Algebra fyzického prostoru - Algebra of physical space

v fyzika, algebra fyzického prostoru (APS) je použití Clifford nebo geometrická algebra Cl_3,0(R) trojrozměrného Euklidovský prostor jako model pro (3 + 1) -dimenzionální vesmírný čas, představující bod v časoprostoru pomocí a paravector (3-rozměrný vektor plus 1-rozměrný skalární).

Cliffordova algebra Cl_3,0(R) má věrné zastoupení generované uživatelem Pauliho matice, na rotační reprezentace C²; dále Cl_3,0(R) je izomorfní s sudou subalgebrou Cl^[0]
_3,1(R) Cliffordské algebry Cl_3,1(R).

APS lze použít ke konstrukci kompaktního, jednotného a geometrického formalizmu pro klasickou i kvantovou mechaniku.

APS by neměla být zaměňována s časoprostorová algebra (STA), která se týká Cliffordova algebra Cl_1,3(R) čtyřrozměrného Minkowského časoprostor.

Speciální relativita

Paravector polohy prostoru

V APS je vesmírný čas pozice je reprezentována jako paravector

${ displaystyle x = x ^ {0} + x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e } _ {3},}$

kde čas je dán skalární částí X⁰ = t, a E₁, E₂, E₃ jsou standardní základ pro polohový prostor. Po celou dobu takové jednotky C = 1 jsou používány, tzv přirozené jednotky. V Pauliho matice reprezentace, jednotkové základní vektory jsou nahrazeny Pauliho maticemi a skalární část maticí identity. To znamená, že Pauliho maticová reprezentace pozice časoprostoru je

${ displaystyle x rightarrow { begin {pmatrix} x ^ {0} + x ^ {3} && x ^ {1} -ix ^ {2} x ^ {1} + ix ^ {2} && x ^ { 0} -x ^ {3} end {pmatrix}}}$

Lorentzovy transformace a rotory

Omezené Lorentzovy transformace, které zachovávají směr času a zahrnují rotace a zesílení, lze provést umocněním rotace časoprostoru biparavektor Ž

${ displaystyle L = e ^ {{ frac {1} {2}} Z}.}$

V maticovém znázornění je vidět, že rotor Lorentz tvoří instanci SL (2,C) skupina (speciální lineární skupina stupně 2 nad komplexní čísla ), což je dvojitý kryt Skupina Lorentz. Unimodularita Lorentzova rotoru se převádí za následujících podmínek na produkt Lorentzova rotoru s jeho Cliffordovou konjugací

${ displaystyle L { bar {L}} = { bar {L}} L = 1.}$

Tento Lorentzův rotor lze vždy rozložit na dva faktory, jeden Hermitian B = B^†, a ostatní unitární R^† = R⁻¹, takový, že

${ displaystyle L = BR.}$

Jednotný prvek R se nazývá a rotor protože to kóduje rotace a hermitovský prvek B kóduje zesílení.

Čtyřrychlostní paravektor

The čtyřrychlostní, také zvaný správná rychlost, je definován jako derivát paravektoru polohy časoprostoru vzhledem k správný čas τ:

${ displaystyle u = { frac {dx} {d tau}} = { frac {dx ^ {0}} {d tau}} + { frac {d} {d tau}} (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e} _ {3}) = { frac {dx ^ {0}} {d tau}} left [1 + { frac {d} {dx ^ {0}}} (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e} _ {3}) right].}$

Tento výraz lze přivést do kompaktnější podoby definováním běžné rychlosti jako

${ displaystyle mathbf {v} = { frac {d} {dx ^ {0}}} (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e} _ {3}),}$

a připomíná definici faktor gama:

${ displaystyle gamma ( mathbf {v}) = { frac {1} { sqrt {1 - { frac {| mathbf {v} | ^ {2}} {c ^ {2}}}} }},}$

takže správná rychlost je kompaktnější:

${ displaystyle u = gamma ( mathbf {v}) (1+ mathbf {v}).}$

Správná rychlost je kladná unimodulární paravector, což znamená následující podmínku ve smyslu Cliffordova konjugace

${ displaystyle u { bar {u}} = 1.}$

Správná rychlost se transformuje působením Rotor Lorentz L tak jako

${ displaystyle u rightarrow u ^ { prime} = LuL ^ { dagger}.}$

Paravektor se čtyřmi hybnostmi

The čtyři momenty v APS lze získat vynásobením správné rychlosti hmotou jako

${ displaystyle p = mu,}$

s hromadná skořápka stav přeložen do

${ displaystyle { bar {p}} p = m ^ {2}.}$

Klasická elektrodynamika

Elektromagnetické pole, potenciál a proud

The elektromagnetické pole je reprezentován jako bi-paravektor F:

${ displaystyle F = mathbf {E} + i mathbf {B},}$

s hermitovskou částí představující elektrické pole E a antihermitská část představující magnetické pole B. Ve standardní Pauliho maticové reprezentaci je elektromagnetické pole:

