Rovnice nehomogenní elektromagnetické vlny - Inhomogeneous electromagnetic wave equation

Část série článků o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

v elektromagnetismus a aplikace, an nehomogenní rovnice elektromagnetických vlnnebo nehomogenní elektromagnetická vlnová rovnice, je jednou z množiny vlnové rovnice popisující šíření elektromagnetické vlny generováno nenulovým zdrojem poplatky a proudy. Zdrojové výrazy ve vlnových rovnicích tvoří parciální diferenciální rovnice nehomogenní, pokud jsou zdrojové výrazy nulové, rovnice se redukují na homogenní rovnice elektromagnetických vln. Rovnice vyplývají z Maxwellovy rovnice.

Maxwellovy rovnice

Pro referenci, Maxwellovy rovnice jsou shrnuty níže v SI jednotky a Gaussovy jednotky. Vládnou elektrické pole E a magnetické pole B kvůli zdroji hustota náboje ρ a proudová hustota J:

název	SI jednotky	Gaussovy jednotky
Gaussův zákon	${displaystyle abla cdot mathbf {E} = {frac {ho} {varepsilon _ {0}}}}$	${displaystyle abla cdot mathbf {E} = 4pi ho}$
Gaussův zákon pro magnetismus	${displaystyle abla cdot mathbf {B} = 0}$	${displaystyle abla cdot mathbf {B} = 0}$
Maxwell – Faradayova rovnice (Faradayův zákon indukce )	${displaystyle abla imes mathbf {E} = - {frac {částečný mathbf {B}} {částečný t}}}$	${displaystyle abla imes mathbf {E} = - {frac {1} {c}} {frac {částečný mathbf {B}} {částečný t}}}$
Ampereův zákon o oběhu (s přídavkem Maxwella)	${displaystyle abla imes mathbf {B} = mu _ {0} left (mathbf {J} + varepsilon _ {0} {frac {částečný mathbf {E}} {částečný}} večer)}$	${displaystyle abla imes mathbf {B} = {frac {1} {c}} vlevo (4pi mathbf {J} + {frac {částečný mathbf {E}} {částečný t}} vpravo)}$

kde ε₀ je vakuová permitivita a μ₀ je vakuová propustnost. V celém vztahu

${displaystyle varepsilon _ {0} mu _ {0} = {dfrac {1} {c ^ {2}}}}$

je také používán.

SI jednotky

E a B pole

Maxwellovy rovnice může přímo dát nehomogenní vlnové rovnice pro elektrické pole E a magnetické pole B.^[1] Střídání Gaussův zákon pro elektřinu do kučera z Faradayův zákon indukce a pomocí zvlnění zvlněné identity ∇ × (∇ × X) = ∇(∇ ⋅ X) − ∇²X dává vlnovou rovnici pro elektrické pole E:

${displaystyle {dfrac {1} {c ^ {2}}} {dfrac {částečné ^ {2} mathbf {E}} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} mathbf {E} = vlevo ({dfrac {1} {varepsilon _ {0}}} abla ho + mu _ {0} {dfrac {částečná mathbf {J}} {částečná t}} noc) ,.}$

Podobně i střídání Gaussův zákon pro magnetismus do zvlnění Ampereův zákon o oběhu (s Maxwellovým dalším časově závislým termínem) a pomocí zvlnění identity zvlnění dává vlnovou rovnici pro magnetické pole B:

${displaystyle {dfrac {1} {c ^ {2}}} {dfrac {částečné ^ {2} mathbf {B}} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} mathbf {B} = mu _ {0} abla imes mathbf {J},.}$

Levá strana každé rovnice odpovídá vlnovému pohybu ( D'Alembertův operátor působící na pole), zatímco pravá strana je zdrojem vln. Rovnice naznačují, že EM vlny jsou generovány, pokud existují gradienty hustoty náboje ρ, oběhy v proudové hustotě J, časově proměnnou proudovou hustotu nebo jakoukoli jejich směs.

Tyto formy vlnových rovnic se v praxi často nepoužívají, protože zdrojové termíny jsou nepohodlně komplikované. Jednodušší formulace, se kterou se v literatuře běžněji setkáváme a která se teoreticky používá, používá elektromagnetický potenciál formulace, uvedená dále.

