Formalismus ADM - ADM formalism

Část série článků o
Obecná relativita
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Měřítko relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

Richard Arnowitt, Stanley Deser a Charles Misner na ADM-50: Oslava aktuální inovace GR konference konaná v listopadu 2009^[1] na počest 50. výročí jejich příspěvku.

The Formalismus ADM (pojmenováno pro své autory Richard Arnowitt, Stanley Deser a Charles W. Misner ) je Hamiltonian formulace obecná relativita která hraje důležitou roli v kanonická kvantová gravitace a numerická relativita. Poprvé byla vydána v roce 1959.^[2]

Komplexní přehled formalismu, který autoři publikovali v roce 1962^[3] byl přetištěn v deníku Obecná relativita a gravitace,^[4] zatímco původní dokumenty lze nalézt v archivech Fyzický přehled.^[2][5]

Přehled

Formalismus to předpokládá vesmírný čas je foliovaný do rodiny vesmírných povrchů ${displaystyle Sigma _ {t}}$, označené jejich časovou souřadnicí ${displaystyle t}$, a se souřadnicemi na každém řezu danými ${displaystyle x ^ {i}}$. Dynamické proměnné této teorie jsou považovány za metrický tenzor trojrozměrných prostorových řezů ${displaystyle gamma _ {ij} (t, x ^ {k})}$ a jejich konjugovat moment ${displaystyle pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$. Pomocí těchto proměnných je možné definovat a Hamiltonian, a tím psát pohybové rovnice pro obecnou relativitu ve formě Hamiltonovy rovnice.

Kromě dvanácti proměnných ${displaystyle gamma _ {ij}}$ a ${displaystyle pi ^ {ij}}$, jsou čtyři Lagrangeovy multiplikátory: funkce lapse, ${displaystyle N}$a komponenty vektorové pole posunu, ${displaystyle N_ {i}}$. Ty popisují, jak každý z „listů“ ${displaystyle Sigma _ {t}}$ folií časoprostoru jsou svařeny dohromady. Pohybové rovnice pro tyto proměnné lze libovolně specifikovat; tato svoboda odpovídá svobodě určit, jak vyložit souřadnicový systém v prostoru a čase.

Zápis

Většina odkazů přijímá notaci, ve které jsou čtyřrozměrné tenzory psány v abstraktní indexové notaci, a že řecké indexy jsou časoprostorové indexy s hodnotami (0, 1, 2, 3) a latinské indexy jsou prostorové indexy s hodnotami (1, 2, 3). V derivaci zde je horní index (4) přidán k veličinám, které mají obvykle jak trojrozměrnou, tak čtyřrozměrnou verzi, jako je metrický tenzor pro trojrozměrné řezy ${displaystyle g_ {ij}}$ a metrický tenzor pro celý čtyřrozměrný časoprostor ${displaystyle {^ {(4)}} g_ {mu u}}$.

Text zde používá Einsteinova notace ve kterém se předpokládá součet nad opakovanými indexy.

Používají se dva typy derivátů: Částečné derivace jsou označeny buď operátorem ${displaystyle částečné _ {i}}$ nebo dolní indexy, před nimiž je čárka. Koviantní deriváty jsou označeny buď operátorem ${displaystyle abla _ {i}}$ nebo dolní indexy, před nimiž je středník.

Absolutní hodnota určující matice metrických koeficientů tenzoru představuje ${displaystyle g}$ (bez indexů). Ostatní tenzorové symboly psané bez indexů představují stopu odpovídajícího tenzoru, jako např ${displaystyle pi = g ^ {ij} pi _ {ij}}$.

Derivace

Lagrangeova formulace

Výchozím bodem pro formulaci ADM je Lagrangian

${displaystyle {mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {sqrt {^ {(4)} g}},}$

což je produkt druhé odmocniny z určující čtyřrozměrného metrický tenzor pro celý časoprostor a jeho Ricci skalární. Toto je Lagrangian z Akce Einstein – Hilbert.

