v relativistická fyzika , tenzor elektromagnetického napětí a energie je příspěvek do tenzor napětí a energie v důsledku elektromagnetické pole .[1] vesmírný čas . Tenzor elektromagnetického napětí a energie obsahuje negativ klasického Maxwellův tenzor napětí který řídí elektromagnetické interakce.
Definice SI jednotky Ve volném prostoru a plochém časoprostoru elektromagnetické napětí - energie tenzor v SI jednotky je[2]
T μ ν = 1 μ 0 [ F μ α F ν α − 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {displaystyle T ^ {mu u} = {frac {1} {mu _ {0}}} vlevo [F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} - {frac {1} {4} } eta ^ {mu u} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta} ight] ,.} kde F μ ν {displaystyle F ^ {mu u}} elektromagnetický tenzor a kde η μ ν {displaystyle eta _ {mu u}} Minkowski metrický tenzor z metrický podpis (− + + +) . Při použití metriky s podpisem (+ − − −) , výraz vpravo od rovnice bude mít opačné znaménko.
Explicitně v maticové formě:
T μ ν = [ 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) S X / C S y / C S z / C S X / C − σ xx − σ xy − σ xz S y / C − σ yx − σ yy − σ yz S z / C − σ zx − σ z y − σ zz ] , {displaystyle T ^ {mu u} = {egin {bmatrix} {frac {1} {2}} vlevo (epsilon _ {0} E ^ {2} + {frac {1} {mu _ {0}}} B ^ {2} ight) & S_ {ext {x}} / c & S_ {ext {y}} / c & S_ {ext {z}} / c S_ {ext {x}} / c & -sigma _ {ext {xx}} & -sigma _ {ext {xy}} & - sigma _ {ext {xz}} S_ {ext {y}} / c & -sigma _ {ext {yx}} & - sigma _ {ext {yy}} & -sigma _ {ext {yz}} S_ {ext {z}} / c & -sigma _ {ext {zx}} & - sigma _ {ext {zy}} & - sigma _ {ext {zz}} konec { bmatrix}},} kde
S = 1 μ 0 E × B , {displaystyle mathbf {S} = {frac {1} {mu _ {0}}} mathbf {E} imes mathbf {B},} je Poyntingův vektor ,
σ i j = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − 1 2 ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) δ i j {displaystyle sigma _ {ij} = epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {frac {1} {mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {frac {1} { 2}} vlevo (epsilon _ {0} E ^ {2} + {frac {1} {mu _ {0}}} B ^ {2} ight) delta _ {ij}} je Maxwellův tenzor napětí , a C je rychlost světla . Tím pádem, T μ ν {displaystyle T ^ {mu u}} pascaly ).
Jednotky CGS The permitivita volného prostoru a propustnost volného prostoru v cgs-Gaussovy jednotky jsou
ϵ 0 = 1 4 π , μ 0 = 4 π {displaystyle epsilon _ {0} = {frac {1} {4pi}}, quad mu _ {0} = 4pi,} pak:
T μ ν = 1 4 π [ F μ α F ν α − 1 4 η μ ν F α β F α β ] . {displaystyle T ^ {mu u} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} - {frac {1} {4}} eta ^ {mu u} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta}] ,.} a ve formě explicitní matice:
T μ ν = [ 1 8 π ( E 2 + B 2 ) S X / C S y / C S z / C S X / C − σ xx − σ xy − σ xz S y / C − σ yx − σ yy − σ yz S z / C − σ zx − σ z y − σ zz ] {displaystyle T ^ {mu u} = {egin {bmatrix} {frac {1} {8pi}} (E ^ {2} + B ^ {2}) & S_ {ext {x}} / c & S_ {ext {y} } / c & S_ {ext {z}} / c S_ {ext {x}} / c & -sigma _ {ext {xx}} & - sigma _ {ext {xy}} & - sigma _ {ext {xz}} S_ {ext {y}} / c & -sigma _ {ext {yx}} & - sigma _ {ext {yy}} & - sigma _ {ext {yz}} S_ {ext {z}} / c & - sigma _ {ext {zx}} & - sigma _ {ext {zy}} & - sigma _ {ext {zz}} konec {bmatrix}}} kde Poyntingův vektor se stává:
S = C 4 π E × B . {displaystyle mathbf {S} = {frac {c} {4pi}} mathbf {E} imes mathbf {B}.} Tenzor napětí-energie pro elektromagnetické pole v a dielektrikum médium je méně dobře srozumitelné a je předmětem nevyřešeného problému Kontroverze Abraham – Minkowski .[3]
Prvek T μ ν {displaystyle T ^ {mu u}!} μ th-složka čtyři momenty elektromagnetického pole, P μ {displaystyle P ^ {mu}!} nadrovina ( X ν {displaystyle x ^ {u}} obecná relativita .