A a φ potenciální pole

Představujeme elektrický potenciál φ (A skalární potenciál ) a magnetický potenciál A (A vektorový potenciál ) definované z E a B pole podle:

${displaystyle mathbf {E} = -abla varphi - {částečná mathbf {A} nad částečnou t} ,, quad mathbf {B} = abla imes mathbf {A} ,,}$

čtyři Maxwellovy rovnice ve vakuu s nábojem ρ a aktuální J zdroje se redukují na dvě rovnice, Gaussův zákon pro elektřinu je:

${displaystyle abla ^ {2} varphi + {{částečné} přes částečné t} vlevo (abla cdot mathbf {A} ight) = - {ho přes varepsilon _ {0}} ,,}$

a zákon Ampère-Maxwell zní:

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {1 nad c ^ {2}} {částečné ^ {2} mathbf {A} nad částečným t ^ {2}} - abla vlevo ({1 nad c ^ {2 }} {{parciální varphi} nad {parciální t}} + abla cdot mathbf {A} ight) = - mu _ {0} mathbf {J},.}$

Zdrojové termíny jsou nyní mnohem jednodušší, ale vlnové termíny jsou méně zřejmé. Protože potenciály nejsou jedinečné, ale mají měřidlo svobodu, lze tyto rovnice zjednodušit upevnění měřidla. Běžnou volbou je Stav měřidla Lorenz:

${displaystyle {1 přes c ^ {2}} {{částečné varphi} přes {částečné t}} + abla cdot mathbf {A} = 0}$

Pak se nehomogenní vlnové rovnice v potenciálech odpojí a jsou symetrické:

${displaystyle abla ^ {2} varphi - {1 přes c ^ {2}} {částečné ^ {2} varphi přes částečné t ^ {2}} = - {ho přes varepsilon _ {0}} ,,}$

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {1 over c ^ {2}} {částečné ^ {2} mathbf {A} nad částečným t ^ {2}} = - mu _ {0} mathbf {J} ,.}$

Pro informaci v cgs jednotky tyto rovnice jsou

${displaystyle abla ^ {2} varphi - {1 nad c ^ {2}} {částečné ^ {2} varphi nad částečným t ^ {2}} = - {4pi ho}}$

${displaystyle abla ^ {2} mathbf {A} - {1 over c ^ {2}} {částečné ^ {2} mathbf {A} nad částečným t ^ {2}} = - {4pi nad c} mathbf {J} }$

se stavem Lorenzova rozchodu

${displaystyle {1 přes c} {{částečné varphi} přes {částečné t}} + abla cdot mathbf {A} = 0 ,.}$

Kovarianční forma nehomogenní vlnové rovnice

Dilatace času v příčném pohybu. Požadavek, aby rychlost světla byla konstantní v každém setrvačním referenčním rámci, vedl k teorie relativity

The relativistické Maxwellovy rovnice lze napsat kovariantní formulář jako

${displaystyle Box A ^ {mu} {stackrel {mathrm {def}} {=}} částečný _ {eta} částečný ^ {eta} A ^ {mu} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {A ^ {mu, eta}} _ {eta} = - mu _ {0} J ^ {mu} quad {ext {SI}}}$

${displaystyle Box A ^ {mu} {stackrel {mathrm {def}} {=}} částečný _ {eta} částečný ^ {eta} A ^ {mu} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {A ^ {mu, eta}} _ {eta} = - {frac {4pi} {c}} J ^ {mu} quad {ext {cgs}}}$

kde

${displaystyle Box = částečný _ {eta} částečný ^ {eta} = abla ^ {2} - {1 nad c ^ {2}} {frac {částečný ^ {2}} {částečný t ^ {2}}}}$

je operátor d'Alembert,

${displaystyle J ^ {mu} = left (cho, mathbf {J} ight)}$

je čtyřproudový,

${displaystyle {částečné přes {částečné x ^ {a}}} {stackrel {mathrm {def}} {=}} částečné _ {a} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {} _ {, a} {stackrel {mathrm {def}} {=}} (částečné / částečné ct, abla)}$

je 4-gradient, a

${displaystyle A ^ {mu} = (varphi / c, mathbf {A}) quad {ext {SI}}}$

${displaystyle A ^ {mu} = (varphi, mathbf {A}) quad {ext {cgs}}}$

je elektromagnetický čtyř potenciál s Lorenzův rozchod stav

${displaystyle partial _ {mu} A ^ {mu} = 0 ,.}$

Zakřivený časoprostor

Rovnice elektromagnetických vln je upravena dvěma způsoby zakřivený časoprostor, je derivát nahrazen kovarianční derivace a objeví se nový člen, který závisí na zakřivení (jednotky SI).

${displaystyle - {A ^ {alpha; eta}} _ {eta} + {R ^ {alpha}} _ {eta} A ^ {eta} = mu _ {0} J ^ {alpha}}$

kde

${displaystyle {R ^ {alpha}} _ {eta}}$

je Ricciho tenzor zakřivení. Zde středník označuje kovariantní diferenciaci. Chcete-li získat rovnici v jednotkách cgs, nahraďte propustnost číslem 4π/C.

