Ampèresův silový zákon - Ampères force law - Wikipedia

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

Dva vodiče vedoucí proud se magneticky přitahují: spodní vodič má proud Já₁, který vytváří magnetické pole B₁. Horní vodič nese proud Já₂ přes magnetické pole B₁, takže (podle Lorentzova síla ) drát zažije sílu F₁₂. (Není zobrazen simultánní proces, při kterém horní vodič vytváří magnetické pole, jehož výsledkem je síla na spodní vodič.)

v magnetostatika, síla přitahování nebo odpuzování mezi dvěma dráty nesoucími proud (viz první obrázek níže) se často nazývá Ampereho silový zákon. Fyzický původ této síly spočívá v tom, že každý vodič generuje magnetické pole následovně Biot – Savartův zákon a druhý drát následkem toho zažívá magnetickou sílu, sledující Lorentzův silový zákon.

Rovnice

Zvláštní případ: Dva přímé paralelní vodiče

Nejznámější a nejjednodušší příklad silového zákona Ampère, který byl základem (do 20. května 2019)^[1]) definice ampér, SI jednotka proudu uvádí, že magnetická síla na jednotku délky mezi dvěma přímými paralelními vodiči je

${ displaystyle { frac {F_ {m}} {L}} = 2k_ {A} { frac {I_ {1} I_ {2}} {r}}}$,

kde ${ displaystyle k_ {A}}$ je konstanta magnetické síly z Biot – Savartův zákon, ${ displaystyle F_ {m} / L}$ je celková síla na jeden drát na jednotku délky kratšího (čím delší je přibližně nekonečně dlouhý vzhledem ke kratšímu), ${ displaystyle r}$ je vzdálenost mezi dvěma dráty a ${ displaystyle I_ {1}}$, ${ displaystyle I_ {2}}$ jsou přímé proudy nesený dráty.

Toto je dobrá aproximace, pokud je jeden vodič dostatečně delší než druhý, takže jej lze aproximovat jako nekonečně dlouhý, a pokud je vzdálenost mezi dráty malá ve srovnání s jejich délkou (tak, aby byla zachována aproximace jednoho nekonečného drátu), ale velké ve srovnání s jejich průměry (aby mohly být také aproximovány jako nekonečně tenké čáry). Hodnota ${ displaystyle k_ {A}}$ závisí na systému zvolených jednotek a hodnotě ${ displaystyle k_ {A}}$ rozhodne, jak velká bude jednotka proudu. V SI Systém,^[2][3]

${ displaystyle k_ {A} { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} { frac { mu _ {0}} {4 pi}}}$

s ${ displaystyle mu _ {0}}$ the magnetická konstanta, definovaný v jednotkách SI jako^[4][5]

${ displaystyle mu _ {0} { přesahující { podmnožina { mathrm {def}} {}} {=}} 4 pi krát 10 ^ {- 7}}$ N / A².

Ve vakuu tedy

síla na Metr délky mezi dvěma rovnoběžnými vodiči - od sebe vzdálené 1 ma každý nést proud 1A - je přesně

${ displaystyle displaystyle 2 krát 10 ^ {- 7}}$ N / m.

Obecný případ

Obecná formulace magnetické síly pro libovolné geometrie je založena na iteraci line integrály a kombinuje Biot – Savartův zákon a Lorentzova síla v jedné rovnici, jak je uvedeno níže.^[6][7][8]

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int _ {L_ {1}} int _ {L_ {2}} { frac {I_ {1} d { vec { ell}} _ {1} mathbf { times} (I_ {2} d { vec { ell}} _ {2} mathbf { times} { hat { mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}}$,