Algebraické vlastnosti Tenzor elektromagnetického napětí a energie má několik algebraických vlastností:
T μ ν = T ν μ {displaystyle T ^ {mu u} = T ^ {u mu}} Tenzor T ν α {displaystyle T ^ {u} {} _ {alpha}} bez stopy : T α α = 0 {displaystyle T ^ {alpha} {} _ {alpha} = 0} Důkaz
Začínání s
T μ μ = η μ ν T μ ν {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = eta _ {mu u} T ^ {mu u}} Pomocí explicitní formy tenzoru
T μ μ = 1 4 π [ η μ ν F μ α F ν α − η μ ν η μ ν 1 4 F α β F α β ] {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [eta _ {mu u} F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} -eta _ {mu u } eta ^ {mu u} {frac {1} {4}} F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]} Snižování indexů a využití skutečnosti, že η μ ν η μ ν = δ μ μ {displaystyle eta ^ {mu u} eta _ {mu u} = delta _ {mu} ^ {mu}}
T μ μ = 1 4 π [ F μ α F μ α − δ μ μ 1 4 F α β F α β ] {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -delta _ {mu} ^ {mu} {frac {1} {4} } F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]} Poté pomocí δ μ μ = 4 {displaystyle delta _ {mu} ^ {mu} = 4}
T μ μ = 1 4 π [ F μ α F μ α − F α β F α β ] {displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]} Všimněte si, že v prvním členu jsou μ a α a jen fiktivní indexy, takže je označujeme jako α a β.
T α α = 1 4 π [ F α β F α β − F α β F α β ] = 0 {displaystyle T_ {alpha} ^ {alpha} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}] = 0}
T 00 ≥ 0 {displaystyle T ^ {00} geq 0} Symetrie tenzoru je stejná jako u obecného tenzoru energie a napětí v obecná relativita . Stopa tenzoru energie – hybnosti je a Lorentz skalární ; elektromagnetické pole (a zejména elektromagnetické vlny) nemá žádné Lorentzův invariant energetické stupnice, takže jeho tenzor energie – hybnosti musí mít mizející stopu. Tato bezvýslednost nakonec souvisí s bezhmotností foton .[4]
Zákony o ochraně přírody Tenzor elektromagnetického napětí a energie umožňuje kompaktní způsob zápisu zákony na ochranu přírody lineární hybnost a energie v elektromagnetismu. Divergence tenzoru napětí a energie je:
∂ ν T μ ν + η μ ρ F ρ = 0 {displaystyle partial _ {u} T ^ {mu u} + eta ^ {mu ho}, f_ {ho} = 0,} kde F ρ {displaystyle f_ {ho}} Lorentzova síla na jednotku objemu zapnuto hmota .
Tato rovnice je ekvivalentní následujícím zákonům zachování 3D
∂ u E m ∂ t + ∇ ⋅ S + J ⋅ E = 0 {displaystyle {frac {částečné u_ {mathrm {em}}} {částečné t}} + mathbf {abla} cdot mathbf {S} + mathbf {J} cdot mathbf {E} = 0,} ∂ str E m ∂ t − ∇ ⋅ σ + ρ E + J × B = 0 {displaystyle {frac {částečné mathbf {p} _ {mathrm {em}}} {částečné t}} - mathbf {abla} cdot sigma + ho mathbf {E} + mathbf {J} imes mathbf {B} = 0,} F + ϵ 0 μ 0 ∂ S ∂ t = ∇ ⋅ σ {displaystyle mathbf {f} + epsilon _ {0} mu _ {0} {frac {částečný mathbf {S}} {částečný t}}, = abla cdot mathbf {sigma}} F {displaystyle mathbf {f}} popisující tok hustoty elektromagnetické energie
u E m = ϵ 0 2 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 {displaystyle u_ {mathrm {em}} = {frac {epsilon _ {0}} {2}} E ^ {2} + {frac {1} {2mu _ {0}}} B ^ {2},} a hustota elektromagnetické hybnosti
str E m = S C 2 {displaystyle mathbf {p} _ {mathrm {em}} = {mathbf {S} nad {c ^ {2}}}} kde J je hustota elektrického proudu a ρ the hustota elektrického náboje .
Viz také Reference ^ Gravitace, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 ^ Gravitace, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0 ^ viz však Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007) ^ Garg, Anupam. Klasický elektromagnetismus v kostce , str. 564 (Princeton University Press, 2012). 
![T ^ {muu} = frac {1} {mu_0} vlevo [F ^ {mu alpha} F ^ u {} _ {alpha} - frac {1} {4} eta ^ {muu} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta} ight],.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfa3cc608d31031e82999deff7f255a953bbb59)
![T ^ {muu} = frac {1} {4pi} [F ^ {mualpha} F ^ {u} {} _ {alpha} - frac {1} {4} eta ^ {muu} F_ {alpha eta} F ^ {alpha eta}],.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429e82ca701336feb3e1482af0581fb646672aaa)
![{displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [eta _ {mu u} F ^ {mu alpha} F ^ {u} {} _ {alpha} -eta _ {mu u } eta ^ {mu u} {frac {1} {4}} F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2f89a22ebe435fc854c6ac670502415a9f3ddc)
![{displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -delta _ {mu} ^ {mu} {frac {1} {4} } F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcad0f798e550fda59a6f62709dffc823c5b9407)
![{displaystyle T_ {mu} ^ {mu} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {mu alpha} F_ {mu alpha} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2b36a280b51fd7fa477a58b27227d874aefe58)
![{displaystyle T_ {alpha} ^ {alpha} = {frac {1} {4pi}} [F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta}] = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e304cc41dd88be9c2aadbfbfa3a6070bc8c10ff)
