Gaussův povrch - Gaussian surface

K výpočtu elektrického náboje nekonečně dlouhého, přímého „ideálního“ drátu se běžně používá válcová Gaussova plocha.

A Gaussův povrch (někdy zkráceně G.S.) je a uzavřený povrch v trojrozměrném prostoru, kterým tok a vektorové pole je vypočítán; obvykle gravitační pole, elektrický pole, nebo magnetický pole.^[1] Je to svévolné uzavřený povrch S = ∂PROTI (dále jen hranice trojrozměrné oblasti PROTI) použitý ve spojení s Gaussovým zákonem pro odpovídající pole (Gaussův zákon, Gaussův zákon pro magnetismus nebo Gaussův zákon pro gravitaci ) provedením a povrchový integrál, za účelem výpočtu celkového množství přiloženého zdrojového množství; např. částka gravitační hmota jako zdroj gravitačního pole nebo množství elektrický náboj jako zdroj elektrostatického pole nebo naopak: vypočítat pole pro distribuci zdroje.

Pro úplnost je v tomto článku pojednáno o elektrickém poli, protože se jedná o nejčastější typ pole, pro které se koncept povrchu používá.

Gaussovy povrchy jsou obvykle pečlivě vybírány k využití symetrie situace ke zjednodušení výpočtu povrchový integrál. Pokud je zvolena Gaussova plocha tak, aby pro každý bod na povrchu byla složka elektrické pole podél normální vektor je konstantní, pak výpočet nebude vyžadovat obtížnou integraci, protože vznikající konstanty lze vyjmout z integrálu. Je definována jako uzavřená plocha v trojrozměrném prostoru, pomocí které se počítá tok vektorového pole.

Běžné Gaussovy povrchy

Příklady platných (vlevo) a neplatných (vpravo) Gaussových ploch. Vlevo, odjet: Některé platné Gaussovy povrchy zahrnují povrch koule, povrch torusu a povrch krychle. Oni jsou uzavřené povrchy které plně uzavírají 3D svazek. Že jo: Některé povrchy NEMŮŽE být použity jako Gaussovy povrchy, jako např povrch disku, čtvercový povrch nebo povrch polokoule. Neuzavírají úplně 3D svazek a mají hranice (červené). Všimněte si, že nekonečné roviny mohou aproximovat Gaussovy povrchy.

Většina výpočtů využívajících Gaussovy povrchy začíná implementací Gaussův zákon (pro elektřinu):^[2]

${ displaystyle Phi _ {E} = , !}$ ${ displaystyle scriptstyle S !}$ ${ displaystyle mathbf {E} ; cdot mathrm {d} mathbf {A} = { frac {Q _ { text {enc}}} { varepsilon _ {0}}}. , ! }$

Tím Q_příloha je elektrický náboj uzavřený Gaussovým povrchem.

Toto je Gaussův zákon, který kombinuje oba věta o divergenci a Coulombův zákon.

Sférický povrch

A sférický Gaussův povrch se používá při hledání elektrického pole nebo toku vytvářeného některým z následujících způsobů:^[3]

• A bodový náboj
• rovnoměrně rozloženo sférická skořápka zdarma
• jakákoli jiná distribuce poplatků s sférická symetrie

Sférický Gaussův povrch je zvolen tak, aby byl soustředný s distribucí náboje.

Jako příklad zvažte nabitou sférickou skořápku S zanedbatelné tloušťky, s rovnoměrně rozloženým nábojem Q a poloměr R. Můžeme použít Gaussův zákon k nalezení velikosti výsledného elektrického pole E na dálku r ze středu nabitého granátu. Okamžitě je zřejmé, že pro sférický Gaussův povrch o poloměru r < R uzavřený náboj je nulový: čistý tok je tedy nulový a velikost elektrického pole na Gaussově povrchu je také 0 (necháme Q_A = 0 v Gaussově zákoně, kde Q_A je náboj uzavřený Gaussovým povrchem).

Stejným příkladem je použití většího Gaussova povrchu vně pláště, kde r > RGaussův zákon vytvoří nenulové elektrické pole. Toto je určeno následovně.

