Hyperbolická ortogonalita - Hyperbolic orthogonality

Euklidovský ortogonalita je zachován rotací v levém diagramu; hyperbolická ortogonalita vzhledem k hyperbole (B) je zachována hyperbolická rotace ve správném diagramu

v geometrie vztah, hyperbolická ortogonalita mezi dvěma řádky oddělenými asymptoty a hyperbola je koncept používaný v speciální relativita definovat simultánní události. Dvě události budou simultánní, pokud jsou na linii hyperbolicky kolmé k určité časové linii. Tato závislost na určité časové linii je určena rychlostí a je základem pro relativita simultánnosti.

Geometrie

Dvě řádky jsou hyperbolický ortogonální když jsou odrazy navzájem nad asymptotem daného hyperbola V letadle se často používají dvě konkrétní hyperboly:

(A) xy = 1 s y = 0 jako asymptota.

Když se odráží v ose x, čára y = mx se stává y = −mx.

V tomto případě jsou čáry hyperbolické ortogonální, pokud jsou svahy jsou aditivní inverze.

(B) X² − y² = 1 s y = X jako asymptota.

Pro řádky y = mx s −1 < m <1, kdy X = 1/m, pak y = 1.

Bod (1 /m , 1) na řádku se odráží napříč y = X do (1, 1 /m).

Proto má odražená čára sklon 1 / m a sklony hyperbolických ortogonálních čar jsou reciproční navzájem.

Vztah hyperbolické ortogonality se ve skutečnosti vztahuje na třídy rovnoběžných čar v rovině, kde kteroukoli konkrétní linii může tato třída představovat. Tedy pro danou hyperbolu a asymptotu A, dvojice řádků (A, b) jsou hyperbolické ortogonální, pokud existuje pár (C, d) takové, že ${ displaystyle a rVert c, b rVert d}$, a C je odrazem d přes A.

Podobně jako kolmost poloměru kruhu k tečna, poloměr hyperboly je hyperbolický ortogonální k tangentě hyperboly.^[1][2]

A bilineární forma se používá k popisu ortogonality v analytické geometrii, přičemž dva prvky jsou kolmé, když jejich bilineární forma zmizí. V rovině komplexní čísla ${ displaystyle z_ {1} = u + iv, quad z_ {2} = x + iy}$, bilineární forma je ${ displaystyle xu + yv}$, zatímco v rovině hyperbolická čísla ${ displaystyle w_ {1} = u + jv, quad w_ {2} = x + jy,}$ bilineární forma je ${ displaystyle xu-yv.}$

Vektory z₁ a z₂ v rovině komplexního čísla a w₁ a w₂ v hyperbolické číselné rovině se říká, že jsou příslušně Euklidovský ortogonální nebo hyperbolický ortogonální pokud jsou jejich příslušné vnitřní produkty [bilineární formy] nulové.^[3]

Bilineární formu lze vypočítat jako skutečnou část komplexního produktu jednoho čísla s konjugátem druhého. Pak

${ displaystyle z_ {1} z_ {2} ^ {*} + z_ {1} ^ {*} z_ {2} = 0}$ znamená kolmost ve složité rovině, zatímco

${ displaystyle w_ {1} w_ {2} ^ {*} + w_ {1} ^ {*} w_ {2} = 0}$ znamená w 's jsou hyperbolické ortogonální.

Pojem hyperbolické ortogonality vznikl v roce analytická geometrie se zřetelem na průměry konjugátu elips a hyperbol.^[4] -li G a G′ Představují tedy sklon průměrů konjugátu ${ displaystyle gg '= - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ v případě elipsy a ${ displaystyle gg '= { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ v případě hyperboly. Když A = b elipsa je kruh a průměry konjugátu jsou kolmé, zatímco hyperbola je obdélníková a průměry konjugátu jsou hyperbolicko-ortogonální.

V terminologii projektivní geometrie, operace převzetí hyperbolické ortogonální čáry je involuce. Předpokládejme, že sklon svislé čáry je označen ∞, takže všechny čáry mají sklon v projektivně prodloužená reálná čára. Pak se použije jakákoli hyperbola (A) nebo (B), operace je příkladem a hyperbolická involuce kde asymptota je neměnná. Hyperbolicky ortogonální čáry leží v různých sektorech roviny, které jsou určeny asymptoty hyperboly, takže vztah hyperbolické ortogonality je heterogenní vztah na množinách čar v rovině.

Simultánnost

Od té doby Hermann Minkowski je základem pro vesmírný čas studie z roku 1908, koncept bodů v časoprostorové rovině, které jsou hyperbolicko-ortogonální k časové ose (tečna k světová linie ) byl použit k definování simultánnost událostí vzhledem k časové ose. Ve vývoji Minkowski se používá hyperbola typu (B) výše.^[5] Dva vektory (X₁, y₁, z₁, t₁) a (X₂, y₂, z₂, t₂) jsou normální (což znamená hyperbolický ortogonální), když

${ displaystyle c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2} = 0 .}$

Když C = 1 a ys a zs jsou nula, X₁ ≠ 0, t₂ ≠ tedy 0 ${ displaystyle { frac {c t_ {1}} {x_ {1}}} = { frac {x_ {2}} {c t_ {2}}}}$.

Vzhledem k hyperbole s asymptotem A, jeho odraz v A vyrábí konjugovaná hyperbola. Libovolný průměr původní hyperboly se odráží na a průměr konjugátu. Směry naznačené průměry konjugátu se berou pro prostorové a časové osy v relativitě E. T. Whittaker napsal v roce 1910, „hyperbola se nezmění, když se jakýkoli pár průměrů konjugátu vezme jako nová osa a nová jednotka délky se vezme úměrně délce jednoho z těchto průměrů.“^[6] Na toto princip relativity, napsal Lorentzovu transformaci v moderní podobě pomocí rychlost.

Edwin Bidwell Wilson a Gilbert N. Lewis vytvořil koncept uvnitř syntetická geometrie v roce 1912. Poznamenávají „v našem letadle není žádná dvojice kolmých [hyperbolicko-ortogonálních] čar vhodnější pro to, aby sloužila jako souřadnicové osy, než jakákoli jiná dvojice“^[1]

Reference

• G. D. Birkhoff (1923) Relativita a moderní fyzika, strany 62,3, Harvard University Press.
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti a Roberto Cannata (2008) Matematika Minkowského prostoru, Birkhäuser Verlag, Basilej. Viz strana 38, Pseudoortogonalita.
• Robert Goldblatt (1987) Ortogonalita a časoprostorová geometrie, kapitola 1: Výlet Einsteinovým vlakem, Universitext Springer-Verlag ISBN  0-387-96519-X PAN0888161
• J.A. Kolář; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitace. W.H. Freeman & Co. p.58. ISBN  0-7167-0344-0.