${ displaystyle F rightarrow { begin {pmatrix} E_ {3} & E_ {1} -iE_ {2} E_ {1} + iE_ {2} & - E_ {3} end {pmatrix}} + i { begin {pmatrix} B_ {3} & B_ {1} -iB_ {2} B_ {1} + iB_ {2} & - B_ {3} end {pmatrix}} ,.}$

Zdroj pole F je elektromagnetický čtyřproudový:

${ displaystyle j = rho + mathbf {j} ,,}$

kde skalární část se rovná hustota elektrického náboje ρa vektorová část hustota elektrického proudu j. Představujeme elektromagnetický potenciál paravector definováno jako:

${ displaystyle A = phi + mathbf {A} ,,}$

ve kterém se skalární část rovná elektrický potenciál ϕa vektorová část magnetický potenciál A. Elektromagnetické pole je pak také:

${ displaystyle F = částečný { bar {A}}.}$

Pole lze rozdělit na elektrické

${ displaystyle E = langle částečné { bar {A}} rangle _ {V}}$

a magnetické

${ displaystyle B = i langle částečný { bar {A}} rangle _ {BV}}$

komponenty

${ displaystyle částečné = částečné _ {t} + mathbf {e} _ {1} , částečné _ {x} + mathbf {e} _ {2} , částečné _ {y} + mathbf {e} _ {3} , částečné _ {z}}$

a F je neměnný pod a transformace měřidla formuláře

${ displaystyle A rightarrow A + částečné chi ,,}$

kde ${ displaystyle chi}$ je skalární pole.

Elektromagnetické pole je kovariantní podle Lorentzových transformací podle zákona

${ displaystyle F rightarrow F ^ { prime} = LF { bar {L}} ,.}$

Maxwellovy rovnice a Lorentzova síla

The Maxwellovy rovnice lze vyjádřit jedinou rovnicí:

${ displaystyle { bar { částečné}} F = { frac {1} { epsilon}} { bar {j}} ,,}$

kde overbar představuje Cliffordova konjugace.

The Lorentzova síla rovnice má podobu

${ displaystyle { frac {dp} {d tau}} = e langle Fu rangle _ {R} ,.}$

Elektromagnetická Lagrangeova

Elektromagnetické Lagrangian je

${ displaystyle L = { frac {1} {2}} langle FF rangle _ {S} - langle A { bar {j}} rangle _ {S} ,,}$

což je skutečný skalární invariant.

Relativistická kvantová mechanika

The Diracova rovnice, pro elektricky nabitá částice hmoty m a účtovat E, má formu:

${ displaystyle i { bar { částečné}} Psi mathbf {e} _ {3} + e { bar {A}} Psi = m { bar { Psi}} ^ { dagger}}$,

kde E₃ je libovolný jednotný vektor a A je elektromagnetický paravektorový potenciál, jak je uvedeno výše. The elektromagnetická interakce bylo zahrnuto prostřednictvím minimální vazba z hlediska potenciálu A.

Klasický spinor

The diferenciální rovnice Lorentzova rotoru, který je v souladu s Lorentzovou silou, je

${ displaystyle { frac {d Lambda} {d tau}} = { frac {e} {2mc}} F Lambda,}$

taková, že správná rychlost se vypočítá jako Lorentzova transformace správné rychlosti v klidu

${ displaystyle u = Lambda Lambda ^ { dagger},}$

které lze integrovat k nalezení časoprostorové trajektorie ${ displaystyle x ( tau)}$ s dalším použitím

${ displaystyle { frac {dx} {d tau}} = u.}$

Viz také

• Paravector
• Multivektorový
• wikibooks: Fyzika v jazyce geometrické algebry. Přístup pomocí algebry fyzického prostoru
• Diracova rovnice v algebře fyzického prostoru

Reference

Učebnice

• Baylis, William (2002). Elektrodynamika: moderní geometrický přístup (2. vyd.). ISBN  0-8176-4025-8.
• Baylis, William, ed. (1999) [1996]. Cliffordské (geometrické) algebry: s aplikacemi ve fyzice, matematice a inženýrství. Springer. ISBN  978-0-8176-3868-9.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007) [2003]. Geometrická algebra pro fyziky. Cambridge University Press. ISBN  978-1-139-64314-6.
• Hestenes, David (1999). Nové základy klasické mechaniky (2. vyd.). Kluwer. ISBN  0-7923-5514-8.

Články

• Baylis, W E (2004). "Relativita v úvodní fyzice". Kanadský žurnál fyziky. 82 (11): 853–873. arXiv:fyzika / 0406158. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. doi:10.1139 / p04-058. S2CID  35027499.
• Baylis, WE; Jones, G (7. ledna 1989). „Přístup Pauliho algebry ke speciální relativitě“. Journal of Physics A: Mathematical and General. 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA ... 22 .... 1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
• Baylis, W. E. (1. března 1992). "Klasické vlastní tvary a Diracova rovnice". Fyzický přehled A. 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. doi:10.1103 / physreva.45.4293. PMID  9907503.
• Baylis, W. E .; Yao, Y. (1. července 1999). „Relativistická dynamika nábojů v elektromagnetických polích: vlastní přístup“. Fyzický přehled A. 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10,1103 / physreva.60,785.