The Stav měřidla Lorenz v zakřiveném časoprostoru se předpokládá:

${displaystyle {A ^ {mu}} _ {; mu} = 0 ,.}$

Řešení nehomogenní elektromagnetické vlnové rovnice

Zpomalená sférická vlna. Zdroj vlny se vyskytuje v čase t'. Čelní vlna se vzdaluje od zdroje, jak se čas zvyšuje t > t'. U pokročilých řešení se vlnoplocha pohybuje zpět v čase od zdroje t < t'.

V případě, že kolem zdrojů nejsou žádné hranice, jsou řešení (cgs jednotky) nehomogenních vlnových rovnic

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = int {{delta left (t '+ {{left | mathbf {r} -mathbf {r}' ight |} over c} -tight)} over {left | mathbf {r} -mathbf {r} 'ight |}} ho (mathbf {r}', t ') d ^ {3} r'dt'}$

a

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = int {{delta left (t '+ {{left | mathbf {r} -mathbf {r}' ight |} over c} -tight)} over { left | mathbf {r} -mathbf {r} 'ight |}} {mathbf {J} (mathbf {r}', t ') nad c} d ^ {3} r'dt'}$

kde

${displaystyle {delta left (t '+ {{left | mathbf {r} -mathbf {r}' ight |} over c} -tight)}}$

je Diracova delta funkce.

Tato řešení jsou známá jako retardovaná Lorenzův rozchod potenciály. Představují a superpozice sférických světelných vln cestujících ven ze zdrojů vln, ze současnosti do budoucnosti.

Existují také pokročilá řešení (jednotky cgs)

${displaystyle varphi (mathbf {r}, t) = int {{delta left (t '- {{left | mathbf {r} -mathbf {r}' ight |} over c} -tight)} over {left | mathbf {r} -mathbf {r} 'ight |}} ho (mathbf {r}', t ') d ^ {3} r'dt'}$

a

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r}, t) = int {{delta left (t '- {{left | mathbf {r} -mathbf {r}' ight |} over c} -tight)} over { left | mathbf {r} -mathbf {r} 'ight |}} {mathbf {J} (mathbf {r}', t ') nad c} d ^ {3} r'dt' ,.}$

Představují superpozici sférických vln putujících z budoucnosti do současnosti.

Viz také

• Vlnová rovnice
• Řešení sinusových rovinných vln rovnice elektromagnetických vln
• Larmorův vzorec
• Formulace Maxwellových rovnic ve speciální relativitě
• Maxwellovy rovnice v zakřiveném časoprostoru
• Abraham – Lorentzova síla
• Greenova funkce

Reference

Elektromagnetické pole

Články v časopisech

• James Clerk Maxwell, “Dynamická teorie elektromagnetického pole ", Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně 155459-512 (1865). (Tento článek byl doprovázen prezentací Maxwella Královské společnosti z 8. prosince 1864.)

Učebnice na vysokoškolské úrovni

• Griffiths, David J. (1998). Úvod do elektrodynamiky (3. vydání). Prentice Hall. ISBN  0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Fyzika pro vědce a inženýry: elektřina, magnetismus, světlo a elementární moderní fyzika (5. vydání). W. H. Freeman. ISBN  0-7167-0810-8.
• Edward M. Purcell, Elektřina a magnetismus (McGraw-Hill, New York, 1985).
• Hermann A. Haus a James R. Melcher, Elektromagnetická pole a energie (Prentice-Hall, 1989) ISBN  0-13-249020-X
• Banesh Hoffman, Relativita a její kořeny (Freeman, New York, 1983).
• David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler a Jin Au Kong, Elektromagnetické vlny (Prentice-Hall, 1994) ISBN  0-13-225871-4
• Charles F. Stevens, Šest základních teorií moderní fyziky, (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4.

Učebnice na úrovni absolventů

• Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vydání). Wiley. ISBN  0-471-30932-X.
• Landau, L. D., Klasická teorie polí (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
• Maxwell, James C. (1954). Pojednání o elektřině a magnetismu. Doveru. ISBN  0-486-60637-6.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitace(1970) W.H. Freeman, New York; ISBN  0-7167-0344-0. (Poskytuje zpracování Maxwellových rovnic, pokud jde o diferenciální formy.)

Vektorový počet

• H. M. Schey, Div Grad Curl a to všechno: Neformální text o vektorovém počtu, 4. vydání (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1.