _ { mu nu} - eta _ { mu nu} částečný _ { rho} částečný _ { lambda} h ^ { rho lambda} + eta _ { mu nu} čtverec h).}$

a tím je EFE redukován na lineární, druhého řádu parciální diferenciální rovnice ve smyslu ${ displaystyle h _ { mu nu}}$.

Měřicí invariance

Proces rozkladu obecného časoprostoru ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ do Minkowského metriky plus odchylkový člen není jedinečný. To je způsobeno skutečností, že různé volby souřadnic mohou mít různé formy ${ displaystyle h _ { mu nu}}$. Za účelem zachycení tohoto jevu je aplikace symetrie měřidla je představen.

Symetrie měřidla jsou matematickým zařízením pro popis systému, který se nemění, když je základní souřadný systém „posunut“ o nekonečně malé množství. Takže i když je perturbační metrika ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ není důsledně definován mezi různými souřadnicovými systémy, tedy celkovým systémem, který popisuje je.

Abychom to formálně zachytili, nejedinečnost narušení ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ je reprezentován jako důsledek rozmanité sbírky difeomorfismy v časoprostoru, které opouštějí ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ dostatečně malý. Proto je nutné, aby to pokračovalo ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ být definován z hlediska obecné množiny difeomorfismů, pak vyberte jejich podmnožinu, která zachová malé měřítko, které je vyžadováno aproximací slabého pole. Lze tedy definovat ${ displaystyle phi}$ k označení libovolného difeomorfismu, který mapuje plochý Minkowského časoprostor na obecnější časoprostor představovaný metrikou ${ displaystyle g _ { mu nu}}$. S tím lze metodu rušení definovat jako rozdíl mezi zarazit z ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ a Minkowského metrika:

${ displaystyle h _ { mu nu} = ( phi ^ {*} g) _ { mu nu} - eta _ { mu nu}.}$

Difefomorfismy ${ displaystyle phi}$ lze tedy zvolit tak, aby ${ displaystyle | h _ { mu nu} | ll 1}$.

Vzhledem k tomu, vektorové pole ${ displaystyle xi ^ { mu}}$ definovaný na ploše, prostoročas pozadí, další rodina difeomorfismů ${ displaystyle psi _ { epsilon}}$ lze definovat jako ty, které generuje ${ displaystyle xi ^ { mu}}$ a parametrizováno ${ displaystyle epsilon> 0}$. Tyto nové difeomorfismy budou použity k reprezentaci transformací souřadnic pro „nekonečně malé posuny“, jak je uvedeno výše. Dohromady s ${ displaystyle phi}$, rodina poruch je dána

${ displaystyle { begin {seřazeno} h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} & = [( phi circ psi _ { epsilon}) ^ {*} g] _ { mu nu} - eta _ { mu nu} & = [ psi _ { epsilon} ^ {*} ( phi ^ {*} g)] _ { mu nu} - eta _ { mu nu} & = psi _ { epsilon} ^ {*} (h + eta) _ { mu nu} - eta _ { mu nu} & = ( psi _ { epsilon} ^ {*} h) _ { mu nu} + epsilon left [{ frac {( psi _ { epsilon} ^ {*} eta) _ { mu nu} - eta _ { mu nu}} { epsilon}} vpravo]. end {zarovnáno}}}$

Proto v limitu ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$,

${ displaystyle h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = h _ { mu nu} + epsilon { mathcal {L}} _ { xi} eta _ { mu nu}}$

kde ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { xi}}$ je Derivát lži podél vektorového pole ${ displaystyle xi _ { mu}}$.

Derivát lži funguje, aby poskytl finále transformace měřidla perturbační metriky ${ displaystyle h _ { mu nu}}$:

${ displaystyle h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = h _ { mu nu} + epsilon ( částečný _ { mu} xi _ { nu} + částečný _ { nu } xi _ { mu}),}$

které přesně definují sadu poruchových metrik, které popisují stejný fyzický systém. Jinými slovy charakterizuje symetrii měřidla linearizovaných polních rovnic.

Volba měřidla

Využitím invariance měřidel lze zaručit určité vlastnosti perturbační metriky výběrem vhodného vektorového pole ${ displaystyle xi ^ { mu}}$.