kde

• ${ displaystyle { vec {F}} _ {12}}$ je celková magnetická síla pociťovaná vodičem 1 v důsledku drátu 2 (obvykle měřená v mm) newtonů ),
• ${ displaystyle I_ {1}}$ a ${ displaystyle I_ {2}}$ jsou proudy protékající vodiči 1 a 2 (obvykle měřeny v ampéry ),
• Integrace dvojité čáry sečte sílu na každý prvek drátu 1 v důsledku magnetického pole každého prvku drátu 2,
• ${ displaystyle d { vec { ell}} _ {1}}$ a ${ displaystyle d { vec { ell}} _ {2}}$ jsou nekonečně malé vektory spojené s vodičem 1 a vodičem 2 (obvykle měřeny v metrů ); vidět linka integrální pro podrobnější definici,
• Vektor ${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} _ {21}}$ je jednotkový vektor směřující od diferenciálního prvku na drátu 2 směrem k diferenciálnímu prvku na drátu 1 a | r | je vzdálenost oddělující tyto prvky,
• Násobení × je vektorový křížový produkt,
• Znamení ${ displaystyle I_ {n}}$ je relativní k orientaci ${ displaystyle d { vec { ell}} _ {n}}$ (například pokud ${ displaystyle d { vec { ell}} _ {1}}$ body ve směru konvenční proud, pak ${ displaystyle I_ {1}> 0}$).

Chcete-li určit sílu mezi dráty v materiálovém médiu, použijte magnetická konstanta je nahrazeno skutečným propustnost média.

V případě dvou samostatných uzavřených vodičů lze zákon přepsat následujícím ekvivalentním způsobem rozšířením vektorový trojitý produkt a použití Stokesovy věty:^[9]

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = - { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int _ {L_ {1}} int _ {L_ {2} } { frac {(I_ {1} d { vec { ell}} _ {1} mathbf { cdot} I_ {2} d { vec { ell}} _ {2}) { hat { mathbf {r}}} _ {21}} {| r | ^ {2}}}.}$

V této formě je okamžitě zřejmé, že síla na vodič 1 v důsledku drátu 2 je stejná a opačná než síla na drát 2 v důsledku drátu 1, v souladu s Newtonův třetí zákon.

Historické pozadí

Schéma původního Ampérova experimentu

Formu Ampereho silového zákona běžně danou odvozoval Maxwell a je jedním z několika výrazů shodných s původními experimenty Ampér a Gauss. Složka x síly mezi dvěma lineárními proudy I a I ', jak je znázorněno na sousedním diagramu, byla dána Ampèrem v roce 1825 a Gaussem v roce 1833 takto:^[10]

${ displaystyle dF_ {x} = kII'ds ' int ds { frac { cos (xds) cos (rds') - cos (rx) cos (dsds ')} {r ^ {2}} }.}$

Po Ampere, řada vědců, včetně Wilhelm Weber, Rudolf Clausius, James Clerk Maxwell, Bernhard Riemann, Hermann Grassmann,^[11] a Walther Ritz, vyvinuli tento výraz, aby našli základní výraz síly. Diferenciací lze ukázat, že:

${ displaystyle { frac { cos (xds) cos (rds ')} {r ^ {2}}} = - cos (rx) { frac {( cos epsilon -3 cos phi cos phi ')} {r ^ {2}}}}$.

a také identita:

${ displaystyle { frac { cos (rx) cos (dsds ')} {r ^ {2}}} = { frac { cos (rx) cos epsilon} {r ^ {2}}} }$.

S těmito výrazy lze Ampereho silový zákon vyjádřit jako:

${ displaystyle dF_ {x} = kII'ds ' int ds' cos (rx) { frac {2 cos epsilon -3 cos phi cos phi '} {r ^ {2}}} }$.

Použití identit:

${ displaystyle { frac { částečné r} { částečné s}} = cos phi, { frac { částečné r} { částečné s '}} = - cos phi'}$.

a

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} r} { částečné s částečné s '}} = { frac {- cos epsilon + cos phi cos phi'} {r}} }$.

Výsledky Ampère lze vyjádřit ve formě:

${ displaystyle d ^ {2} F = { frac {kII'dsds '} {r ^ {2}}} vlevo ({ frac { částečné r} { částečné s}} { frac { částečné r} { částečné s '}} - 2r { frac { částečné ^ {2} r} { částečné s částečné' '}} pravé)}$.