Požadovaným výsledkem odvození je definovat vložení trojrozměrných prostorových řezů do čtyřrozměrného časoprostoru. Metrika trojrozměrných řezů

${displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}$

bude zobecněné souřadnice pro Hamiltonovu formulaci. The konjugovat moment pak lze vypočítat jako

${displaystyle pi ^ {ij} = {sqrt {^ {(4)} g}} vlevo ({^ {(4)}} Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} {^ {(4) }} Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} ight) g ^ {ip} g ^ {jq},}$

pomocí standardních technik a definic. Symboly ${displaystyle {^ {(4)}} Gama _ {ij} ^ {0}}$ jsou Christoffel symboly spojené s metrikou celého čtyřrozměrného časoprostoru. Prodleva

${displaystyle N = left (- {^ {(4)} g ^ {00}} ight) ^ {- 1/2}}$

a vektor posunu

${displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}$

jsou zbývající prvky čtyřmetrického tenzoru.

Po identifikaci množství pro formulaci je dalším krokem přepsat Lagrangeovu z hlediska těchto proměnných. Nový výraz pro lagrangisty

${displaystyle {mathcal {L}} = - g_ {ij} částečné _ {t} pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2partial _ {i} vlevo (pi ^ {ij} N_ {j} - {frac {1} {2}} pi N ^ {i} + abla ^ {i} N {sqrt {g}} ight)}$

je pohodlně napsán z hlediska dvou nových veličin

${displaystyle H = - {sqrt {g}} vlevo [^ {(3)} R + g ^ {- 1} vlevo ({frac {1} {2}} pi ^ {2} -pi ^ {ij} pi _ {ij} ight) ight]}$

a

${displaystyle P ^ {i} = - 2pi ^ {ij} {} _ {; j},}$

které jsou známé jako Hamiltonovské omezení a omezení hybnosti. Zánik a posun se objeví v Lagrangeově jako Lagrangeovy multiplikátory.

Pohybové rovnice

Ačkoli proměnné v lagrangeově představují metrický tenzor na trojrozměrných prostorech vložených do čtyřrozměrného vesmírný čas, je možné a žádoucí použít obvyklé postupy od Lagrangian mechanika odvodit „pohybové rovnice“, které popisují časový vývoj obou metrik ${displaystyle g_ {ij}}$ a jeho konjugovaná hybnost ${displaystyle pi ^ {ij}}$. Výsledek

${displaystyle partial _ {t} g_ {ij} = {frac {2N} {sqrt {g}}} vlevo (pi _ {ij} - {frac {1} {2}} pi g_ {ij} ight) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}$

a

${displaystyle {egin {aligned} částečný _ {t} pi ^ {ij} = & - N {sqrt {g}} vlevo (R ^ {ij} - {frac {1} {2}} Rg ^ {ij} vpravo ) + {frac {N} {2 {sqrt {g}}}} g ^ {ij} vlevo (pi ^ {mn} pi _ {mn} - {frac {1} {2}} pi ^ {2} ight ) - {frac {2N} {sqrt {g}}} vlevo (pi ^ {in} {pi _ {n}} ^ {j} - {frac {1} {2}} pi pi ^ {ij} ight) & + {sqrt {g}} vlevo (abla ^ {i} abla ^ {j} Ng ^ {ij} abla ^ {n} abla _ {n} noc) + abla _ {n} vlevo (pi ^ {ij } N ^ {n} ight) - {N ^ {i}} _ {; n} pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} pi ^ {ni} konec {zarovnáno}}}$

je nelineární množina parciální diferenciální rovnice.

Vezmeme-li variace s ohledem na prodlevu a posun, zajistíme rovnice omezení

${displaystyle H = 0}$

a

${displaystyle P ^ {i} = 0,}$

a samotné prodlevy a posuny lze libovolně specifikovat, což odráží skutečnost, že souřadné systémy lze libovolně specifikovat jak v prostoru, tak v čase.

