Galileova ne invariance klasického elektromagnetismu - Galilean non-invariance of classical electromagnetism

Měl Galileova transformace platí nejen pro mechanika ale také elektromagnetismus, Newtonovská relativita by vydržel celou fyziku. Víme však od Maxwellova rovnice že ${ displaystyle c = { frac {1} { sqrt { nu _ {0} epsilon _ {0}}}} = 2,997925 krát 10 ^ {8} m / s}$ , což je rychlost šíření elektromagnetických vln ve vakuu.^[1] Proto je důležité zkontrolovat, zda Maxwellova rovnice je neměnný pod Galileova relativita Za tímto účelem musíme najít rozdíl (pokud existuje) v pozorované síle nabít když se pohybuje určitou rychlostí a je pozorováno dvěma referenčními snímky ${ displaystyle S ^ { prime}}$ a ${ displaystyle S}$ takovým způsobem, že rychlost ${ displaystyle S ^ { prime}}$ je ${ displaystyle { vec {v_ {0}}}}$ více než ${ displaystyle S}$ (který je v absolutním klidu).^[2]

Elektrické a magnetické pole pod galileovskou relativitou

Abychom zkontrolovali, zda je Maxwellova rovnice neměnná při Galileanově transformaci, musíme zkontrolovat, jak se transformuje elektrické a magnetické pole při Galileanově transformaci. Nechte nabitou částici / části nebo těleso pohybovat se rychlostí ${ displaystyle { vec {v}}}$ vzhledem k S rámu.
Víme to ${ displaystyle { vec {F}} = q ({ vec {E}} + { vec {v}} krát { vec {B}})}$ v ${ displaystyle S}$ rám a ${ displaystyle { vec {F}} prime = q prime ({ vec {E}} prime + ({ vec {v}} - { vec {v_ {0}}}) krát { vec {B}} prime)}$ v ${ displaystyle S prime}$ rám z Lorentzova síla.
Nyní to předpokládáme Galileova invariance drží. To znamená, ${ displaystyle { vec {F}} = { vec {F}} prime}$ a ${ displaystyle q = q prime}$ (z pozorování).
${ displaystyle implikuje q ({ vec {E}} + { vec {v}} krát { vec {B}}) = q prime ({ vec {E}} prime + ({ vec {v}} - { vec {v_ {0}}}) times { vec {B}} prime)}$

{ displaystyle implikuje { vec {E}} + { vec {v}} krát { vec {B}} = { vec {E}} prime + ({ vec {v}} - { vec {v_ {0}}}) times { vec {B}} prime}

(1)

${ displaystyle implikuje { vec {E}} prime = { vec {E}} + ({ vec {v}} krát { vec {B}}) + ({ vec {v_ {0 }}} times { vec {B}} prime) - ({ vec {v}} times { vec {B}} prime)}$
Tato rovnice platí pro všechny ${ displaystyle { vec {v}}}$ .
Nechat, ${ displaystyle { vec {v}} = 0}$

{ displaystyle proto { vec {E}} prime = { vec {E}} + ({ vec {v_ {0}}} krát { vec {B}} prime)}

(A)

Použitím rovnice (a) v (1) dostaneme

{ displaystyle { vec {B}} prime = { vec {B}}}

(b)

Transformace ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle { vec {J}}}$

Nyní musíme najít transformaci náboje a proudové hustoty (pokud existuje) pod galileovskou transformací.
Nechat, ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle { vec {J}}}$ být hustota náboje a proudu s příslušným rámcem S. Poté ${ displaystyle rho prime}$ a ${ displaystyle { vec {J}} prime}$ být hustota náboje a proudu v ${ displaystyle S prime}$ rámečku.
Víme, ${ displaystyle { vec {J}} = rho { vec {v}}}$
Znovu to víme ${ displaystyle rho = rho prime}$
Tím pádem, ${ displaystyle { vec {J}} prime = rho prime { vec {v}} prime = rho ({ vec {v}} - { vec {v_ {0}}})}$
${ displaystyle implikuje { vec {J}} prime = { vec {J}} - { vec {J_ {0}}} zde, { vec {J_ {0}}} = rho { vec {v_ {0}}}}$
Takže máme

{ displaystyle rho = rho prime}

(C)

a

{ displaystyle { vec {J}} prime = { vec {J}} - { vec {J_ {0}}}}

(d)

Transformace ${ displaystyle nabla}$ , ${ displaystyle mu _ {0}}$ a ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}}}$

Víme, že ${ displaystyle mu _ {0} = N / A ^ {2}}$ . Tady, ${ displaystyle A = { frac {q} {t}}}$ . Protože q '= q, ${ displaystyle { vec {F}} prime = { vec {F}}}$ a t '= t (galilejský princip), dostaneme

{ displaystyle mu _ {0} prime = mu _ {0}}

(E)

Nyní, pojďme ${ displaystyle f (x, y, z, t), proto f (x ', y', z ', t')}$
t '= t
${ displaystyle { vec {r}} prime = { vec {r}} - { vec {v_ {0}}} t}$
${ displaystyle proto { frac { částečné f} { částečné x}} = { frac { částečné f} { částečné x '}}}$
Tak jako, ${ displaystyle { frac { částečné x '} { částečné x}} = 1, { frac { částečné y'} { částečné x}} = 0, { frac { částečné z '} { částečné x}} = 0, { frac { částečné t '} { částečné x}} = 0}$
Podobně, ${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné y}} = { frac { částečné f} { částečné y '}}, { frac { částečné f} { částečné z}} = { frac { částečné f} { částečné z '}} a { frac { částečné} { částečné t'}} = { frac { částečné} { částečné t}} + { vec {v} }. { vec { nabla}}}$
Tak dostaneme

{ displaystyle nabla prime = nabla}

(F)

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t '}} = { frac { částečné} { částečné t}} + { vec {v}}. { vec { nabla}}}

(G)

Transformace Maxwellovy rovnice

Nyní pomocí rovnic (a) až (g) to snadno vidíme Gaussův zákon a Ampereův zákon o oběhu nezachovává svou formu. To znamená, že podle Galileanovy transformace je ne invariantní. Zatímco, Gaussův zákon pro magnetismus a Faradayův zákon zachovat svou formu pod galilejskou transformací. To tedy můžeme vidět Maxwellova rovnice nezachovává svou formu pod Galileova transformace, tj., to není neměnné pod Galilean transformací.

Reference

Citace

^ Maxwell, James C. (1865). „Dynamická teorie elektromagnetického pole“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 155: 459–512. doi:10.1098 / rstl.1865.0008. S2CID 186207827.
^ Resnick (2007). Úvod do speciální relativity. ISBN 978-8126511006.

Bibliografie

Resnick, Robert (1968), „Kapitola I Experimentální pozadí“, Resnick, Robert (ed.), Úvod do speciální relativity (1. vyd.), Wiley
Bellac, M. Le, Galileův elektromagnetismus
Jackson, John David, „kapitola 11 Speciální teorie relativity“, Klasická elektrodynamika (3. vyd.), S. 516

externí odkazy

[Maxwell-1] Maxwell, James C. (1865). „Dynamická teorie elektromagnetického pole“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 155: 459–512. doi:10.1098 / rstl.1865.0008. S2CID 186207827.

[Resnick-2] Resnick (2007). Úvod do speciální relativity. ISBN 978-8126511006.

[1]

[2]