Jak poznamenal Maxwell, k tomuto výrazu lze přidat pojmy, které jsou deriváty funkce Q (r) a pokud jsou integrovány, navzájem se ruší. Takže Maxwell dal „nejobecnější formu odpovídající experimentálním faktům“ pro sílu na ds vyplývající z působení ds ':^[12]

${ displaystyle d ^ {2} F_ {x} = kII'dsds '{ frac {1} {r ^ {2}}} left [ left ( left ({ frac { částečné r} { částečné s}} { frac { částečné r} { částečné s '}} - 2r { frac { částečné ^ {2} r} { částečné s částečné s'}} pravé) + r { frac { částečné ^ {2} Q} { částečné s částečné s '}} pravé) cos (rx) + { frac { částečné Q} { částečné s'}} cos (xds) - { frac { částečné Q} { částečné s}} cos (xds ') pravé]}$.

Q je podle Maxwella funkcí r, kterou „nelze bez předpokladů nějakého druhu určit z experimentů, při kterých aktivní proud tvoří uzavřený obvod.“ Vezmeme-li funkci Q (r) ve tvaru:

${ displaystyle Q = - { frac {(1 + k)} {2r}}}$

Získáme obecný výraz pro sílu vyvíjenou na ds ds:

${ displaystyle mathbf {d ^ {2} F} = - { frac {kII '} {2r ^ {2}}} left [(3-k) { hat { mathbf {r_ {1}} }} ( mathbf {dsds '}) -3 (1-k) { hat { mathbf {r_ {1}}}} ( mathbf {{ hat {r_ {1}}} ds}) ( mathbf {{ hat {r_ {1}}} ds '}) - (1 + k) mathbf {ds} ( mathbf {{ hat {r_ {1}}} ds'}) - (1 + k ) mathbf {d's} ( mathbf {{ hat {r_ {1}}} ds}) right]}$.

Integrace kolem s 'eliminuje k a získá se původní výraz daný Ampèrem a Gaussem. Takže pokud jde o původní Ampereovy experimenty, hodnota k nemá žádný význam. Ampère vzal k = -1; Gauss vzal k = + 1, stejně jako Grassmann a Clausius, ačkoli Clausius vynechal S složku. V non-éterických elektronových teoriích vzal Weber k = -1 a Riemann k = + 1. Ritz ve své teorii odešel neurčený. Pokud vezmeme k = -1, získáme Ampereův výraz:

${ displaystyle mathbf {d ^ {2} F} = - { frac {kII '} {r ^ {3}}} left [2 mathbf {r} ( mathbf {dsds'}) -3 mathbf {r} ( mathbf {rds}) ( mathbf {rds '}) right]}$

Vezmeme-li k = + 1, získáme

${ displaystyle mathbf {d ^ {2} F} = - { frac {kII '} {r ^ {3}}} left [ mathbf {r} ( mathbf {dsds'}) - mathbf { ds (rds ')} - mathbf {ds' (rds)} vpravo]}$

Použitím vektorové identity pro produkt trojitého kříže můžeme tento výsledek vyjádřit jako

${ displaystyle mathbf {d ^ {2} F} = { frac {kII '} {r ^ {3}}} left [ left ( mathbf {ds} times mathbf {ds'} times mathbf {r} right) + mathbf {ds '(rds)} right]}$

Když je integrován kolem ds ', druhý člen je nula, a tak najdeme formu Ampèrova silového zákona danou Maxwellem:

${ displaystyle mathbf {F} = kII ' int int { frac { mathbf {ds} times ( mathbf {ds'} times mathbf {r})} {| r | ^ {3} }}}$

Odvození paralelního přímého pouzdra drátu z obecného vzorce

Začněte od obecného vzorce:

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int _ {L_ {1}} int _ {L_ {2}} { frac {I_ {1} d { vec { ell}} _ {1} mathbf { times} (I_ {2} d { vec { ell}} _ {2} mathbf { times} { hat { mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}}$,

Předpokládejme, že vodič 2 je podél osy x a vodič 1 je na y = D, z = 0, rovnoběžně s osou x. Nechat ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ být souřadnicí x diferenciálního prvku drátu 1, respektive drátu 2. Jinými slovy, diferenciální prvek drátu 1 je na ${ displaystyle (x_ {1}, D, 0)}$ a diferenciální prvek drátu 2 je na ${ displaystyle (x_ {2}, 0,0)}$. Vlastnosti liniových integrálů, ${ displaystyle d { vec { ell}} _ {1} = (dx_ {1}, 0,0)}$ a ${ displaystyle d { vec { ell}} _ {2} = (dx_ {2}, 0,0)}$. Taky,

