Londýnské rovnice - London equations - Wikipedia

Když materiál klesne pod svou supravodivou kritickou teplotu, magnetická pole v materiálu jsou vypuzena přes Meissnerův efekt. Londýnské rovnice tento jev kvantitativně vysvětlují.

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

The Londýnské rovnice, vyvinutý bratry Fritz a Heinz London v roce 1935,^[1] jsou konstitutivní vztahy pro supravodič vztahující jeho supravodivý proud k elektromagnetické pole v něm a kolem něj. Zatímco Ohmův zákon je pro obyčejný nejjednodušší konstitutivní vztah dirigent „Londýnské rovnice jsou nejjednodušším smysluplným popisem supravodivých jevů a tvoří genezi téměř jakéhokoli moderního úvodního textu k tématu.^[2][3][4] Hlavním triumfem rovnic je jejich schopnost vysvětlit Meissnerův efekt,^[5] přičemž materiál exponenciálně vylučuje všechna vnitřní magnetická pole, když překračuje supravodivou prahovou hodnotu.

Popis

Pokud jsou vyjádřeny měřitelnými poli, existují dvě londýnské rovnice:

${ displaystyle { frac { částečné mathbf {j}} { částečné t}} = { frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} mathbf {E}, qquad mathbf { nabla} times mathbf {j} = - { frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} mathbf {B}.}$

Tady ${ displaystyle { mathbf {j}}}$ je (supravodivý) proudová hustota, E a B jsou elektrická a magnetická pole v supravodiči, ${ displaystyle e ,}$ je náboj elektronu nebo protonu, ${ displaystyle m ,}$ je elektronová hmotnost a ${ displaystyle n_ {s} ,}$ je fenomenologická konstanta volně spojená s a hustota čísel supravodivých nosičů.^[6]

Tyto dvě rovnice lze spojit do jediné „Londýnské rovnice“^[6][7]z hlediska konkrétního vektorový potenciál ${ displaystyle mathbf {A} _ {s}}$ který byl měřidlo pevné na „London gauge“, který dává:^[8]

${ displaystyle mathbf {j} = - { frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} mathbf {A} _ {s}.}$

V londýnském měřidle se vektorový potenciál řídí následujícími požadavky a zajišťuje, že jej lze interpretovat jako hustotu proudu:^[9]

• ${ displaystyle { text {div}} mathbf {A} _ {s} = 0,}$
• ${ displaystyle mathbf {A} _ {s} = 0}$ v supravodiči hromadně,
• ${ displaystyle mathbf {A} _ {s} cdot { hat { mathbf {n}}} = 0,}$ kde ${ displaystyle { hat { mathbf {n}}}}$ je normální vektor na povrchu supravodiče.

Tyto požadavky odstraní veškerou volnost měřidla a jednoznačně určují vektorový potenciál. Lze také napsat londýnskou rovnici pomocí libovolného měřidla^[10] ${ displaystyle mathbf {A}}$ jednoduchým definováním ${ displaystyle mathbf {A} _ {s} = ( mathbf {A} + nabla phi)}$, kde ${ displaystyle phi}$ je skalární funkce a ${ displaystyle nabla phi}$ je změna měřidla, která posune libovolný měřič na měřidlo v Londýně. Výraz vektorového potenciálu platí pro magnetická pole, která se v prostoru mění pomalu.^[4]

London penetration depth

Pokud je druhá z londýnských rovnic manipulována aplikací Ampereův zákon,^[11]

${ displaystyle nabla times mathbf {B} = mu _ {0} mathbf {j}}$,

pak to může být změněno na Helmholtzova rovnice pro magnetické pole:

${ displaystyle nabla ^ {2} mathbf {B} = { frac {1} { lambda _ {s} ^ {2}}} mathbf {B}}$

kde inverzní k laplacian vlastní hodnota:

${ displaystyle lambda _ {s} equiv { sqrt { frac {m} { mu _ {0} n_ {s} e ^ {2}}}}}$

je charakteristická délková stupnice, ${ displaystyle lambda _ {s}}$, nad nimiž jsou vnější magnetická pole exponenciálně potlačována: nazývá se to London penetration depth: typické hodnoty jsou od 50 do 500 nm.

Zvažte například supravodič ve volném prostoru, kde magnetické pole mimo supravodič má konstantní hodnotu namířenou rovnoběžně s supravodivou hraniční rovinou v z směr. Li X vede kolmo k hranici, pak se může ukázat, že řešení uvnitř supravodiče je

${ displaystyle B_ {z} (x) = B_ {0} e ^ {- x / lambda _ {s}}. ,}$

Odtud lze snad nejsnáze rozeznat fyzický význam hloubky proniknutí do Londýna.

Odůvodnění londýnských rovnic

Původní argumenty

I když je důležité si uvědomit, že výše uvedené rovnice nelze formálně odvodit,^[12]Londonové se při formulaci své teorie řídili určitou intuitivní logikou. Látky v neuvěřitelně široké škále složení se chovají zhruba podle Ohmův zákon, který uvádí, že proud je úměrný elektrickému poli. Takový lineární vztah je však v supravodiči nemožný, protože elektrony v supravodiči téměř z definice proudí bez jakéhokoli odporu. Za tímto účelem si bratři v Londýně představovali elektrony, jako by to byly volné elektrony pod vlivem jednotného vnějšího elektrického pole. Podle Lorentzův silový zákon

${ displaystyle mathbf {F} = e mathbf {E} + e mathbf {v} times mathbf {B}}$

tyto elektrony by se měly setkat s jednotnou silou, a proto by měly ve skutečnosti rovnoměrně zrychlovat. To je přesně to, co uvádí první londýnská rovnice.

Chcete-li získat druhou rovnici, vezměte zvlnění první londýnské rovnice a použijte Faradayův zákon,

${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}}$,

získat

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} vlevo ( nabla times mathbf {j} + { frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} mathbf { B} vpravo) = 0.}$

V současné podobě tato rovnice umožňuje jak konstantní, tak exponenciálně se rozpadající řešení. Londýnští z Meissnerova jevu poznali, že konstantní nenulová řešení jsou nefyzická, a předpokládali tedy, že nejen časová derivace výše uvedeného výrazu je rovna nule, ale také to, že výraz v závorkách musí být shodně nulový. Výsledkem je druhá londýnská rovnice.

Argumenty kanonické hybnosti

Je také možné ospravedlnit londýnské rovnice jinými prostředky.^[13][14]Hustota proudu je definována podle rovnice

${ displaystyle mathbf {j} = -n_ {s} e mathbf {v}.}$

Vezmeme-li tento výraz z klasického popisu do kvantově mechanického, musíme nahradit hodnoty j a proti podle očekávaných hodnot jejich operátorů. Operátor rychlosti

${ displaystyle mathbf {v} = { frac {1} {m}} vlevo ( mathbf {p} + e mathbf {A} vpravo)}$

je definována vydělením operátoru kinematické hybnosti invariantního k měřidlu hmotou částice m. ^[15] Všimněte si, že používáme ${ displaystyle -e}$ jako elektronový náboj. Tuto náhradu můžeme provést ve výše uvedené rovnici. Důležitý předpoklad z mikroskopická teorie supravodivosti je, že supravodivý stav systému je základní stav a podle Blochovy věty,^[16]v takovém stavu kanonická hybnost str je nula. To odchází

${ displaystyle mathbf {j} = - { frac {n_ {s} e ^ {2}} {m}} mathbf {A},}$

což je londýnská rovnice podle druhé formulace výše.

Reference