Tok ze sférického povrchu S je:

${ displaystyle Phi _ {E} = , !}$ ${ displaystyle scriptstyle částečné S , !}$ ${ displaystyle mathbf {E} cdot d mathbf {A} = int ! ! ! ! int _ {c} EdA cos 0 ^ { circ} = E int ! ! ! ! int _ {S} dA , !}$

The povrch koule poloměru r je

${ displaystyle int ! ! ! ! int _ {S} dA = 4 pi r ^ {2}}$

z čehož vyplývá

${ displaystyle Phi _ {E} = E4 pi r ^ {2}}$

Podle Gaussova zákona je tok také

${ displaystyle Phi _ {E} = { frac {Q_ {A}} { varepsilon _ {0}}}}$

konečně vyrovnání výrazu pro Φ_E dává velikost E- pole na pozici r:

${ displaystyle E4 pi r ^ {2} = { frac {Q_ {A}} { varepsilon _ {0}}} quad Rightarrow quad E = { frac {Q_ {A}} {4 pi varepsilon _ {0} r ^ {2}}}.}$

Tento netriviální výsledek ukazuje, že jakékoli sférické rozložení náboje funguje jako bodový náboj při pozorování zvenčí distribuce poplatků; toto je ve skutečnosti ověření Coulombův zákon. Jak již bylo zmíněno, nezapočítávají se žádné poplatky za exteriér.

Válcový povrch

A válcovitý Gaussův povrch se používá při hledání elektrického pole nebo toku vytvářeného některým z následujících způsobů:^[3]

• nekonečně dlouhý čára jednotného náboje
• nekonečný letadlo jednotného náboje
• nekonečně dlouhý válec jednotného náboje

Jako příklad je uvedeno „pole blízko nekonečného náboje linky“;

Zvažte bod P na dálku r z nekonečného síťového náboje hustota náboje (poplatek za jednotku délky) λ. Představte si uzavřený povrch ve formě válce, jehož osou otáčení je liniový náboj. Li h je délka válce, pak náboj uzavřený ve válci je

${ displaystyle q = lambda h}$,

kde q je náboj uzavřený v Gaussově povrchu. Existují tři povrchy A, b a C jak je znázorněno na obrázku. The rozdíl vektorová oblast je dA, na každém povrchu A, b a C.

Uzavřená plocha ve formě válce, který má ve středu liniovou náplň a vykazuje diferenciální oblasti dAvšech tří povrchů.

Průchod toku se skládá ze tří příspěvků:

${ displaystyle Phi _ {E} = , !}$ ${ displaystyle scriptstyle A , !}$ ${ displaystyle mathbf {E} cdot d mathbf {A} = int ! ! ! ! int _ {a} mathbf {E} cdot d mathbf {A} + int ! ! ! ! int _ {b} mathbf {E} cdot d mathbf {A} + int ! ! ! ! int _ {c} mathbf {E} cdot d mathbf {A}}$

Pro povrchy a a b, E adA bude kolmý.Pro povrch c, E adA bude paralelní, jak je znázorněno na obrázku.

${ displaystyle { begin {aligned} Phi _ {E} & = int ! ! ! ! int _ {a} EdA cos 90 ^ { circ} + int ! ! ! ! int _ {b} EdA cos 90 ^ { circ} + int ! ! ! ! int _ {c} EdA cos 0 ^ { circ} & = E int ! ! ! ! int _ {c} dA konec {zarovnáno}}}$

The povrch válce je

${ displaystyle int ! ! ! ! int _ {c} dA = 2 pi rh}$

z čehož vyplývá

${ displaystyle Phi _ {E} = E2 pi rh}$

Podle Gaussova zákona

${ displaystyle Phi _ {E} = { frac {q} { varepsilon _ {0}}}}$

rovnítko pro Φ_E výnosy

${ displaystyle E2 pi rh = { frac { lambda h} { varepsilon _ {0}}} quad Rightarrow quad E = { frac { lambda} {2 pi varepsilon _ {0} r}}}$

Gaussova krabička

Tento povrch se nejčastěji používá k určení elektrického pole v důsledku nekonečné vrstvy náboje s rovnoměrnou hustotou náboje nebo desky náboje s určitou konečnou tloušťkou. Pilulka má válcovitý tvar a lze ji považovat za sestávající ze tří složek: disk na jednom konci válce s plochou πR², disk na druhém konci se stejnou oblastí a stranou válce. Součet elektrický tok skrz každou složku povrchu je úměrná uzavřenému náboji krabičky, jak to diktuje Gaussův zákon. Vzhledem k tomu, že pole v blízkosti listu lze aproximovat jako konstantní, je krabička orientována tak, že siločary pronikají disky na koncích pole v kolmém úhlu a strana válce je rovnoběžná s siločarami .

Viz také

• Plocha
• Plocha povrchu
• Vektorový počet
• Integrace
• Věta o divergenci
• Faradayova klec
• Teorie pole
• Polní čára

Reference

• Purcell, Edward M. (1985). Elektřina a magnetismus. McGraw-Hill. ISBN  0-07-004908-4.
• Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vydání). Wiley. ISBN  0-471-30932-X.

Další čtení

• Elektromagnetismus (2. vydání), JE. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-471-92712-9

externí odkazy

• Pole - kapitola z online učebnice