${ displaystyle { hat { mathbf {r}}} _ {21} = { frac {1} { sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} }}} (x_ {1} -x_ {2}, D, 0)}$

a

${ displaystyle | r | = { sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2}}}}$

Proto je integrál

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = { frac { mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 pi}} int _ {L_ {1}} int _ {L_ {2}} { frac {(dx_ {1}, 0,0) mathbf { times} left [(dx_ {2}, 0,0) mathbf { times} (x_ {1} -x_ {2}, D, 0) right]} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} | ^ {3/2} }}}$.

Hodnocení křížového produktu:

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = { frac { mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 pi}} int _ {L_ {1}} int _ {L_ {2}} dx_ {1} dx_ {2} { frac {(0, -D, 0)} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ { 2} | ^ {3/2}}}}$.

Dále se integrujeme ${ displaystyle x_ {2}}$ z ${ displaystyle - infty}$ na ${ displaystyle + infty}$:

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = { frac { mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 pi}} { frac {2} {D}} (0, -1,0) int _ {L_ {1}} dx_ {1}}$.

Pokud je vodič 1 také nekonečný, integrál se rozchází, protože celkový přitažlivá síla mezi dvěma nekonečnými paralelními dráty je nekonečno. Ve skutečnosti to, co opravdu chceme vědět, je atraktivní síla na jednotku délky drátu 1. Předpokládejme tedy, že drát 1 má velkou, ale konečnou délku ${ displaystyle L_ {1}}$. Pak je silový vektor pociťovaný drátem 1:

${ displaystyle { vec {F}} _ {12} = { frac { mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 pi}} { frac {2} {D}} (0, -1,0) L_ {1}}$.

Jak se dalo očekávat, síla, kterou drát cítí, je úměrná jeho délce. Síla na jednotku délky je:

${ displaystyle { frac {{ vec {F}} _ {12}} {L_ {1}}} = { frac { mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {2 pi D}} (0, -1,0)}$.

Směr síly je podél osy y, což představuje drát 1 přitahovaný k drátu 2, pokud jsou proudy paralelní, jak se očekávalo. Velikost síly na jednotku délky souhlasí s výrazem pro ${ displaystyle { frac {F_ {m}} {L}}}$ zobrazené výše.

Pozoruhodné odvozeniny Ampèrova silového zákona

Chronologicky objednané:

• Ampereova původní derivace z roku 1823:
  • Assis, André Koch Torres; Chaib, J. P. M. C; Ampère, André-Marie (2015). Ampèrova elektrodynamika: analýza významu a vývoje Ampèrovy síly mezi současnými prvky, spolu s úplným překladem jeho mistrovského díla: Teorie elektrodynamických jevů, jednoznačně odvozená ze zkušenosti (PDF). Montreal: Apeiron. ISBN  978-1-987980-03-5.
• Maxwell derivace z roku 1873:
  • Pojednání o elektřině a magnetismu sv. 2, část 4, kap. 2 (§§ 502–527)
• Pierre Duhem derivace z roku 1892:
  • Duhem, Pierre Maurice Marie (9. září 2018). Ampereův silový zákon: moderní úvod. Alan Aversa (trans.). doi:10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1. Citováno 3. července 2019. (EPUB )
    • překlad: Leçons sur l'électricité et le magnétisme sv. 3, dodatek ke knize 14, s. 309-332 (francouzsky)
• Alfred O'Rahilly derivace z roku 1938:
  • Elektromagnetická teorie: Kritické zkoumání základů sv. 1, s. 102 –104 (viz také následující stránky)

Viz také

• Ampér
• Magnetická konstanta
• Lorentzova síla
• Ampereův zákon o oběhu
• Volný prostor

Odkazy a poznámky

externí odkazy

• Ampereho silový zákon Zahrnuje animovanou grafiku vektorů sil.