Aplikace

Aplikace na kvantovou gravitaci

Pomocí formulace ADM je možné se pokusit postavit a kvantová teorie gravitace stejným způsobem, že jeden konstruuje Schrödingerova rovnice odpovídající danému Hamiltonian v kvantová mechanika. To znamená, nahradit kanonický moment ${displaystyle pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}$ a prostorové metrické funkce lineárními funkčními diferenciálními operátory

${displaystyle {hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}$

${displaystyle {hat {pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) mapsto -i {frac {delta} {delta g_ {ij} (t, x ^ {k})}}}}$

Přesněji řečeno, nahrazování klasických proměnných operátory je omezeno komutační vztahy. Klobouky představují operátory v kvantové teorii. To vede k Wheeler – DeWittova rovnice.

Aplikace na numerické řešení Einsteinových rovnic

Existuje relativně málo známých přesných řešení Einsteinovy ​​rovnice pole. Aby bylo možné najít další řešení, existuje aktivní studijní obor známý jako numerická relativita ve kterém superpočítače se používají k nalezení přibližného řešení rovnic. Aby bylo možné konstruovat taková řešení numericky, většina vědců začíná formulací Einsteinových rovnic úzce souvisejících s formulací ADM. Nejběžnější přístupy začínají na problém počáteční hodnoty na základě formalismu ADM.

V Hamiltonových formulacích je základním bodem nahrazení množiny rovnic druhého řádu jinou množinou rovnic prvního řádu. Tuto druhou sadu rovnic můžeme získat Hamiltonovskou formulací snadným způsobem. To je samozřejmě velmi užitečné pro numerickou fyziku, protože redukce pořadí diferenciálních rovnic je často vhodná, pokud chceme připravit rovnice pro počítač.

Energie a hmotnost ADM

Energie ADM je speciální způsob, jak definovat energie v obecná relativita, který je použitelný pouze pro některé speciální geometrie vesmírný čas že asymptoticky přistupují k dobře definovaným metrický tenzor v nekonečnu - například časoprostor, který se asymptoticky blíží Minkowského prostor. Energie ADM je v těchto případech definována jako funkce odchylky metrického tenzoru od jeho předepsané asymptotické formy. Jinými slovy, energie ADM se počítá jako síla gravitačního pole v nekonečnu.

Pokud je požadovaná asymptotická forma nezávislá na čase (například samotný Minkowského prostor), respektuje časově-translační symetrie. Noetherova věta pak znamená, že energie ADM je zachována. Podle obecné relativity zákon zachování celkové energie neplatí pro obecnější pozadí závislá na čase - například je zcela porušen v fyzikální kosmologie. Kosmická inflace zejména je schopen vyrábět energii (a hmotu) z „ničeho“, protože vakuová energie hustota je zhruba konstantní, ale objem vesmíru roste exponenciálně.

Aplikace na upravenou gravitaci

Pomocí ADM rozklad a zavedení dalších pomocných polí v roce 2009 Deruelle et al. našel způsob, jak najít Gibbons – Hawking – York hraniční člen pro upravená gravitace teorie „jejichž Lagrangian je libovolná funkce Riemannova tenzoru“.^[6]

Kontroverze

V roce 2008 Kiriushcheva a Kuzmin zveřejnili formální vyvrácení 4 konvenčních moudrostí obklopujících formalismus ADM,^[7] nejvíce pozoruhodně to, že pouze v dirac hamiltonovském formalismu, nikoli ve formalizmu ADM, lze pomocí kanonických transformací získat vlastní difeomorfismus invariance. Rozdíl v kanonické struktuře dirackých a hammamovských formalizmů ADM je pokračující kontroverzí, kterou teprve bude třeba ve fyzikální literatuře uzavřít.

Viz také

• Kanonické souřadnice
• Hamilton – Jacobi – Einsteinova rovnice
• Peresova metrika

Poznámky

Reference

• Kiefer, Claus (2007). Kvantová gravitace. Oxford, New York: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-921252-1.