Příčný rozchod

Chcete-li studovat, jak rušení ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ zkresluje měření délky, je užitečné definovat následující prostorový tenzor:

${ displaystyle s_ {ij} = h_ {ij} - { frac {1} {3}} delta ^ {kl} h_ {kl} delta _ {ij}}$

(Upozorňujeme, že indexy zahrnují pouze prostorové komponenty: ${ displaystyle i, j in {1,2,3 }}$). Tedy použitím ${ displaystyle s_ {ij}}$, prostorové komponenty poruchy mohou být rozloženy jako

${ displaystyle h_ {ij} = s_ {ij} - Psi delta _ {ij}}$

kde ${ displaystyle Psi = - { frac {1} {3}} delta ^ {kl} h_ {kl}}$.

Tenzor ${ displaystyle s_ {ij}}$ je podle konstrukce bez stopy a označuje se jako kmen protože představuje částku, o kterou narušení protahuje a smršťuje měření prostoru. V rámci studia gravitační záření, kmen je zvláště užitečný při použití s příčný rozchod. Tento rozchod je definován výběrem prostorových komponent ${ displaystyle xi ^ { mu}}$ uspokojit vztah

${ displaystyle nabla ^ {2} xi ^ {j} + { frac {1} {3}} částečné _ {j} částečné _ {i} xi ^ {i} = - částečné _ { i} s ^ {ij},}$

poté vyberte časovou složku ${ displaystyle xi ^ {0}}$ uspokojit

${ displaystyle nabla ^ {2} xi ^ {0} = částečné _ {i} h_ {0i} + částečné _ {0} částečné _ {i} xi ^ {i}.}$

Po provedení transformace měřidla pomocí vzorce v předchozí části se napětí stane prostorově příčným:

${ displaystyle částečné _ {i} s _ {( epsilon)} ^ {ij} = 0,}$

s další vlastností:

${ displaystyle částečné _ {i} h _ {( epsilon)} ^ {0i} = 0.}$

Synchronní měřidlo

The synchronní měřidlo zjednodušuje metriku narušení tím, že vyžaduje, aby metrika nezkreslovala měření času. Přesněji řečeno, synchronní měřidlo je zvoleno tak, aby neprostorové komponenty ${ displaystyle h _ { mu nu} ^ {( epsilon)}}$ jsou nula, jmenovitě

${ displaystyle h_ {0 nu} ^ {( epsilon)} = 0.}$

Toho lze dosáhnout požadavkem na časovou složku ${ displaystyle xi ^ { mu}}$ uspokojit

${ displaystyle částečné _ {0} xi ^ {0} = - h_ {00}}$

a vyžadovat uspokojení prostorových komponent

${ displaystyle částečné _ {0} xi ^ {i} = částečné _ {i} xi ^ {0} -h_ {0i}.}$

Harmonický rozchod

The harmonický rozchod (označovaný také jako Lorenzův rozchod^{[poznámka 2]}) je vybráno, kdykoli je nutné co nejvíce snížit rovnice linearizovaného pole. To lze provést, pokud je podmínka

${ displaystyle částečné _ { mu} h _ { nu} ^ { mu} = { frac {1} {2}} částečné _ { nu} h}$

je pravda. Dosáhnout toho, ${ displaystyle xi _ { mu}}$ je nutné k uspokojení vztahu

${ displaystyle square xi _ { mu} = - částečné _ { nu} h _ { mu} ^ { nu} + { frac {1} {2}} částečné _ { mu} h .}$

V důsledku toho pomocí harmonického měřidla Einsteinův tenzor ${ displaystyle G _ { mu nu} = R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu}}$ snižuje na

${ displaystyle G _ { mu nu} = - { frac {1} {2}} čtverec vlevo (h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} - { frac {1} {2 }} h ^ {( epsilon)} eta _ { mu nu} right).}$

Proto tím, že ji napíšeme jako metriku „obráceného trasování“, ${ displaystyle { bar {h}} _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} - { frac {1} {2}} h ^ {( epsilon)} eta _ { mu nu}}$, linearizované rovnice pole se redukují na

${ displaystyle square { bar {h}} _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = - 16 pi GT _ { mu nu}.}$

Což lze přesně vyřešit pomocí vlnová řešení které definují gravitační záření.

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

• Sean M. Carroll (2003). Prostoročas a geometrie, úvod do obecné relativity. Pearson. ISBN  978-0805387322.